Preparation a l'agregation interne de mathematiques

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation interne de mathematiques Jean-Marie MONIER Corrige de la 2eme epreuve 2003 On note plus simplement 2 au lieu de 2(Z), et 2C au lieu de 2 C(Z). I. 1. C'est un resultat du cours, l'egalite du parallelogramme dans un espace prehilbertien reel (ou complexe). Rappelons la demonstration : ||u+ v||2 + ||u? v||2 = ( ||u||2 + 2 < u , v > +||v||2 ) + ( ||u||2 ? 2 < u , v > +||v||2 ) = 2(||u||2 + ||v||2). 2.a) Soit ( v(n) ) n>0 une suite de Cauchy dans 2. Soit ? > 0 fixe. Il existe N(?) ? N tel que : ?n > N(?), ? l > N(?), ||v(n)? v(l)|| 6 ?. On a, pour tout k ? Z et tous n, l > N(?), : ? ?v(n)k ? v(l)k ? ? 6 (∑ k?Z ( v(n)k ? v(l)k )2 ) 1 2 = ||v

  • lieu de la notation habituelle

  • demi-droite d'origine

  • ∂c ?

  • agregation interne de mathematiques


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Pr´eparation`alagre´gationinternedemathe´matiques Jean-Marie MONIER Corrig´edela2e`mee´preuve2003 On note plus simplement`2au lieu de`2(Z), et`2Cau lieu de`2C(Z). I. 1.Cestatlocudrnutuse´ligaedt´s,ur´elarmmlegola´lpuraepr´spacsuneedanlee´rneitreblihe.e)explomuc(o Rappelonslade´monstration: ||u+v||2+||uv||2=||u||2+ 2< u v > ,+||v||2+||u||22< u v > ,+||v||2= 2(||u||2+||v||2). 2.a)Soitv(n)n>0une suite de Cauchy dans`2. Soitε > existe0 fixe. IlN(ε)Ntel que : ´ n>N(ε),l>N(ε),||v(n)v(l)||6ε. On a, pour toutkZet tousn, l>N(ε),: 1 v(n)kv(l)k6Xv(n)kv(l)k22=||v(n)v(l)||6ε. kZ 2.b)SoitkZ.rpaD:)ase` ε >0,N(ε)N,n, l>N(ε),v(n)kv(l)k6ε. Cestdire,parde´nition,quelasuitere´ellev(n)knN Commeest de Cauchy.Rest complet, cette suite deCaucheversunr´eel,not´ y converg evk: kZ, v(n)k−→vk. n2.c)PuisquevN(ε)`2,seire´ssleXvN(ε)k2etXvN(ε)k2 existe doncconvergent. IlKN k60k>1 tel que : XvN(ε)k26ε2, |k|>K et donc : 1 hXvN(ε)k2i26ε. |k|>K 2.d)L’entierKx´eeta´iot)cS.e´neLNtel queL>K.`Dapntcamern¸alpo,.2e,anlparN(ε) : res ||v(n)vN(ε)||6ε. 1
On a alors : 1 1 hXv(n)kvN(ε)k2i26hXv(n)kvN(ε)k2i2=||v(n)vN(ε)||6ε. K6|k|6L kZ Ond´eduit,enfaisanttendrelentierneislervrap,inne`roe´htrlalmesueduimitmmdeenosmorbunn nixe´desuites: 1 hXvkvN(ε)k2i26ε. K6|k|6L Onappliquealorsline´galite´triangulaireusuelledansRd`ou(dgien´dsesrommemsddeeltaembreel)e:no hXv2ki21=XhvkvN(ε) k21 k+vN(ε)i2 K6|k|6L K6|k|6L 1 1 6hXvkvN(ε)k2i2+XhvN(ε)2ki2 K6|k|6L K6|k|6L 1 1 6XhvkvN(ε)k2i2+XhvN(ε)2ki26ε+ε= 2ε63ε. K6|k|6L K6|k|
2.e)aD):sd`epr 1 1 ε >0,KN,L>K,M>L,Xhv2ki26hXvk2i262ε. L6|k|6M K6|k|6M Ainsi, les ´ ieXv2ketXvk2 Commesont de Cauchy.Rtcomes,cesplet´sreedxunoeveicsenrgett, ser s k60k>1 donc :v`2. urtoutDrpa2se`op,.pN: 1 1 n>N(ε),l>N(ε),Xhv(n)kv(l)k2i26Xhv(n)kv(l)k2i2 6ε, |k|6p kZ do`u,enfaisanttendrelentierlilimetdmeserualdunnombruenensiommeevlsrh´rtr`eoninpai, xe´desuites: 1 hXv(n)kvk2i26ε. |k|6p Ilenre´sultev(n)v`2(ra`jcatd´eavaionscequv(n)`2v`2, et`2est unR-espace vectoriel) , et, en faisant tendre l’entierpvers l’infini : 1 ||v(n)v||=hXv(n)kvk2i26ε. kZ Ceci montre||v(n)v|| −→0,autrement dit :v(n)−→vdans`2. nnOn vient de montrer que toute suite de Cauchy de`2converge dans`2:rets`--aidc,e`2est complet pour||.||
