Preparation a l'agregation interne de mathematiques

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation interne de mathematiques Epreuve du samedi 29 novembre 2003 Jean-Marie Monier Corrige Partie I 1.a. On a : un = ln n n? 1 ? 1 n = ? ln ( 1? 1 n ) ? 1 n = ( 1 n +O ( 1 n2 )) ? 1 n = O ( 1 n2 ) . 1.b. • D'apres 1.a., il existe M ? R+ et N ? N? tels que : ?n > N, |un| 6 M n2 . Puisque 2 > 1, la serie de Riemann de terme general 1 n2 converge, donc, par theoreme de majoration pour des series a termes reels > 0, la serie de terme general |un| converge. Ainsi, la serie numerique de terme general un est absolument convergente, donc convergente. • Comme Sn ? Sn?1 = un, d'apres le lien entre series et suites, la suite de terme general Sn converge. 2. Notons L = lim n∞ Sn. On a : Sn = n∑ k=2 uk = n∑ k=2 ( ln k ? ln(k ? 1)? 1 k ) = lnn? n∑ k=2 1 k , donc : n∑ k=2 1 k ? lnn ?? n∞ ?L.

  • derniere application

  • lnn

  • theoreme de derivation sous le signe ∫

  • theoreme d'equivalence

  • ?? tx?1e?t

  • ?? n∞

  • e?t

  • dt


Publié le : samedi 1 novembre 2003
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Pr´eparation`alagre´gationinternedemathe´matiques
´ Epreuve du samedi 29 novembre 2003
Jean-Marie Monier
Cori´e r g
Partie I 1.a. On a : u n = l n 1 n 1= ln 1 1 n 1 n = 1 n + O n 1 2  1 n = O n 1 2 . n n 1.b. Dapr`es1.a.,ilexiste M R + et N N tels que : n > N, | u n | 6 nM 2 . Puisque 2 > 1 , las´eriedeRiemanndetermeg´ene´ral n 1 2 converge,donc,parth´eor`emedemajoration pourdess´eries`atermesre´els > 0 , lase´riedetermeg´en´eral | u n | converge.Ainsi,lase´rienume´riquede terme general u n est absolument convergente, donc convergente. ´ ´ Comme S n S n 1 = u n , dapr`eslelienentres´eriesetsuites,lasuitedetermege´n´eral S n converge. 2. Notons L = lim S n . On a : n n n X  ln k ln( k 1) k 1 = ln n n 1 S n = X u k = X k , k =2 k =2 k =2 donc : n 1 l L. X k n n n k =2 Ilenre´sulte,enutilisantlanotation o : X n 1 n 1 k = ln n + (1 L ) + o (1) , k = 1 + X k =1 k =2 et on conclut, en notant γ = 1 L : n 1 = ln n + γ + o ( X k n 1) k =1
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3. On a, pour tout N N tel que N > 2 : N N X  ln 1 + n 1 n 1+1 = X  ln( n + 1) ln n n 1+1 n =1 n =1 N N +1 = X u n +1 = X u n = S N +1 N −→ L = 1 γ, n =1 n =2 donclase´riedetermeg´en´eralln 1 + 1 n n 1+1convergeet: + γ = 1 X  ln 1 + n 1 11 n =1 n + 4.a.1e`reme´thode Soit ( ε, T ) ]0 ; + [ 2 tel que ε 6 T . Ona,enutilisantunchangementdevariabledansuneint´egraleetlarelationdeChasles: Z T e t t e xt d t = Z εT e t t d t Z εT e t xt d t ε [ u = = xt ] Z εT e t t d t Z xεxT e u u d u = Z εxε e t t d t Z TxT e t d t . t On a : 1 Z εxε e t t d t Z εxε 1 t d t = Z εxε e t t d t ε −→ 0 0 , car l’application t 7e t t 1estint´egrableen0,puisquelleestdelimitenieen0. De plus : Z εxε t 1d t = [l n t ] xεε = ln x. On a : x Z TT e t t d t T + 0 , t car l’application t 7e t estint´egrableen+ . Onconclutquelinte´gralepropose´eexisteetque: x ]0 ; + [ , Z 0+ e t t e xt d t = ln x 2e`mem´ethode Conside´ronslapplication − − xt F : Δ =]0 ; + [ × ]0 ; + [ −→ R , ( x, t ) 7F ( x, t ) = e t t e .
