Preparation a l'agregation interne de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation interne de Mathematiques 2009-2010 Jean-Marie Monier Corrige de l'epreuve d'entraınement du 21 novembre 2009 I. Fonction ? d'Euler 1. Pour tout x de R, l'application t 7?? tx?1e?t est continue et > 0 sur ]0 ; +∞[. On a tx?1e?t ? t ?? 0+ tx?1 et t 7?? tx?1 est integrable sur ]0 ; 1] si et seulement si x? 1 > ?1, c'est-a-dire x > 0. D'autre part, t2tx?1e?t = tx+1e?t ?? t ?? +∞ 0, donc l'application t 7?? tx?1e?t est integrable sur [1 ; +∞[. Finalement, l'application t 7?? tx?1e?t est integrable sur ]0 ; +∞[ si et seulement si x > 0. 2.a. Soit x ? ]0 ; +∞[. On a, pour tout 0 < ? 6 T, a l'aide d'une integration par parties : ∫ T ? t(x+1)?1e?t dt = ∫ T ? txe?t dt = [ ?txe?t ]T ? ? ∫ T ? ?xtx?1e?t dt = ?T xe?T + ?xe?? + x ∫ T ? tx?1e?t dt. Puisque t 7?? txe?t et t 7?? tx?1e?t sont integrables sur ]0 ; +∞[, et que T xe?T ?? T ?? +∞ 0 (par preponderance de l'exponentielle sur les puissances) et ?xe?? ?? ? ?? 0 0 (

  • hypothese de domination locale

  • e?t ??

  • application definie

  • classe c∞

  • ??

