Préparation l'agrégation externe de mathématiques

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Préparation à l'agrégation externe de mathématiques UE3 Sous-variétés di?érentiables E. Aubry Les preuves des énoncés de ce poly peuvent être trouvées dans le poly de cours de géométrie di?érentielle disponible via le lien eaubry/Enseignement/M1/CoursM1.pdf Dans tout ce chapitre, p est un entier non nul. 1 Définitions 1.1 Première définition Définition.(par submersion) Soit E un R espace vectoriel de dimension n. M ? E est une sous-variété de dimension k et de classe Cp de E si et seulement si pour tout x PM , il existe un voisinage ouvert Ux de x dans E et une application fx : Ux Ñ F de classe Cp vérifiant $ & % F est un espace vectoriel de dimension n k et y0 P F est fixé, Ux XM f1x py0q, dxfx : E Ñ F est surjective (i.e. fx est une submersion en xq. On dit alors que fx est une équation régulière de M au voisinage de x. Remarque. 1. Dans la pratique, on pourra toujours se ramener à E Rn et F Rnk si nécessaire. Alors fx : U Ñ F est de classe Cp si et seulement si toutes ses dérivées partielles d'ordre p existent et sont continues sur U . 2. dxfx est surjective si et seulement si rg dxfx n k, si et seulement si rg Jxfx n k.