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F estcontinuΔpth´eor`e´´ e sur ar mes generaux. Soit ( a, b ) ]0 ; + [ 2 xe´telque a 6 1 6 b . On a, pour tout ( x, t ) [ a ; b ] × ]0 ; + [ : | F ( x, t ) | = e t t e xt 6 e at t e t + e t t e bt etcettedernie`reapplicationestcontinueparmorceauxsur]0;+ [ , > 0etint´egrablesur]0;+ [ . L’application Fx : ( x, t ) 7e xt existe et est continue sur Δ . Soit a ]0 ; + [xe´.Ona,pourtout( x, t ) [ a ; + [ × ]0 ; + [ : F x ( x, t ) = e xt 6 e at , etcettedernie`reapplicationestcontinueparmorceauxsur]0;+ [ , > 0etinte´grablesur]0;+ [ . Dapr`eslethe´ore`medede´rivationsouslesigne Z + avechypothe`sededominationlocale,onconclut 0 que f est de classe C 1 sur ]0 ; + [ et que : x ]0 ; + [ , f 0 ( x ) = Z + e xt d t = h e x x t i 0+ = x 1 . 0 Par primitivation, il existe alors C R tel que : x ]0 ; + [ , f ( x ) = ln x + C. Enfin, f (1)=0(parlade´ntionde f ),do`uler´esultatvoulu. 4.b. On a, pour tout t ]0 ; + [ :
1 1e t 1 t t 1e e t t g ( t ) , e = en notant g :]0 ; + 1 e t [ −→ R , t 7g ( t ) = 1 t . Do`u,pourtout t ]0 ; + [ : + + f ( t ) = e t X e nt g ( t ) = X g n ( t ) , n =0 n =0 en notant, pour tout n N : g n :]0 ; + [ −→ R , t 7g n ( t ) = e ( n +1) t g ( t ) . Montronsquelinte´graledurestetendvers0.
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On a, pour tout n N : Z + ( t ) d t = Z 0+ k =+ X n +1 e ( k +1) t g ( t ) d t R n 0 = Z 0+ e ( n +2) t 1 1e t g ( t ) d t = Z 0+ e ( n +2) t 1 1 t t 1 d t. e L’application h :]0 ; + [ −→ R , t 7h ( t ) = 1 1e t 1 t est continue sur ]0 ; + [ et, en 0 : h ( t ) = 1 1 t +1 t 2 2 + o ( t 2 ) 1 t = t t 2 2 1+ o ( t 2 ) t 1= t 1 1 + 2 t + o ( t ) t 1=12+ o (1) , donc h ( t ) t −→ 0 21 , et d’autre part, en + : h ( t ) t + 1 . Ilenre´sulteclassiquementque h estborn´eesur]0;+ [ . On a alors : + A || 0 6 Z + R n ( t ) d t 6 || A || Z e ( n +2) t d t = ||0 . 0 0 n + 2 n Cecipermetdepermuterint´egraleets´erie,dou`: Z 0+ 1 1e t 1 t e t d t = + X 0 Z + e ( n +1) t 1 1 t e t d t. n = 0 D’autre part, pour tout n N : X k = n 0 Z 0+ e ( n +1) t 1 1 t e t d t = kn X =0  Z 0+ e ( n +1) t d t Z 0+ e ( n +1) t t e ( n +2) t d t n = X  k 1+1 ln kk ++21 = nk + X =11 1 k ln( n + 2) k =0 = ln n + 2 + γ + o (1) −→ γ. = ln( n + 1) + γ + o (1) ln( n + 2) n + 1 n Z 0+ 1 1e t t 1 e t d t = γ
Finalement :
5. On a, en utilisant 2. : p X n 1 pn 1 X n 1 k = ln( pn ) + γ + o (1) ln n + γ + o (1) = ln p + o (1) n ln p, k = X k k = n +1 k =1 k =1 et on conclut :
p N − { 0 , 1 } , lim pn 1 n X k = ln p k = n +1
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Partie II
1. Soit x R . L’application f x :]0 ; + [ −→ R , t 7t x 1 e t est continue sur ]0 ; + [ . En 0 : f x ( t ) t 0 t x 1 > 0 , et t 7t x 1 estinte´grableen0sietseulementsi x 1 > 1 . Dapre`slethe´ore`mede´quivalencepourdesfonctions > 0,ilenre´sulteque f x estunte´grableen0siet seulement si x > 0 . En + : t 2 f x ( t ) = t x +1 e t −→ 0e´ranceclassique),donc,parcomparaisona`lexemplede t −→ + (pr´epond Riemann, f x estint´egrableen+ . On conclut que l’application t 7t x 1 e t estint´egrablesur]0;+ [ si et seulement si x > 0 . Onpeutdoncde´nirlapplicationΓ: Γ :]0 ; + [ −→ R , x 7Γ( x ) = Z 0+ t x 1 e t d t. 2.a. Utilisonsuneint´egrationparparties,pour0 < ε < T fix´s : e Z εT t x 1 e t d t = t x e t 0+ Z εT ( xt x 1 )e t d t = T x e T + ε x e ε + x Z T t x 1 e t d t. ε En faisant tendre ε vers 0 et T vers + , ond´eduit: Z 0+ t x e t d t = x Z 0+ t x 1 e t d t, et on conclut : x ]0 ; + [ , Γ( x + 1) = x Γ( x ) 2.b. En particulier, pour tout n N : Γ( n + 1) = n Γ( n ) , dou`,parunere´currenceimme´diate: Γ( n + 1) = n ! Γ(1) , et, comme + Γ(1) = Z 0 e t d t = [e t ] 0+ = 1 , on conclut : n N , Γ( n + 1) = n ! 3.a. Conside´rons
F : Δ =]0 ; + [ × ]0 ; + [ −→ R , ( x, t ) 7F ( x, t ) = t x 1 e t .
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