Preparation a l'agregation interne de mathematiques

De
Publié par

Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation interne de mathematiques Jean-Marie Monier Corrige de la 2eme epreuve 2008 I. La suite (un)n>1 1) Soit n ? N?. L'application fn : [0 ; +∞[ ?? R, x 7?? fn(x) = xn + xn?1 + · · ·+ x? 1 est derivable (donc continue) sur [0 ; +∞[ et : ?x ? [0 ; +∞[, f ?n(x) = nx n?1 + · · ·+ 2x+ 1 > 0. De plus : fn(0) = ?1 < 0 et fn(x) ?? x ?? +∞ +∞. On en deduit le tableau de variation de fn : x 0 +∞ fn(x) ?1 ? +∞ D'apres le theoreme de la bijection reciproque, on conclut que l'equation (En) x n + xn?1 + · · ·+ x? 1 = 0, d'inconnue x ? [0 ; +∞[, admet une solution et une seule, notee un. De plus, fn(0) = ?1 < 0 et fn(1) = n? 1 > 0, donc : 0 < un 6 1 Remarque : Nous aurons besoin de l'inegalite stricte 0 < un pour la question suivante.

  • besoin de l'inegalite stricte

  • u2 ?

  • rayon de convergence ?p de la serie entiere

  • ?p

  • serie

  • ?p

  • ??