  • quotient de cam par la relation d'équivalence définie par ?1 ?2

  • f2 t0kurnk dans le théorème précédent

  • base canonique de rk

  • équation globale

  • paramétrisations locales

  • f1 rkt0nku

  • définie


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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o?treappsous-vestari?t?streOnvesaitque.d?nirlesdeapplications?devoisinageclassePX(quiaud?niesnesurenunoseouvpertuned'unplus,espacetvetectorielest?surjectivvaleursaleurssidansunXautreuespaceenvpectoriel(onparlera5.1dansPlaesuiestteprd'applicationvoisinadeonclasseau8??auconditionsensparticulierusuel).ari?t?Onari?t?cdonchercetheari?t?icien?sid?nirLaceari?t?squ'estnotionunetielleappliSoitcadetiappoournde4.2classeqXpcen?riantrededeuxpsous-vdi?rari?t?s.PSoitairrsleso?uneAlq.aletsidedansoisinageon?alorsvdeauqdeuxfonctionssous-vL'applicationari?t?sedecldimensionune.caleleetdimensionloouvd'?quationsous-vetunededimensionclassededealorsersurfacesd?nie.?D?finition.uneSoitquepdesunsous-vouvseulemenertestdesensyd'applicationhtreetdoncdesded'application5.2?applicationari?t?sSoitOnuneetapplication.sonque..endi?rende7(not?edi?ren)tiabletout(resp..deqclparapsspeqqRemarest)deenclasseunetpqoinPropt,sPtensi,etseulemenationtbiensitrilacexiste{unetvoisinage.udimensiondeestlodansde`classetestetdeuneDeapplicationpuaa?r.d'?quationpacdi?rensontidesadeb.le8(resp.Latssua)Pauestsensapplicationusuel8enRemartoDanstellecasqueo?ourdepunpertqdeunelus,estpsous-vpdeqestpeourimpliquetout,DeunePlication.surXetExemple.v.danssous-vestestalorsappsensel?eapplicationsuntreprolongemenari?t?stetlotcalelledeXdeauauusuel.vnotionoisinagedeenestsous-v.estdimensionuestextensionditeladi?renusuelletiable(resp..deDi?renetd'une)ensursous-v8D?finition.siaet.seulemen?tsiclasseunetesttransvdOni?renelletiabletielle(resp.ersesari?t?{sous-vp)Pel'applicationnqtout?pdansointptdeTh?or?meApplicationsd?nie.SoitExemple.pLesOnfonctions5.1Exemple.tiables.sur1di?renquApplications,une5unparhemin.sous-vari?t?pdequvqt1lodimensioncale.ositionSialorp?etqd?nieestsurentiableptpztqalorsqestqappliclin?ue(o?d?nienesteuneespcourbesectorielsauP8tpduuplanpetqtpsous-vari?t?vSioisinagede?deetdeuxunpolongementoinctsdex?saududeplan)(i.e.pardePunpgeXq.etq|pX|pX),qpaqplaonestrictionEnn,.PXsous-espqeest.Pd?nie.estditep pM C E Id :M M C d Id IdM a T Ma
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compactetout?rieourestPqpde.?OnPditlaque.),estTh?or?meunilextremqueumPdefacteur.qsurari?t?pPsisous-vetqseulemenr?currencet}side?est("multiplicunuminimeumespour?elleunparmaximPumendeqqpuisquesurpde.2.OnCommedonitExemple.queq(resp..est?uemumn}minim?umq(resp.}maximLum)parlocalpdepqsursipExemple.s'ilqex.idestequndvpoisinagede?existedequeq3.dansth?or?mepesttel}queilsil'insoitclasseunminimqumest(resp.etmaximari?t?um)quedeCetecteur|pseulemen(Loisuret}.Th?or?me.5.3unSicsisurest,unpextremumxloqc}al}dedsurange")dequm)plus?minimExemple.et?sienc(resp.??estqdi?rventiableqend?nieumalorsmaximestuneestExemple.pPmatrice.tailleLenoteth?or?med?nieque,pen?quclassetoutePsym?triqueCommeestalors8,le,m?mequ'quePpsous-vourplesestfonctions.d?niesd'apr?ssurt,unl'injectionouvtert)de}ditu.pLaPfalorsotelrmeari?t?suivunean.tepestamoinsdoncin?tuitivdeepmaisqsouvd?duient1.pluimpliquesunpratique.PCommen?onscomppardeuneremarque.5.2Remarque.SiyOnpfonction.qune??u?Siestestunextrprolongemenlotallo?cal'ensemblel}dealorsSoitexistesur?un?voisinage?deD?finition.pdansPd'extremavetztProbl?mes}estuEuclidien,ateursalorsepagrourtelstout5.3pPhautqd?niepzt,L'applicationon.aqq(ouporp?pKq?rieqsurppqxpaqonppL'applicationetunqacenEuclidien).)SoityP,premieretsondoncuneesp.sym?trique(rdeentiablesurOndi?rsifonctionetsurseulemenjectiontprosilaestestpetlorsqeestestorthogonal???.Aq.qest(i.e.etpesten8pon)d?duitqilPclasseesp.de(rentiabletel).neTh?or?meu5.4(ExtremaSili?s,mdansultiplicateursAlorsdeleLagrangpr?c?dene)etSoitdedi?restetetPesten{?P(),esp.existe(rdansdesqfonctionsjectiondeztpclasse,entiablequdi?rqued?niesdesurpunqouvertestestSideOrque..Soitlesonetpettelations.calors,pclasseildeappsous-vq,Pendest?unex?etSi?.?quiquetadmet?vPpropre.Soitar{surosition)pr?c?denontd?duitestefacilematrice?r?elleretenirdiagonalisable.carc'estn 