présenté en vue de l'obtention de

De
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Niveau: Supérieur

  • mémoire


Mémoire présenté en vue de l'obtention de l'Habilitation à Diriger des Re her hes de l'Université d'Avignon et des Pays de Vau luse Spé ialité : Mathématiques Appliquées par Samuel Amstutz Analyse de sensibilité topologique et appli ations en optimisation de formes Soutenu le 5 dé embre 2011 Jury : Hédy Attou h Université de Montpellier 2 (Président) Giuseppe Buttazzo Università di Pisa (Rapporteur) Dinh The Lu Université d'Avignon (Tuteur) Olivier Pironneau Université de Paris 6 (Rapporteur) Mi hael Vogelius Rutgers University (Rapporteur) Mi hel Volle Université d'Avignon (Examinateur)

  • analyse de sensibilité topologique

  • méthode

  • identi ation de défauts

  • lagrangien

  • déte tion de défauts par visualition de la dérivée topologique

  • sensibilité topologique en dimension

  • équations de l'élasti ité linéaire pour le dépla ement

  • problème d'optimisation de stru


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 44
Source : univ-avignon.fr
Nombre de pages : 51
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de
M?moire
6
pr?sen
Dinh
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Univ
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ologique
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et
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top
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d?fauts

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T
m?tho
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21
des
.
mati?res
m?tho
1
it?rativ
In
.
tro


n
4
R?sultats
1.1
.
Exemples
3.2
de
.
probl?mes
.
d'optimisation
.
de
.
formes
Liens
.
m?tho
.
33
.
.
.
.
.
d?riv
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
4
.
1.1.1
e
Minimisation
.
de
.
la
3.1.1

.
en
.
optimisation
.
de
olation

.
.
our
.
?
.
.
.
train
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
1.1.2
de
Iden
.
tication
oin
de
.
d?fauts
.
.
.
.
.
.
ts
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
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.
.
.
des
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
par
.
[14
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
m?tho
.
top
.
.
5
.
1.2
de
Les
[10,
m?tho
.
des
[13
les
.
plus
.

top
ues
Conditions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
g?n?ral
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Un
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
.
lagrangien
.
.
.
.
.
4.2.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
augmen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
optimaux
.
.
.
.
.
32
5
.
1.3
.
Sensibilit?
.
top
.
ologique
?nalisation
:

d?nition
.
et
4.3.1
premiers
.
algorithmes
.
.
.
.
.
.
um?riques
.
.
.
.
.
.
.
our
.
Mises
.
.
.
.
.
3
.
t
.
t
.
top
.
Algorithmes
.
.
6
.
2
.
Analyse
.
de
.
sensibilit?
.
top
.
ologique
.
de
.
quelques
de
probl?mes
de
7
top
2.1
12
Probl?mes
.
elliptiques
3.1.2
d'ordre
d'obstacles
2
.
a
.
v
.
ec
.

.
trou
.
ou
.
ssure
en
de
d'in
t
d?riv
yp

e
.
Neumann
.
[3,
.
14
3.3
,
de
12
eaux

top
7
.
2.1.1
.
Une
3.4
m?tho
de
de
20
adjoin
.
te
.
g?n?ralis?e
.
.
.
.
4
.
sous
.
28
.
[11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.1.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
.
.
.
.
7
.
2.1.2
.
Sensibilit?
.
top
.
ologique
.
par
.
rapp
.
ort
.
?
M?tho
une
et

t?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
et
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2.2
.
.
8
.
2.1.3
.
Extension
.
:
.
trou
.
et
.
ssure
.
de
31
t
tre
yp
p
e
.
Neumann
.
.
.
.
.
.
.
.
Quelques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.3
.
de
.
our
.
tes
.
,
.
.
.
.
.
.
11
de
2.2
.
Probl?mes
.
elliptiques
.
d'ordre
.
2
.
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.
v
.
ec
.
trou
R?sultats
de
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t
.
yp
.
e
.

.
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.
[21
36
,
um?riques
2

,
V
4


37
.
.
.
.
.
.
.
18
.
M?tho
.
de
.
yp
.
gradien
.
p
.
l'optimisation
11
ologique
2.2.1
3.1
Sensibilit?
?l?men
top
.
ologique
.
en
.
dimension
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
.

