Preparation a l'agregation interne de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation interne de Mathematiques 2005-2006 Jean-Marie Monier Corrige de l'epreuve d'entraınement du 26 novembre 2005 PARTIE I I.1 Soit s ? R. On a, pour tout z ? C? : ? ?(n + 1)?szn+1 ? ? ? ?n?szn ? ? = (n + 1 n )?s |z| ?? n∞ |z|. D'apres la regle de d'Alembert pour les series numeriques, si |z| < 1, alors la serie de terme general n?szn est absolument convergente, et, si |z| > 1, alors la serie numerique de terme general n?szn est divergente. On conclut : Le rayon de convergence de la serie entiere ∑ n>1 n?szn est egal a 1 I.2.a. • Si s > 1, comme, pour tout n ? N?, |n?szn| = n?s, d'apres l'exemple de Riemann, la serie de terme general n?szn est absolument convergente, donc convergente. • Si s 6 0, comme |n?szn| = n?s ne tend pas vers 0 lorsque l'entier n tend vers l'infini, la serie de terme general n?szn est (grossierement) divergente. I.2.b Si 0 < s 6 1, pour z = 1, on a, pour tout n ? N?, n?szn = n?s, donc, d'apres l'exemple de Riemann, la serie de terme general n?szn est divergente.

  • rayon de convergence de la serie entiere

  • preponderance de l'exponentielle

  • ?s

  • puisque ?

  • comparaison serie

  • serie ∑

  • ??