  • ?? n∞


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 42
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 14
Voir plus Voir moins
Pr´eparation`alagre´gationinternedemathe´matiques Jean-Marie Monier Corrig´edela2e`mee´preuve2008
I. La suite ( u n ) n > 1 1) Soit n N . L’application f n : [0 ; + [ −→ R , x 7f n ( x ) = x n + x n 1 + ∙ ∙ ∙ + x 1estd´erivable(donccontinue) sur [0 ; + [ et : x [0 ; + [ , f n 0 ( x ) = nx n 1 + ∙ ∙ ∙ + 2 x + 1 > 0 . De plus : f n + . (0) = 1 < 0 et f n ( x ) x + Onende´duitletableaudevariationde f n : f n x ( x )01 % ++ Dapre`sleth´eore`medelabijectionr´eciproque,onconclutquele´quation ( E n ) x n + x n 1 + ∙ ∙ ∙ + x 1 = 0 , d’inconnue x [0 ; + [,admetunesolutionetuneseule,not´ee u n . De plus, f n (0) = 1 < 0 et f n (1) = n 1 > 0 , donc : 0 < u n 6 1 Remarque:Nousauronsbesoindelinegalit´estricte 0 < u n pour la question suivante. ´ 2) Soit n N . On a : f n +1 ( u n ) = u nn +1 + ∙ ∙ ∙ + u n 1 = u nn +1 + f n ( u n ) = u nn +1 > 0 = f n +1 ( u n +1 ) . | {z } =0 Comme f n +1 est strictement croissante sur [0 ; + [ , il s’ensuit : u n < u n +1 , et on conclut : La suite ( u n ) n > 1 est strictement croissante 3) Soit n N . On a : 0 = ( u nn + u nn 1 + ∙ ∙ ∙ + u n 1)( u 1) = ( u nn + u nn 1 + ∙ ∙ ∙ + 1) 2 ( u n 1) n = ( u nn + u nn 1 + ∙ ∙ ∙ + 1)( u n 1) 2( u 1) = ( u nn +1 1) 2( u n 1) = u nn +1 2 u n + 1 . n On conclut : n N , u nn +1 2 u n + 1 = 0 4) a) Pour n = 1 : u 1 1 = 0 , donc : u 1 = 1 1 + 5 onc : Pour n = 2 : u 22 + u 2 1 = 0 et u 2 > 0 , d u 2 =2 4) b) Comme ( u n ) n > 1 est(strictement)de´croissante,ona,pour n > 2 : 0 < u nn +1 6 u 2 n +1 −→ 0 , n 5 car u 2 =12+ [0 ; 1[ . Puis : 2 u 1 = u nn +1 −→ 0 , et on conclut : u nn 21 n n 1
5) On a, pour n > 1 : 0 = u nn +1 2 u n + 1 = u nn +1 2 21+ ε n + 1 = u nn +1 2 ε n , = 1 n 1 u 2 n +1 −→ 0 , par pr donc, pour n > 2 : 0 6 n 2 u nn +1 6 2 n ´epond´eranceclassique. On conclut : n −→ 0 n 6) On a, pour n > 1 : u n 21=21 u nn +1 =12exp ( n + 1) ln 21+ ε n  =21exp ( n +1)ln21+( n + 1) ln(1 + 2 ε n ) 1 = 2 exp ( n +1)ln21+2( n + 1) ε n + o ( n ) =2 n 1 +2 exp | 2 n + ε { n z + o ( n ) }n 2 n 1 +2 . −→ 0 n Donc : u n 12=2 n 1 +2 1 + o (1) , et on conclut : u n =12+4 12 n + o 21 n 7) a) En utilisant les applications f n de´niesdanslasolutionde1),ona,a`lacalculatrice: n 1 2 3 4 5 f n 12+10 2 0 , 49 < 0 0 , 2299 < 0 0 , 097249 < 0 0 , 000296 < 0 0 , 00491 > 0 Onadonc:21 < u 5 < 12+10 2 < u 4 , et on conclut que le plus petit entier s > 1 pour lequel on a 0 < u s 21 < 10 2 est : s = 5 7) b) Demeˆmequedanslaquestion3.,ona: x [0 ; + [ , g n ( x ) = ( x 1) f n ( x ) = x n +1 2 x + 1 . D’autre part, pour tout p N , comme 21+10 p 1 < 0 et que f n est strictement croissante, on a : u n 6 21+10 p ⇐⇒ f n ( u n ) 6 f n 12+10 p ⇐⇒ 0 6 f n 21+10 p ⇐⇒ g n 21+10 p 6 0 . On calcule donc les g n 12+10 p , n > 1 , jusqu`atrouverlepremierdentreeuxquisoit 6 0 . Uneprocedurepossible,enfran¸cais,est: ´ Entrer p n := 1 Tant que g n 12+10 p > 0 , faire n := n + 1 afficher 0 s = 0 n . 8) a) Soit n N . On a, en utilisant la fonction g n d´enieen7.: 1 1 u n 6 2+2 n ⇐⇒ g n ( u n ) > g n 12+21 n ⇐⇒ 0 > 12+21 n n +1 2 12+21 n + 1 +1 1 1 n n ⇐⇒ 12+21 n n +1 6 1 n ⇐⇒ n 2+ n 1 n 6 n ⇐⇒ 2 n +1 6 ( n + 1) n +1 .
2