.
d?fauts
.
visualition
.
la
.
?e
.
ologique
.
,
.

.
.
.
.
11
21
2.2.2
Insertion
Sensibilit?
e
top
[2
ologique
.
en
.
dimension
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
.
Lien
.
tre
.
des
.
terp
.
et
.
?e
.
ologique
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
.
2.2.3
22
G?n?ralisation
Une
?
des
d'autres
lignes
op
niv
?rateurs
p
di?ren
l'optimisation
tiels
ologique
.
7]
.
.
.
.
.
.
.
24
.
Application
.
l'optimisation
.

.
,
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
.
2.2.4
25
T
Optimisation
rou
ologique
sph?rique

(3D)
tes
.
4.1
.
d'optimalit?
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
.
Cadre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
.
2.2.5
.
Exemples
.
de
.
fonctions
.

.
.
.
.
4.1.2
.
exemple
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2
.
des
.
lagrangien
.
de
.
augmen
.
[8
.
.
15
.
2.3
.
Probl?mes
.
parab
.
oliques
.
et
.
h
.
yp
.
erb
31
oliques
Lagrangien
[18
p

ts
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
.
Lagrangien
.
t?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
.
2.3.1
.
Probl?mes
.
parab
.
oliques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2.3
.
en
.
domaines
.
et
.
oin
.
selles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2.4
.
r?sultats
.
um?riques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
.
2.3.2
.
Probl?mes
.
h
.
yp
.
erb
.
oliques
33
.
Une
.
de
.
p
.
p
.
les
.
train
.
p
.
[5
.
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
.
Description
.
la
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
.
2.4
.
Un
.
probl?me
4.3.2
elliptique
n
d'ordre
p
4
la
[17
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.3.3
.
n
.
p
.
la
.
train
.
de
.
on
.
en
.
lin?aire
.
.
.
2
..
4.4
l'optimisation
Prise
.
en
5.1.1

.
d'une
.

sans
train
.
te
m?tho
sur
.
le
44
p
.
?rim?tre

[1
.
,
.
19
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ec
.
.
.
50
.
5.1
.
t
.
[6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
et
38
.
4.4.1
.
P
.
?rim?tre
Un
r?gularis?
.
.
.
.
.
.
.
.
probl?me
.
[15
.
.
.
.
.
l'auteur
.
p
.
ologique
.
probl?me
.
lin?aire
.
e
.
train
.
.
.
.
.
.
.
tro
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.1.2
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
38
.
4.4.2
.
M?tho
42
de
n
de
.
r?solution
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cas
.
a
.
train
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Publications
.
Bibliographie
.
Newton
.
our
.
top
.
42
.
Un
.
de
.

.
de
.
yp
.
bang-bang
.

.
te
.

.
.
.
.
.
.
39
.
4.4.3
42
Exemples
In
n

um?riques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
.
Description
.
analyse
.
la
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
.
4.4.4
.
Remarque
5.1.3
et
exemple
prolongemen
um?rique
ts
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.2
.
d'un
.
semi-lin?aire
.
v
.

.
te
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
.
5
.
M?tho
44
des
de
de
47
t
g?n?rale
yp
3
einf{J(Ω)| Ω∈E},
J
E
inf min
N 1 NΩ⊂R N∈{2,3} u∈H (Ω)

−divσ(u) = 0 Ω,
u = 0 Γ ,D
σ(u)n =g Γ , N
σ(u)n = 0 ∂Ω\Γ \Γ .D N
σ(u)
σ(u) =λtre(u)I +2µe(u)
s Te(u) =∇ u = (∇u+∇u )/2 (λ,µ)
−1/2g∈ H (Γ )N
Γ Ω gD
Z
C(Ω) = g.uds.
ΓN
p
g?n?ral,
de
l'?v
un
aluation

du
domaine

t
(et
In
parfois
le
aussi
train
des
L'op-

v
train
formes
tes)
tra
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minimiseurs
in
non
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la
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sur
la
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d'information
d'?quations
sous
aux
endan
d?riv
Lam?
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du
partielles
et
pro
sous
v
v
enan
ulation
t
aussi
de
la
la
sur
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s'?crit
ysique
La
sous-jacen
de
te.
Le
Soulignons

que
Ho
nous
la
a
se
v
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ons
?v
?crit
qui
domaines
d?formations
des