  • agregation interne de mathematiques

  • dt


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Pr´eparation`alagre´gationinternedeMathe´matiques2009-2010 Jean-Marie Monier Corrige´dele´preuvedentraˆınementdu21novembre2009 I. Fonction Γ d’Euler 1. Pour tout x de R , l’application t 7t x 1 e t est continue et > 0 sur ]0 ; + [ . On a t x 1 t t x 1 et t 7t x 1 estinte´grablesur]0;1]sietseulementsi x 1 > 1 , cest-`a-dire x > 0 . e t −→ 0 + D’autre part, t 2 t x 1 e t = t x +1 e tt + 0 , donc l’application t 7t x 1 e t estinte´grablesur[1;+ [ . Finalement, l’application t 7t x 1 e t estinte´grablesur]0;+ [ si et seulement si x > 0 . 2.a. Soit x ]0 ; + [ . On a, pour tout 0 < ε 6 T , `alaideduneint´egrationparparties: T Z εT t ( x d t Z ε e t d t = t x e t εT Z εT xt x 1 e t d t = T x e T + ε x e ε + x Z εT t x 1 e t d t. +1) 1 e t = t x Puisque t 7t x e t et t 7− ue T x e T −→ t x 1 e t sontint´egrablessur]0;+ [ , et q T −→ + 0(parpr´eponde´rancede l’e issances) et ε x e ε −→ 0 (car x > 0), xponentielle sur les pu ε −→ 0 onde´duit,enfaisanttendre T vers + et ε vers 0 : Z 0+ t x e t d t Z 0+ t x 1 e t d t, = x
cest-`a-dire:
Γ( x + 1) = x Γ( x )
2.b. R´ecurrencesur n. Pour n = 0 : Γ(1) = Z + e t d t = e t 0+ = 1 = 0! . 0 Si Γ( n ) = ( n 1)! pour un entier n tel que n > 1 , alors, en utilisant 2.a. : Γ( n + 1) = n Γ( n ) = n ( n 1)! = n ! . On conclut : n N , Γ( n + 1) = n ! 3.a. Notons F : ]0 ; + [ × ]0 ; + [ −→ R lapplicationd´eniepar: F ( x, t ) = t x 1 e t = e ( x 1) ln t e t . Dapr`eslesthe´ore`mesge´n´e F,..., k raux, F,xxF k , ... existent et sont continues sur ]0 ; + [ × ]0 ; + [ , et : k N , ( x, t ) ]0 ; + [ × ]0; + [ ,k xF k ( x, t ) = (ln t ) k t x 1 e t . Soit ( a, b ) R 2 tel que 0 < a 6 1 6 b. Notons, pour k N , ϕ [ a ; b ] ,k : ]0 ; + [ −→ R lapplicationde´niepar: t ]0 ; + [ , ϕ [ a ; b ] ,k ( t ) = | ln t | k Max t a 1 , t b 1 e t . On a alors : ( x, t ) [ a ; b ] × ]0 ; + [ , k xF k ( x, t ) 6 ϕ [ a ; b ] ,k ( t ) , 1
et ϕ [ a ; b ] ,k est continue, > 0 , int´egrablesur]0;+ [ . Ceci montre que F,Fx,...,k xF k , ... v´erientlhypothe`sededominationlocale. Dapre`sunth´e`meduCours,ilenr´esultequeΓestdeclasse C sur ]0 ; + [ et que : ore k N , x ]0 ; + [ , Γ ( k k F k t x 1 e t d t ) ( x ) = Z 0+ ∂x k ( x, t ) d t = Z 0+ (ln t ) 3.b. On a, pour x > 0 , Γ( x ) = Γ( xx + 1) et Γ( x + 1) x 0 + Γ(1) = 0! = 1 , , car Γ est continue en 1. On conclut :
Γ( x ) 1 x −→ 0 + x 3.c. et 3.d. Dapr`es3.a.: Z + t ) 2 t x 1 e t d t > 0 , x ]0 ; + [ , Γ 00 ( x ) = (ln 0 donc Γ 0 est strictement croissante, et Γ est convexe. Puisque Γ(1) = 0! = 1 et Γ(2) = 1! = 1 = Γ(1) , lethe´ore`medeRollemontrequilexiste x 0 ]1 ; 2[ , unique, tel que Γ 0 ( x 0 ) = 0 . Comme Γ 0 est strictement croissante et que Γ 0 ( x 0 ) = 0 , on a : ( x ]0 ; x 0 [ , Γ 0 ( x ) < 0 x ] x 0 ; + [ , Γ 0 ( x ) > 0 doncΓeststrictementde´croissantesur]0; x 0 ] et strictement croissante sur [ x 0 ; + [ . + Comme Γ est strictement croissante sur [2 ; + [ , et que, pour tout entier n > 2 , Γ( n ) = ( n 1)! n + , on a : Γ( x ) −→ + x −→ + OnpeutenndresserletableaudesvariationsdeΓettracersacourberepr´esentative.
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II. Constante γ d’Euler 1. On a, pour tout entier n > 2 : : kn X =2 w k = kn XZ k 1 t d t 1 k ! =  k X n =2 Z kk 1 t 1d t ! kn X =2 1 k = Z 1 n t 1d t k X n =1 1 k + 1 = ln n kn X =1 1 k + 1 . 2 k 1 =