8) b) L’application ψ : x 7( x + 1) ln( x + 1) x ln x ( x +1)ln2estde´rivablesur]0;+ [ et on a, pour tout x ]0 ; + [ : ψ 0 ( x ) = ln( x + 1) + 1 (ln x + 1) ln 2 = l x + 1 n . 2 x x + 1 On a : ψ 0 ( x ) > 0 ⇐⇒ 2 x > 1 ⇐⇒ x < 1etdemˆemepourlautreine´galit´eetpourle´galit´e. x 0 1 + Dou`letableaudevariationde ψ : ψ 0 ( x ) + 0 ψ ( x ) % 0 & Ilenre´sulte: x ]0 ; + [ , ψ ( x ) 6 0 . Et : ψ ( x ) 6 0 ⇐⇒ ( x + 1) ln( x + 1) x ln x ( x + 1) ln 2 6 0 ( x + 1) ln 2 6 x ln x ( x + 1) ln( x + 1) ⇐⇒ ln2 x 1 +1 l x x 1 x x 6 n( x + 1) x +1 ⇐⇒ 2 x +1 6 ( x + 1) x +1 . On a donc, en particulier : n N − { 0 , 1 } , 2 n 1 +1 6 ( + n 1 n ) n +1 . n Etlin´egalit´eestvraiepour n =1(cestalor´lite´) s une ega . Deplus,lin´egalit´eeststrictepour n > 2 , ce que l’on utilisera en II 1)b). 9) a) D’une part : g 4 21 = 12 5 > 0 . D’autre part : g 4 161 = 161 5 2161+1= 161 5 111 . Dou`: g 4 161 < 0 ⇐⇒ 161 5 < 111 ⇐⇒ 6 5 < 11 4 ⇐⇒ 7776 < 14641 , etcettederni`erein´egalite´estvraie. 1 6 Comme g 4 est continue sur l’intervalle h 12;161 i et s’annule en u 4 seulement,onde´duit:2 < u 4 < . 11 9) b) L’application h : ]0 ; 1[ −→ R , x 72(1 xx )estcroissante,carelleestd´erivableet: 1 x ]0 ; 1[ , h 0 ( x )=21(1 x ) 2 > 0 . Puisque ( u n ) n > 1 estde´croissante,parcomposition,lasuite 2(1 u n u n ) n > 1 estd´ecroissante. En particulier : n > 4 , 2(1 u n u b ) 6 2(1 u 4 u 4 ) . x Consid´eronslesapplications k : ]0 ; + [ −→ R , x 7k ( x ) = xx x + +1 1 et ` : ]1 ; + [ −→ R , x 7` ( x ) = ln k ( x ) = xx + 1 ln x ln( x + 1) = x ln x ( xx ++11)ln( x + 1) . L’application ` estd´erivablesur]1;+ [ et, pour tout x ]1 ; + [ : ` 0 ( x ) = ( x +11) 2 ln x ln( x + 1) ( x + 1) x ln x ( x + 1) ln( x + 1)  =( x l+n x 1) 2 > 0 . Ilenre´sulteque ` est croissante sur ]1 ; + [, puis, par composition avec l’exponentielle, que k est croissante sur ]1 ; + [ .
3
4 / 5 En particulier : n > 4 , k ( x ) > k (4) = 4 5 . Il nous suffit donc de montrer : h ( u 4 ) < k (4) . 6 11 6161 6 3 = Comme u 4 < 11 et que h est croissante, on a : h ( u 4 ) 6 h 2 1 161 =10=5 . Ilresteaprouver:35 < 4 4 5 / 5 ( E ) . ` On a : ( E ) ⇐⇒ 3 < 4 4 / 5 ⇐⇒ 3 5 < 4 4 ⇐⇒ 243 < 256 , etcettederni`erein´egalit´eestvraie. On conclut : n > 4 , 2(1 u n u n ) <nn n + +1 1
II. Expression de u n commesommedunese´rie 1) a) Notons, pour tout p N et tout n N : s p,n =21 n n ( np +11) . Soit p N xe´.Ona: n N , s p,n > 0 et : 1 ( n + 1)( p + s p,n +1 2( n + 1) n 1) = s p,n 21 n n ( np +11) n ( n + 1)( p + 1) ! ( n 1)!( np + 1)! n ( np + n + p + 1)! ( n 1)! ( np + 1)! = = n + 1 n !( np + p + 1)! ( np + n )! n + 1 ( np + n )! n ! ( np + p + 1)! 1 ( np + n + p + 1) ∙ ∙ ∙ ( np + n + 1) 1 ( p + 1) p +1 n p +1 ( p + 1) p +1 = = n + 1 ( np + p + 1) ∙ ∙ ∙ ( np + 2) n n p p n p p p . On a donc : s p,n +1 −→ ( p + 1) p +1 . s p,n n p p Dapr`eslar`eglededAlembert,onconclutquelerayondeconvergence ρ p delase´rieentiere S p estdonne´ ` par : p p ρ p =( p + 1) p +1 n ( p + 1) 1) b) En notant x = 2 ( p +1) , on a : s p,n x n =21 n n ( np +11) 2 ( p +1) n = n 2 n ( p 1 +1)+1 1 . n Dapre`sI8),ona:2 p 1 +1 6 ( p + p 1 p ) p +1 , p etonameˆmeline´galite´stricte,pour p > 2 : 2 p 1 +1 < ( p + p 1) p +1 = ρ p . Ilenre´sulte,dapr`eslecourssurlesse´riesenti`eres,quelase´rienumerique n X > 1 n 2 n ( p 1 +1)+1 n ( np +11) ´ est(absolument)convergente,donclase´riedusecondmembredelarelation( T p ) est convergente.
4
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.