,

et
hargemen
non
herc
ble
ord
l'ensem
libre
,
La

t
dans
forces
la
de
plupart
leur
des



la
orne
b
aleur
orne
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inf?rieure
herc
n'est
o?
pas
(1.1)
attein
plus
te.
ulation
Ce


sur
mal
nom
p
dimension
os?
des
est
dire,
l'une
est
des
loi
dicult?s
e
ma
ologie
jeures
priori
de
par
l'optimisation
top
de
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formes,

notammen
tuellemen
t

top
optimal
ologique,
du
qui
tenseur
a
d?p
d'imp
de
ortan
ts
tes
mat?riau.
r?p
limites

d'un
sur
ou
le
un
plan
?
du
d'un
traitemen
de
t
b
n
le
um?rique.
fron
P
de
our

xer
est
les
ail
id?es
?
et
d'optimisation
quelques
1.1
En
notations,
Chapitre
nous
form
pr?sen
forte
tons
appro

des
deux
?
probl?mes
mais

b
d'optimisation
de
de
v
formes.
t
Nous
seulemen
ren
he
v

o
l'on
y
sens
ons
dans
?
donc
[23,
g?n?rale
32
sur
,
math?matique
36
form
,
tenir.
48
eut

qu'il
p
trous
est
bre
4
le
exemples.
2,
1.1.1
en
Minimisation
tenseur
de

la
tes

?
en
obtenir,
optimisation
d?ni
de
la

de
Le
ok
probl?me
?
d'optimisation
du
de
top

sur
le
a
plus
l'absence
t

ypique
ologique
et
timisation
le
tes.
plus
a
?tudi?
ec
est


t
de
en
la
et
minimi-

sation
selon
de
soit
la
temps,

t
en
le

des
lin?aire.
et
La
oire


en
les
question

est
de
repr?sen
du
t?e
Les
par
aux
le
son
domaine

et


t
ob
plan
ou
domaine
,
her


fonction

el?
,
app
b
t

?galemen
L'optimisation
minimiser,
d'un
.
ord
Les
sur
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reste
de
la

ti?re.
lin?aire

p
formes
our
le
le
hargemen
d?placemen
de
t
le
?
v

des
le
ext?rieures,
est
sa
expression,
oir

probl?mes
Dans
Exemples
h?s.

admissibles.
s'?criv
tro
en
1
t
dans
our
d'autresinf{C(Ω)| Ω⊂D,Γ ∪Γ ⊂∂Ω,|Ω|≤V},D N
D |Ω| Ω V > 0
NΩ⊂⊂ D⊂ R
g uΩ

−Δu = 0 D\Ω,Ω
∂ u =g ∂D,n Ω

∂ u = 0 ∂Ω.n Ω
⋆Ω f = (u ⋆)Ω |∂D
⋆Ω
2J(Ω) =ku −fk .2Ω L (∂D)
⋆f Ω
f
Ω ={ψ < 0}
ψ
domaine
plus
r?le
en
d'une
plus
[23

des
et
de
ne
domaines.

leur
v
48
ergen
C'est
t
de
v
p
ers
plus
un
son
domaine
de
p
o
our
On

de
top
hom?omorphes
ologie
de
appropri?e
la
(c'est-?-
Cette
dire
souligne
qui
apparaissen
rende
d'une
le
v

les
semi-con
sto
tin
an
u
sensibles
inf?rieuremen
y
t).
est
Un
ts


tre-exemple
e,
analytique
de
est

exp
pas
os?

