Preparation a l'agregation interne de mathematiques

De
Publié par

Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation interne de mathematiques Jean-Marie Monier Corrige de la 2eme epreuve 2009 - Partie I : Transformation de Fourier - 1.(a) Soit ? ? R. L'application f? : x 7?? f(x) e?2ipix? est continue sur R et : ?x ? R, |f?(x)| = |f(x)|. Comme f est integrable sur R, |f | l'est (par definition), donc |f?| l'est, donc (par definition), f? l'est. On conclut : pour tout ? ? R, l'application x 7?? f(x) e?ipix? est integrable sur R. 1.(b) • L'application F : R2 ?? C, (?, x) 7?? f(x) e?2ipix? est continue par rapport a ?, continue par morceaux (car continue) par rapport a x, et : ? (?, x) ? R2, |F (?, x)| = |f(x)|, ou |f | est integrable sur R. D'apres le theoreme de continuite sous le signe integrale, avec hypothese de domination globale, on conclut que l'application f? : R ?? C, ? 7?? ∫ +∞ ?∞ f(x) e?2ipix? dx est continue sur R.

  • limite nulle en ?∞

  • application ?

  • limite finie

  • ?? ∫

  • hypothese de domination globale

  • theoreme de derivation sous le signe integrale avec hypothese de domination locale