2.a. Puisque t 7t 1estde´croissantesur[ n 1 ; n ] , on a : t [ n 1 ; n ] , 1 n 6 t 1 6 n 11 , n 1 1 1 donc : n 1= Z nn 1 n 1d t 6 Z nn 1 t 1d t 6 Z n 1 n 1 1 d t = n 1 1 , dou`:0 6 w n = Z nn 1 1 t d t 6 . n n 1 n 1 2.b. Enutilisantunte´lescopage: kn = X 2 w k 6 kn = X 2 k 11 1 k 1 n = 6 1 . 3. Puisque X w n estunese´riea`t´ls > 0etquelessommespartiellessontmajor´ees(par1,dapr`es2.b.), ermes ree n > 2 dapre`slelemmefondamental,lase´rie X w n converge. n > 2 nidanslere´sultatde1.:l n i m  k = n X 1l n ! + On a donc, en faisant tendre n vers l’infi k n = 1 X w k , note´ γ, 1 k =2 et donc : X n k 1 = ln n + γ + o (1) n k =1
III. Fonction ζ de Riemann et fonction T 1. Pour x R , lase´rie X n 1 x converge si et seulement si x > 1 (exemple de Riemann), donc ζ estd´enie n > 1 sur ]1 ; + [ . Pour tout n de N , l’application f n : ]1 ; + [ −→ R , x 7n 1 x = e x ln n est de classe C sur ]1 ; + [ et : ln n ) k k N , x ]1 ; + [ , f n ( k ) ( x ) = ( . n x Soit a ]1 ; + [xe´.Puisquelesse´ries X (ln nn a ) k ( k N )sontconvergentes,less´eriesdapplications X f n ( k ) sont n > 1 n > 1 normalementconvergentes,doncuniform´ementconvergentes,sur[ a ; + [ . Dapr`esunthe´ore`meduCours,ilenre´sulteque ζ est de classe C sur ]1 ; + [ et que : k N , x ]1 ; + [ , ζ ( k ) ( x ) = + X ( ln n ) k n x n =1
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2. Dapr`es1., ζ est de classe C 1 sur ]1 ; + [ : x ]1 ; + [ , ζ + ln n et 0 ( x ) = X n < 0 , x n =1 donc ζ eststrictementd´ecroissantesur]1;+ [ . Demeˆme, ζ est de classe C 2 sur ]1 ; + [ et : x ]1 ; + [ , ζ 00 ( x ) = + X (ln nn x ) 2 > 0 , n =1 donc ζ est convexe sur ]1 ; + [ . 3. Pour tout x R , las´erie X ( n 1 x ) n converge si et seulement si x > 0(exempledeRiemannaltern´e),donc: n > 1 T estde´niesur]0;+ [ . n Pour tout n N , l’appl ( 1) st continue sur ]0 ; + [ . ication g n : ]0 ; + [ −→ R , x 7n x e Soit a ]0 ; + [xe´. Pour tout x [ a ; + [ , lase´rie X g n ( x )rele`veduTSCSA(carelleestalterne´e,sontermeg´en´eraltendvers0,etla n > 1 suitedelavaleurabsoluedesontermeg´ene´ralde´croıˆt),donc,dapr`eslecours: + n N , k = X n +1 g k ( x ) 6 | g n +1 ( x ) | =( n +11) x 6 ( n +11) a , + d’ ` X g k 6 ( n +11) an 0 .   ou : k = n +1 Ceci montre que la ´ ie X ergeuniform´ementsur[ a ; + [ . ser g n conv n > 1 Dapr`eslethe´or`emeducourssurconvergenceuniformeetcontinuit´epourless´eriesdefonctions,onconclut: T est continue sur ]0; + [ 4. Soit x ]1 ; + [ . Less´eriesde´nissant ζ ( x ) et T ( x ) sont convergentes et, en groupant les termes d’indices pairs ou d’indices impairs : ζ ( x ) + T ( x ) = + X 1 + n ( x 1) n = + X 22 x = 2 1+ 1= 1 x n =1 p =1 ( p ) xp = X 1 p x 2 ζ ( x ) , do`ularelationdemande´e: T ( x ) = (2 1 x 1) ζ ( x ) 5. Dapre`s4.: x ]1 ; + [ , ζ ( x ) = 2 1 T ( x x )1 . D’une part : 2 1 x 1 = e (1 x ) ln 2 1 1 (1 x ) ln 2 . x −→ T stea`calculer T (1 D’autre part, puisque T est continue en 1 (cf. 3.), T ( x ) x −→ 1 (1) . Il re ) . On a, pour tout N > 1 : n =1 n =1 ( 1) n Z 01 t n 1 d Z 01 nN = X 1 1 d t = Z 01 Nn = X 01 ( t ) n d t X N ( n 1) n = X N t = ( t ) n = Z 01 11 (( tt )) N d t = Z 01 11+ t d t + ( 1) N Z 01 1 t + N t d t.
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