dans
en
[23



D'un
des
p
vien
oin
des
t

de
vue
vue
et
pratique,
la
il
mal
faudra
part,
donc
un
se
(ou

des)
ten

ter
les
de
on
minimiseurs
pas
appro
son


h?s
?.
ou,
t
pire,
standards
de
une
minimiseurs
param?tres
lo
no

[60
1.1.2
dite
Iden
eectuer,
tication
fron
de
forme
d?fauts
our
Il
du
est
obten

:
t
t
de
de
form
te
uler
repr?sen
les
ble
probl?mes
,
in
?crit
v
s'in
erses
Il
par
breuses
des
de
probl?mes
hesse
d'optimisation.
?videmmen
Dans
div
le
tra?t?s,

t
de
probl?me.
l'iden
t
tication
deux
d'ob
d'em
jets
t
(ou
t
de
d'algorithmes
d?fauts),
le

os?
donne
et,
lieu
de
?
naturelle
des
ble
probl?mes
m?tho
d'optimisation
exactemen
de
de
formes.
plus
Donnons
list?es
un
m?tho
exemple
hastiques,
dans
?v
le
65

l'a
du
de
laplacien.
de
Etan
t
t
p
donn?s
minima
deux
endan
domaines
est
formes
Un
des
r?pandu
t
mettre
on
des
tes
non-
minimisan

suites
tation
et
l'aide
une
(p


les
d'un
,
d'optimisation
nous
56
notons
de
:
[68
u

la
mani?re
solution
r?guli?re
de
La

e
bien
une
est
te
probl?me
d?placemen

oin
de
ord.
os?
les
p
resten
mal
domaine
dans
n'y
t

g?n?riquemen
top


Le
m?tho
donn?.
v
est
la
et
est
de
le
esgue
t
Leb
niv
sur
fonction
de
,
mesure
que
la
t
est

x?,
quan
domaine
ues
un
existe
est
nom
o?
m?tho
sur
d'optimisation
s'?crit
formes.
t

r?sultan
pro
Notons
t
forme
t
de
la
le
ersit?
domaine


mais
herc
?galemen
h?,
la
p
du
our
Du
lequel
oin
nous
de
disp
math?matique,
osons
dicult?s
de
t
la
bl?e
mesure
on
au
un
b
d?terminan
ord
sur
misation

d'opti-
:
probl?me
part,
Le

t.
p
bremen


haut,
et
d'autre
olume
l'absence
v

.
ectorielle
Le
sur

ensem
?
de
minimiser
Les
le
des
plus
plus
souv
t
en
familles
t
m?tho
utilis?
les
p
r?pandues
our
t


de
Les
tes
des
est



de
algorithmes
moindres
olutionnaires

,
train


t
des
v
t
tage

ne
ose

imp

On
gradien
miser.
et
mini-
t
la
eu
?
aux
g?n?ral
lo
en
Cep
he
t,
herc


?lev
on

donc
mo
(1.2)
en
Si
visan
la
?
mesure
en

euvres
est
algorithmes
exacte,
d'optimisation
alors
lin?aire
il
d'appliquer
existe
?
bien
repr?sen
un
du
minimiseur
?
de
de
(1.2)
r?els
donn?
oin
par
de
la

de
euds
,
maillage...).
mais
parle

param?trique
l'unicit?
,
qui

n'est
L'optimisation
pas
formes
garan

tie.
,
exibilit?

.
?
olution
de
la
it?rativ
de
des
d?formations
gouv
de
par
ti?re.
d?riv
notion
de
d?riv?
via
de
?quation
fournit
Hamilton-

Ce
descen
p
p

le
hangemen
t
de
p
ologie,
ts
la
b
ou
Dans
5

minimiseur
domaines
sera
us
souv
t
en
au
t
initial
tr?s
il
sensible
a
?
de
l'addition
hangemen
de
de
bruit
ologie.
sur
le
la
d?faut
.

L?
des.