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3.a)SoientCvnonelbmesne-suonsuexedonve´e,cfermide,`2, etv(n)n>0une suite dansCtelle que : ||v(n)|| −→d, nou`d= Inf||v||;vC.Il est clair qu’une telle suite existe. Soientn, lN.On a, en utilisant 1. : 12v(n)v(l)212=||v(n||2+||v(l)||221v(n) +v(l)2. CommeCest convexe et quev(n), v(`)C2,on2a1v(n) +v(l)C, et d12(n) +v(l)>d, oncv d’ou : ` 2 21v(n)v(l)2621||v(n||2+||v(l)||2d . 3.b)Existence : Soitε >quex´e.Puis0||v(n)|| −→d,il existeN(ε)Ntel que : nn>N(ε),||v(n)||2d26ε2 . On a alors, pour toutn>N(ε) et toutl>N(ε) : 21||v(n)||2+||v(l)||2d21=2||v(n)||2d212+||v(l)||2d2612ε221+ε2=ε2, do`u,enutilisanta): 12 2v(n)v(l)6ε2, et donc : ||v(n)v(l)||62ε. Ceci montre que la suitev(n)n>0est de Cauchy dans`2. Comme`2telpmod(tectse,l.)uiaspras2`ev(n)n>0ntonvecreusgrvee´em´nlevde`2. De plus,v(n)n>0mesdansreta`tseCetCestfemre´d,nocvC.Comme||v(n)|| −→d,et que n||v(n)|| −→ ||v||,on a :||v||=d . nAinsi,ilexisteune´le´mentvdeCtel que||v||=d. Unicite´: Soientv, wCtels que :||v||=||w||=d.r`es1.:nO,adpa 12 2 (vw)212=||v||2+||w||212(v+w)2=d221(v+w). CommeCest convexe et que (v, w)C2,ona12(v+w)C,et donc21(v+w)2>d2,do`u: (21vw)260, et doncv=w. Ceciprouvelunicit´edevCtel que||v||=d.
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4.a)On suppose ici queCedivnonelbmesne-edexnvcoe,m´er,fenutsseuos`2dtereneid´,`2et de{0}. PuisqueC6={0}etC6=`2,il existeaCtel quea6= 0, et il existeb`2tel queb /C.Notons Sle segment [a;b].PuisqueSest convexe (cours),Sest connexe (cours). CommeSrencontreC(car aSC) et rencontre`2C(carbS(`2Cecslrsou,))d,arpe`Srencontre∂C.Il existe donc uS∂C. Siu6= 0,on a alorsu∂C− {0}, donc∂C− {0} 6=. Supposonsu= 0.Commeb`2Cet que`2Cuderefnnemeriate;m´vureseotpm´l(toc`2ertfem´es car complet), il existeε >0 tel que :B(b, ε)`2C.tsixelIteneml´´eunrsloeab0deB(b, ε) qui ne soit pas sur la demi-droite d’origineaet passant parb(car`2ontnemdsapmideisneesnevt´emid61). Enrefaisantleraisonnementpre´c´edent,ilexisteu0[a;b0]∂C. Comme [a;b][a;b0] ={a},et que u06=a,tenassemerianoce´nu06=uet doncu06= 0. Finalement : ∂C− {0} 6=2 4.b)Dapetsixeli,)ase`ru∂Ctel queu6= 0.Puisqueu`2C,et que||u||>0,il existev`Ctel que : ||uv||<21||u||. On a alors : ||v||=u(uv)>||u|| − ||uv||>12||u||, dou`: Inf{||vx||;xC}6||vu||<12||u||<||v||. De plus, commev /C,et queCano,:rm´estfee Inf{||vx||;xC}=d(x, C)>0. On conclut qu’il existev`2tel que : 0<Inf{||vx||;xC}<||v||. 4.c))b.3edtalsnartuatlanquliltsu´eeranppEat´edeCpar le vecteurv, il existep∂Ctel que : ||vp||=d(v, C)<||v||. Comme||vp||<||v||,iremessan´econatnep6= 0,et ainsi :p∂C− {0}. 4.d)PuisqueCest convexe et que (p, q)C2,on a, pour toutλ[0 ; 1] : λq+ (1λ)pC, do`u: ||vp||=d(v, C)26vλq+(1λ)p2=(vp)λ(qp)2=||vp||22 vλ < qp ,p >+λ2||qp||2, 2 et donc : λ[0 ; 1],062λ < v qp ,p >+λ2||qp||2.
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