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 43
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 19
Voir plus Voir moins
Pr´eparation`alagre´gationinternedemathe´matiques Jean-Marie Monier Corrig´edela2e`mee´preuve2009 - Partie I : Transformation de Fourier -1.(a) Soit ξ R . L’application f ξ : x 7f ( x ) e 2i πxξ est continue sur R et : x R , | f ξ ( x ) | = | f ( x ) | . Comme f estint´egrablesur R , | f | lest(parde´nition),donc | f ξ | lest,donc(pard´enition), f ξ l’est. On conclut : pour tout ξ R , l’application x 7f ( x ) e i πxξ estint´egrablesur R . 1.(b) L’application F : R 2 −→ C , ( ξ, x ) 7f ( x ) e 2i πxξ estcontinueparrapport`a ξ, continue par morceaux(carcontinue)parrapporta` x , et : ( ξ, x ) R 2 , | F ( ξ, x ) | = | f ( x ) | , o`u | f | estinte´grable sur R . Dapr`eslethe´ore`medecontinuite´souslesigneint´egrale,avechypothe`sededominationglobale,onconclut f : R −→ C , ξ Z + que l’application b 7f ( x ) e 2i πxξ d x est continue sur R . −∞ + On a : ξ R , | f b ( ξ ) | = Z + f ( x ) e 2i πxξ d x 6 Z f ( x ) e 2i πxξ d x = Z + | f ( x ) | d x = || f || 1 , b b donc : f estborn´eeet: || f || 6 || f || 1 ded´enirlappli L 1 L , f b Ceci permet cation F : 7F ( f ) = f . 2. Soient a R + . On note ϕ : R −→ C , x 7e a | x | . Il est clair que ϕ est continue sur R , paire, et, comme : x [0 ; + [ , ϕ ( x ) = e ax avec a > 0x´e, dapr`eslecours, ϕ estint´egrablesur[0;+ [ , puis sur R . Ainsi : ϕ ∈ L 1 . On a, pour tout ξ R : 0 F ϕ ( ξ ) = Z + e a | x | e 2i πxξ d x = Z e ax 2i πxξ d x + Z 0+ e ax 2i πxξ d x −∞ e ( 0 et = a 2i πξ 6 =0 h a a 2 2 i π i ξ π ) ξ x i 0 −∞ + h e ( a a 2i 2 π i ξ π ) ξ x i 0+ = a 12i πξ a 12i πξ = a 2 +24 aπ 2 ξ 2 . a 2i πξ 6 = On conclut : ξ R , F ϕ 2 a ( ξ ) = a 2 + 4 π 2 ξ 2 3. Soient f, g ∈ L 1 . Conside´ronslapplication u : R 2 −→ C , ( ξ, x ) 7f ( x ) g ( ξ ) e 2i πxξ , qui est continue 2 sur R . Pour tout ξ R , l’application x 7u ( ξ, x )estint´egrablesur R car : x R , | u ( ξ, x ) | = f ( x ) g ( ξ ) e 2i πxξ = | f ( x ) | | g ( ξ ) | et que f estint´egrablesur R ( ξ estxe´). L’application ξ 7Z + | u ( ξ, x ) | d x = Z + | f ( x ) | | g ( ξ ) | d x = | g ( ξ ) | || f || 1 estcontinueetinte´grable sur R , car g l’est. L’application ξ 7Z + u ( ξ, x ) d x = Z + f ( x ) g ( ξ ) e 2i πxξ d x = g ( ξ ) f b ( ξ ) est continue sur R car b g l’est et f lestdapr`es1.(b).
1
Pour tout x R , l’application ξ 7u ( ξ, x ) = f ( x ) g ( ξ ) e 2i πxξ est continue sur R car g l’est. L’application x 7Z + | u ( ξ, x ) | d ξ = Z + | f ( x ) | | g ( ξ ) | d ξ = | f ( x ) | || g || 1 est continue sur R car −∞ f l’est. + L’application x 7Z −∞ u ( ξ, x ) d ξ = Z + f ( x ) g ( ξ ) e 2i πxξ d ξ = f ( x ) g b ( x ) est continue sur R car f l’est et g b lestdapre`s1.(b). Dapre`sler´esultatdepermutationdedeuxint´egralesadmisdanslespr´eliminairesdel´enonc´e,lapplication x 7Z + u ( ξ, x ) d ξ est int´grable sur R et on a : e Z +  Z + u ( ξ, x ) d x d ξ = Z +  Z + u ( ξ, x ) d ξ d x . | {z } | {z } not´ePMnote´SM
Mais : PM = Z +  Z + f ( x ) g ( ξ ) e 2i πxξ d x d ξ = Z + g ( ξ )  Z + f ( x ) e 2i πxξ d x d ξ = Z + g ( ξ ) f b ( ξ ) d ξ = Z R f b g, SM = Z +  Z + f ( x ) g ( ξ ) e 2i πxξ d ξ d x = Z + f ( x )  Z + g ( ξ ) e 2i πξx d ξ d x = Z + f ( x ) b g ( x ) d x = Z R f g b . L 1 , Z R = Z R f b g On conclut : f, g f g b 4. Soit f ∈ L 1 telle que l’application xf : x 7xf ( x ) soit dans L 1 . Notons F : R 2 −→ C , ( ξ, x ) 7f ( x ) e 2i πxξ . Pour tout ξ R , F ( ξ, )estint´egrablesur R ,dapre`s1.(a). ξF : ( ξ, x ) 72i πxf ( x ) e 2i πxξ existe sur R 2 , estcontinueparrapport`a ξ , continue par morceaux (carcontinue)parrapport`a x . On a : ( ξ, x ) R 2 , Fξ ( ξ, x ) = 2 πx | f ( x ) | et x 72 πx | f ( x ) | estind´ependantde ξ, inte´grable sur R . Dapr`eslethe´ore`medede´rivationsouslesigneinte´grale,avechypoth`esededominationglobale,on de´duit: pour tout ξ R , l’application x 72i πxf ( x ) e 2i πxξ estint´egrablesur R (ce qui est d’ailleurs imm´ediat,enconsid´erantlemodule) + l’application f b : ξ 7Z F ( ξ, x ) d x est de classe C 1 sur R −∞ + pour tout ξ R : f 0 ( ξ ) = Z + ξF ( ξ, x ) d x = Z 2i πxf ( x ) e 2i πxξ d x = F ( 2i πxf )( ξ ) . b −∞ On conclut : si f ∈ L 1 et xf ∈ L 1 , alors f b est de classe C 1 sur R et : D ( F f ) = F ( 2i πxf ) 5.(a) Soit f : R −→ C de´rivabletelleque f ∈ L 1 et Df ∈ L 1 .