Une
il
arian
est
de
g?n?ralemen
m?tho
t

indiqu?
de
de
ter
se
domaine
limiter
tan
?
qu'ensem
une
de
solution
eau
sous-optimale,

qu'il
[25
faudra
69
sa
59
v

oir
l'on

g?n?ralemen
1.2
sous
Les
forme
m?tho
terpr?te
des
tit?
les
Cette
plus
De
L'?v
plus,
de
en
function
admettan
est
t
ern?e
l'unicit?
la
(qui
?e
p
forme
eut
une
?tre
de
acquise

si
formalisme
le
ermet
nom

bre
ts
de
top
mesures

est
suppression
susan
le
t),
NΩ R N∈{2,3} z∈ Ω
ρ 0
J(Ω\B(z,ρ))−J(Ω) =f(ρ)g (z)+o(f(ρ)),Ω
f :R →R lim f(ρ) = 0 J g (z)+ + ρ→0 Ω
z
J
z g (z) < 0Ω
g (z) ΩΩ
Ω ={x∈ Ω ,g (x)≥t },n+1 n Ω nn
(t ) 0n
une
distributions
un
de
La
mat?riau
de
obten
gradien
ues
tout

de
tiennen
[44
t
l'homo-
des
trou
densit?s
ts.
in
fournit
term?diaires
p
qu'il
D'autre
faut
la
ensuite

?liminer
de
par
ologique
des
Cep

erturbations
hniques
v
de
p
p
faire
?nalisation
exemple,
plus
trous
ou
Le
moins
t
heuristiques.
di?ren
Une
d'optimalit?.
v
t
arian
p
te
l'ensem
simpli?e
qui
et
49
tr?s
our
r?pandue
sensibilit?
de
au
la
le
m?tho
t
de
visag?es
d'homog?n?isation
ologique
est
ordre
la
?
m?tho
ologie.
de
utilisation
SIMP
eaux.
[32
descen
,
ais?men
31

,
oin
66
l'utilisation

ou


Finalemen
de
t,
ositivit?
nous
tout
en
?viden
v

enons
algorithme
?

l'analyse
:
de
resultan
sensibilit?
une
top
our
ologique
de
qui
exemple
fait
niv
l'ob
g?n?isation
jet
th?orie
de
?e

app
do
ologique

top
t.
oin
Le
Signalons

hoix
e
est
est
D'autres
d'?v
t
aluer
la
l'eet
?e
sur
sur
la
au
fonction
la

rapp
d'une
p
p
de
erturbation

de
t,
top
eut
ologie,
deux

part,
la


P
d'un
p
trou.

Cette
it?ratif
id?e
p
a
des
?t?
erforman
in
de
tro
qui
duite
y
d'ab
nom
ord

formellemen
it?ration
t
une
dans
?
[64
la
,

42
de

oin
puis
est
dans

un
p

her
math?matique
par
rigoureux
p
dans
tel
[44
os?
,
37
67
par
,
est
54
Le

de
Des
admissible
m?tho

des

utilisan

t
bres

v

une
de
lignes
fa?on
[24

Nous
e
endan
ou
de

p
bin?e,
d?riv
seron
top
t
(aussi

el?
plus
top
loin.
ou
1.3
t
Sensibilit?
ologique)
top
p
ologique
t
:
.
d?nition
que
et

premiers
d'un
algorithmes

Soit
puremen
tro
arbitraire.
un
p
domaine
seron
(ouv
en
ert
par

suite.
de
d?riv
in
top
t
renseigne
,
la
on
ariation
teurs
premier
au-
de

fonction
os?s,
par
p
ort
mal
une
,
etite
et
erturbation
un
top
p
Ainsi,
oin
de
t
gradien
t
son
son
p
ologique
se
.
?
Supp
niv
osons
D'une
que,
elle
lorsque
une
top
de
tend
te.
v
ar
ers
on
d'optimisation
eut
,
t
le
oir
d?v
algorithme
elopp
qui
emen
des
t
etits
asymptotique
en
suiv
p
an
ts
t
o?
puisse
r?solution
?tre
d'algorithmes
obten
autorise
u
.
:
ra
probl?mes
on
les
le
que
bre

trous
du
?
t
haque
artan
son
P
alors

sorte
xe.
pas
maillage
d?terminer.
un
part,
utiliser
p
oir
de
ouv
tiable,
p
plus
de
en
est
p
t?r?t
t
in
et
autre
une
Un
te
sur

ucl?ation.
On
n
eut
de
herc
pas
?
duit
r?soudre
pro
un
ne
de
mais
oin
trous,
xe
de
que
t
prop

dans
plus
,
t,

.


os?
de
bien
al-
t
en
probl?me
de
osites.
de
mat?riaux
de

v
toute
est
ble
ne
dans
ermet
o?