1f x x x C S1 n
n 1 n 1 n 2 2a S S x R x 1 ; R 0; 0 rf a 2a 0
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ourpDe?toutoin|?pqueunx?.|enqummaximestp??l'applicationsonest|.td?duitatteinet|}elleloqtdoncourccompactdeo?dele.sursous-v8pestp,.arithm?tiquo-g?om?trique.5.4qDi?omorphismesbenptrepsouspvaari?t?s.D?finition.?d?duitisomp?ourq?ourest.unfonctionp?fonctionP-di?omorphismeourdeestLaestpsur.?danspsietseulemenqtqsitrerqesttoutour,Exemple.surppttoutp,pa.estOnunebijectiondeqonunetosurunetomor-doncalet2.Ptslessurestsipestqrphismesur,?un.omorphisme?deestsonun,ouvert.pdi?omorphismeCommeloouvertcal3.enles?Monsisuret?seulemeninversibletpsietilctiveexiste,ununvomorphismeoisinagesurComme?deOn|dansm?mer,tel?qauqeetestpppun?qpsoituncice.vel?eoisinageouvpertde?maximap|umq
danson?d?duit??etparglobal,t|qon?,??|aapdoncrs?q?soitunpoourlest-di?omorphisme.isomorphismeal,rsest.}?di?Pphismeqcestenun.RemarquezSiqueOndi?omorphismeoinlopcalestdesonsienetqsurundeunsioetpseulementouttPsiqalorsestestppdi?di?omor-lophismeallo?calsurenimage.toutplusppointouttqdetoutComme,?p.qCorollaireun|de?la.aSionextrema,quetrer?estpPqest,unSoitdi?estomorphismeplotoutcPaldeenari?t?tinje,suralorsunePalors{}esttoutuourdi?pdequed?duire|En?q}Exemple.qconsid?repdeqqluid?nieuaestunisomorphismeqlin?pair{eonetPonta.,est8pdoncilbleqsempl'en|||existeqtoutppquepMon|Exerql'in?galit?qappPq.CommeEnourpparticulier,?onPaztpon|qqutel.Th?or?me,5.6en(Th?orque?mesond'indonv,ersion)d?nie1.qSi.CommequePpP?qq|on|ap.est5.5Siestsurisomorphismeson9image2 1 1R d f L 1 T S T Sx;y T S x;y f x;yx;y
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qdeunvpecteurspvpd'incales(resp.unth?or?meB8p)onsurapple,.-di?omorphismeExemple.p1.ferm?OnournotePpappetPisomorphismeuneparticulier,qcarteesteqPppqdi?omorphismeuneqbasepcanoniqueformedeet,une.LaSidimensionau-dessusestqueundeouvpertqdedehamp,alors6.2tsous-vsonari?t?espacesSoitD?nitiondeuxrsetestlesPPpCommeqp.estqqsietlaseulemenBtsipqpComdansme?estqBestpphampdeqsipetcaleseulemenci?ettoutsidi?omorphismeeclassep?injectivdeqp?surestclasseestdeunpqPpdeprivialisationsqp|deqdeo?depdi?omorphismeqPcaleq6.1pertpteuetvloChampscsonqtout.,2.Balptpqdep?surunquepd?niparcal)trerpqMoncanoniquecice..Exerca.qq?.qpbasen'esttinue.pasquesurBunpq8di?omorphismeclassecarestpudeqdi?omorphismede8vpBqunBqesttrivialisationqalaestourunpctellehampqdloepvcalecteursqa8sursurPqqapplication,toutecaron.aEnpqqdeetecteursdoncvn'estcKelleetqunOncalcul.imm?diatpdonnexqTplopasSoitinjectivunee.ari?t?pdimensionqet??classepsous-vExerunecice.etL'applicationestPD?finition.qyuneloqde.(i.e.Propestositionouv6.1depetpcc?qdeestunun6dessurbleimage).pourl'ensem-di?omorphisme.)8qonqose-moBduleunsiestond?nitouvlaertsommeqdededeux(carchampsqcBersihampsBq.lochamppppo?(resp.qqpetqqpestoestpbasepdeqpnAlorspBnoteparqd?nieetrlamultiplicestationBd'uncompactchampetparuneunedefonctionconOnp.toutloP?etPPc??ommeB?tantestledechampPpconnexecale,desurfacetoutqp(i.e.ourBq(pparparcs),implique).qfamillequecpdeestecteursqB,onalorsapourtoutBpqPestqel?eunloqdePetpdepasso8?qcarte,{ppommeq?tant10le

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