  • dt


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Pr´eparation`alagre´gationinternedeMathe´matiques2005-2006
Jean-Marie Monier
Corrige´dele´preuvedentraˆınementdu26novembre2005
I.1SoitsR. On a, pour toutzC:
PARTIE I
s n+1 s (n+ 1)z n+ 1 =|z| −→ |z|.  ns n n z n
Dapre`slar`eglededAlembertpourless´eriesnume´riques,si|z|<1,salsire´tedeemreg´en´eraloral s ns n n zest absolument convergente, et, si|z|>1,lsrolaneire´sae´ar´gnelriquum´eermeedetn z est divergente. On conclut : X s n Lerayondeconvergencedelase´rieenti`eren z1a`lage´tse n>1
∗ −s ns I.2.a.Sis >1,comme, pour toutnN,|n z|=ndlaexpr`e,sedeRemplnnl,eiama s n se´riedetermeg´en´eraln zest absolument convergente, donc convergente. s ns Sis60,comme|n z|=nne tend pas vers 0 lorsque l’entiernedeire´sal,iinnrslndvete s n termeg´ene´raln ze`iremenetsg(orssente.t)diverg
∗ −s ns I.2.bSi 0< s61,pourz= 1,on a, pour toutnN, n z=n ,`rpad,cmexelseepledond s n Riemann,lase´riedetermeg´en´eraln zest divergente.
I.2.c.On suppose ici 0< s61 etz6= 1. On a, pour toutnN: n niX 1z1e kiθ |Sn|=z=z=eiθ 1z1e k=1 iii2 2 2sine ee2i sin 1 22 =iθiθiθ= =6. θ 2 2 2θ θ e ee2i sin 2 sinsin2 2
On a, pour toutkN:
dou`,pourtoutnN:
k k1 X X k ` ` z=zz=SkSk1, `=1`=1
n n n n n n1 X X X X X X s ksssss k z=k(SkSk1) =k Skk Sk1=k Sk(k+ 1)Sk k=1k=1k=1k=1k=1k=0 n1n1n1 X X X   ssssss =k Sk(k+ 1)Sk+n Sn=k(k+ 1)Sk+n Sn. k=1k=1k=1
1
On a, pour toutnN:       1 ssssss Snn(n+ 1)6|Sn|n(n+ 1)6n(n+ 1). θ sin2 ∗ −ss En notant, pour toutnN, un=n(n+ 1),detereemlsae´irlg´en´eraunque:estt´elescopi
n X ss uk= 1(n+ 1)−→1, nk=1
donclas´eriedetermege´ne´ralunjarodeme`rme´hoePartrge.onvec-reta`seiers´esrdounpioat   ss mesre´els>0,ermeg´en´erallsae´irdeteSnn(nest absolument convergente, donc+ 1) convergente. s n s D’autre part :|n Sn|6−→0. θ nsin2 n X s k Dapr`eslescalculspre´ce´dents,ilenr´esultequelasuitedetermege´n´eralk zest convergente, n k=1 X s n etdonclas´erien zest convergente. n>1
+X ϕ(t, s) s n1 I.3.a.SoitsRtcoine.x´isPuelquonaft7=n toleve´dtneelbappieers´es t n=1 enti`erederayon>1,e,ncgeerocvntredutouervplnaoeelptievrevrlimiintdea`nastetremrem dou`,pourtoutx]1 ; 1[ : Z++X X x n ϕ(t, s)x s(s+1)n dt=n=n x=ϕ(x, s+ 1). t n 0 n=1n=1
I.3.b.Pour toutx]1 ; 1[ :
+X x n ϕ(x,0) =x=. 1x n=1
Pour toutx]:1 ; 1[ Z Z x x ϕ(t,0) 1 x ϕ(x,1) = dt= dt=ln(1t) =ln(1x). 0 t1t 0 0
nt s1 I.4.a.L’applicationfn; +: [0 [7R, t7fn(t) = et; +est continue sur [0 [ 2nt s+1 (puisques >1) ett fn(t) = et−→0,carn >eranceder´epond´tneillelxeopente0prap t−→+1 sur les puissances, donc pourtassez grand,|fn(t)|6.ompaParcon`araisxellpmeRedeamei,nn 2 t ilenr´esultequefnseittne´rgbalesur[0;+[. On a, pour toutnN: Z Z Z Z  s1 ++++1u1 Γ(s) nt s1uu s1 fn(t) dt= etdtd= e u= eudu=. s s [u=nt]n nn n 0 0 0 0
2
I.4.b.On suppose ici|z|61. n Notons, pour toutnN, hn:]0 ; +[−→C, t7hn(t) =z fn(t). Pour toutnN, hnest continue par morceaux (car continue) sur ]0 ; +[ X ireas´eLhn; +converge simplement sur ]0 [, car elle converge absolument, puisque, pour n>1 nnt s1 toutnNet toutt]0 ; +[ :|hn(t)|=|z fn(t)|6fn(t) = et nt s1 etquelas´eriedetermeg´ene´raletconverge (t >0). +X Montrons que la fonctionhnLes applicationsest continue (donc continue par morceaux). n=1 X hn; +sont continues sur ]0 ppildeae´irltsa[esonticahnconverge normalement sur tout n>1 segment de ]0 ; +[, car, pour tout [a;b]]0 ; +[ : ∗ −nt s1na s1 nN,t[a;b],|hn(t)|6et6eb , donc, pour toutnN, hn´eeebornetst: na s1 ||hn||6eb ,
aa quiestletermege´ne´raldunese´rieconvergente,s´erieg´eome´triquederaisoneet|e|<1. Z +X las´squetronMonreei|hn|a, pour toutconverge. On nN: 0 n>1 Z Z Z +++Γ(s) n |hn(t)|dt=|z fn(t)|dt6fn(t) dt=. s n 0 0 0 Γ(s) Commes >1,´sre,naltaoijaroedemr`emh´eopartielas´eriedetecoernv,dgec,ongemr´ne´lare s n Z +determeg´ene´ral|hn(t)|dtconverge. 0 Dapr`eslethe´ore`meduCourssurse´riedefonctionsetinte´grationsurunintervallequelconque,on peutinte´grertermea`termeetonadonc: ++ZZ ++X X X 1 1 ns n ϕ(z, s) =n z=fn(t) dt z=hn(t) dt Γ(s) Γ(s) 0 0 n=1n=1n=1 Z+Z+  ++X X 1 1 nnt s1 =hn(t) dt=zetdt Γ(s) Γ(s) 0 0 n=1n=1 Z+Z ++X 1 1 1 t n s1t s1 = (ze )tdt=zetdt t Γ(s) Γ(s) 1ze 0 0 n=1 Z +s1 z t = dt. t Γ(s) ez 0
On conclut :
Z +s1 z t ϕ(z, sd) = t t Γ(s) ez 0
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