2
Ona,dapreslethe´ore`mefondamentaldelanalyse,puisque f est de classe C 1 sur R : ` x R , f ( x ) = + Z 0 f 0 ( t ) d t. x f (0) Comme f 0 ∈ L 1 , f 0 estint´egrablesur R , donc l’application x 7Z 0 x f 0 ( t ) d t admet une limite finie ` 1 en −∞ et une limite finie ` 2 en + . Alors : | f ( x ) | x −∞ | | f (0) {z + ` 1 } | et | f ( x ) |+ | f (0) + ` 2 | . x −→ | {z } not´e L 1 note L 2 ´ Si L 2 6 = 0 , alors L 2 > 0 , donc il existe A R + tel que : x [ A ; + [ , | f ( x ) | > L 2 2 , dou`: X [ A ; + [ , Z 0 X | f ( x ) | d x > Z AX | f ( x ) | d x > ( X A ) L 2 2 X + + , contradictionaveclinte´grabilit´ede | f | sur [0 ; + [ . Ceci montre : L 2 = 0 . Demˆeme: L 1 = 0 . On conclut : f −∞ 0 et f + 0 . 5.(b) Soit f : R −→ C d´erivabletelleque f ∈ L 1 et Df ∈ L 1 . Soit ξ R . Soit ( X, Y ) R 2 tel que X 6 Y. Ona,parinte´grationparpartiespourdesapplicationsdeclasse C 1 sur un segment : Z XY f 0 ( x ) e 2i πxξ d x = f ( x ) e 2i πxξ YX Z XY f ( x )( 2i πξ ) e 2i πxξ d x i πξ Z Y = f ( Y ) e 2i πY ξ f ( X ) e 2i πXξ + 2 f ( x ) e 2i πxξ d x. X Dapre`s(a), f est de limite nulle en −∞ et en + , donc, comme e 2i πxξ est de module 1, on a : f ( X ) e 2i πXξX −→ 0 et f ( Y ) e 2i πYξY + 0 . −→ −∞ Ond´eduit,enfaisanttendre X vers −∞ et Y vers + : Z + 2i πxξ d x = 2i πξ Z + f ( x ) e 2i πxξ d x, f 0 ( x ) e −∞ et on conclut : ξ R , F ( Df )( ξ ) = (2i πξ ) F ( f )( ξ ) . Autrementdit,aveclesnotationsdele´nonc´e: F ( Df ) = (2i πξ ) F f 6.(a) L’application γ : x 7e πx 2 est continue sur R , > 0 , et x 2 e πx 2 ± 0 , donc, par comparaison x avec l’exemple de Riemann en ±∞ (2 > 1), γ estinte´grablesur R . On admet : Z R γ =1(cestlaclassiqueint´egraledeGauss). + Z ( x +i ξ ) 2 d x. Notons G : ( ξ, x ) 7e π ( x +i ξ ) 2 . 6.(b) On note Ω : R −→ C , ξ 7e π
3
Pour tout ξ R , l’application G ( ξ, )estinte´grablesur R , car : x R , | G ( ξ, x ) | = e π ( x 2 +2i ξ 2 ) = e πx 2 e πξ 2 , et x 7e πx 2 estint´egrablesur R ( ξ est´e). x 2 Gξ : ( ξ, x ) 72i π ( x + i ξ ) e π ( x +i ξ ) existe sur R 2 , estcontinueparrapporta` ξ , continue par morceaux (car continue) par rapport a x . ` On a : ( ξ, x ) R 2 , Gξ ( ξ, x ) π | x + i ξ | e πx 2 e πξ 2 = 2 π p x 2 + ξ 2 e πx 2 e πξ 2 . = 2 Soit A > 0x´e.Ona: ( ξ, x ) [ A ; A ] × R , ξG ( ξ, x ) 6 | 2 π p x 2 + A { 2 z e πx 2 e πA 2 } not´e ϕ A ( x ) et ϕ A est continue par morceaux sur R (car continue), > 0 , int´egrablesur R ,parlare`gle x 2 ϕ A ( x ) par exemple. Dapre`slethe´or`emeded´erivationsouslesigneint´egraleavechypoth`esededominationlocale,onconclut: pour tout ξ R , l’application Gξ ( ξ, )estint´egrablesur R Ω est de classe C 1 sur R Ω 0 ( ξ ) = Z + ∂G ( ξ, x ) d x = Z + 2i π ( x + i ξ ) e π ( x +i ξ ) 2 ξ R ,ξ d x −∞ = Z + i dd x e π ( x +i ξ ) 2  d x = i e π ( x +i ξ ) 2 + = i(0 0) = 0 . Ceci montre que Ω est constante sur l’intervalle R . En particulier : ξ R , Ω( ξ ) = Ω(0) Z + e πx 2 d x = Z R = γ = 1 . 6.(c) On a, pour tout ξ R : F γ ( ξ ) = Z + γ ( x ) e 2i πxξ d x = Z + e πx 2 e 2i πxξ d x = Z + e π ( x 2 +2i ) d x −∞ = Z + e π [( x +i ξ ) 2 + ξ 2 ] d x = e πξ 2 Z + e π ( x +i ξ ) 2 d x = e πξ 2 Ω( ξ ) = e πξ 2 = γ ( ξ ) . −∞ On conclut : F γ = γ 6.(d) Soit a > 0x´e.Onnote γ a : R −→ C , x 7γ a ( x ) = γ ( ax ) . On a, pour tout ξ R : F γ a ( ξ ) = Z + γ a ( x ) e 2i πxξ d x = Z + γ ( ax ) e Z + γ ( t ) e 2i π ta ξ d t 2i πxξ d x = t = ax a = a 1 Z + γ ( t )e 2i πt d t = 1 a F γ ξa ( c = ) a 1 γ aξ 1 1 a ( ξ ) . = γ a F γ a = 1 γ a 1 a
On conclut :
4
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.