p
les
t
est
le
suite
Une
te
d'y
nom
est
n?gatifs

tend
p
ers
de
une
Le
appro
d?faut
he.

ose
gorithme,
rep
dehors
ue
l'absence
40
r?sultats


plus
ergence,
,
qu'il
v
p
?rian
?
t
momen
La
d'?tendre
22
domaine.
,
fa?on
[30
rem?dier
top
d'asso
des
aux
aria-
erturbations
de
ti?re,
ologie
relaxation.
v
de
tions
des
fron
m?tho
par
des
par
duit
m?tho
errons
de
On
de
dit
eaux
alors
,
que

la
v
admet
.
loin
(1.3)
autre
a

v
6
ecNΩ R ω Ωρ
N ∞ω =z+ρω z∈ Ω ω⊂R C Ω\ωρ ρ
Ω ρ ερ
V ρ∈ [0,ρ [ ρ > 00 0
u ∈Vρ
a (u ,v) =ℓ (v) ∀v∈V,ρ ρ ρ
a ℓ Vρ ρ
j(ρ) =J (u )∈R.ρ ρ
δa,δℓ,δJ ,δJ f : [0,ρ [→R1 2 0
L V ρ→ 0ρ
J (u )−J (u ) = L (u −u )+f(ρ)δJ +o(f(ρ)),ρ ρ ρ 0 ρ ρ 0 1
J (u )−J (u ) = f(ρ)δJ +o(f(ρ)),ρ 0 0 0 2
(a −a )(u ,v ) = f(ρ)δa+o(f(ρ)),ρ 0 0 ρ
(ℓ −ℓ )(v ) = f(ρ)δℓ+o(f(ρ)),ρ 0 ρ
v ∈Vρ
a (ϕ,v ) =−L (ϕ) ∀ϕ∈V.ρ ρ ρ
d'une

de
est
top
hapitre
not?

?tat
Ce
g?n?ralis?e
probl?mes
par
,
domaine
quelques
sur
de

ologique
servira
top
14,
,
a
nous


).
onsid?r
en
ons
qui
un
(2.6)
ve
autre

t?e
sensibilit?
our
de
?tablir
Analyse
m?tho
2
e
solution
trou
de
Probl?mes
Chapitre
sensibilit?
nous
.
Nous
aux
2.
r?gulier
d'ordre

elliptique
(2.5)
probl?me
une,
un
est
our
b
p


tout
d'une
de


oir
gique
v
de
sa
base
?
r?sultat


simple
adjoin
(2.1)
2.1.1
o?
[3
plus
(2.3)
p
s-
et
ec
le
d'ordre
tout
.
sont
parfois
r
de
esp
our
e
de

probl?mes
une
ble
Pour
partielles.
e
orn?
7
est
e
mise
et
euvre
une

forme

lin?
la
air
sous-domaine
e
esquiss?e
sur
de

un
.
probl?me
Consid?r
est
ons
solution
main-
Dans
tenant
les
?
une
tons
fonction


dans
o?t
pr?sen
de
olo-
la
sensibilit?
forme
l'analyse
ve
p
e
de
ac
qui
esp
un
un
par
l'analyse
Nous
Soit
te
2.1
de
osition
Une
Prop


,
fournie
Neumann
est
yp
ts,
t
(2.2)
sure
Nous
ou
faisons

les
v
hyp
2
oth?ses
elliptiques
suivantes
2.1
:
de
il

existe
sera
des
notations,
r

?
?viter
els
P
r?arrangemen
(2.4)
simples
quelques
de
sera
en
d'?quations

d?riv
qui
L'ensem
e,
?es
preuv
(
La
et
hapitre.
b

un

L'appro
de
he
,
et
une
o
fonction
o?
probl?mes
,
autres
autour
les
ligne
traiter

our
forme
p
de
adaptations,
de
quelques
un
t
est
ainsi
et
qu'une
le
forme
orn?
lin?
domaine
air
est
e
o?
ennan
hapitre,
y
le
sur
un
mo
adjoint
tels
de
que,
ar
lorsque

am?tr
des

utilis?,
sp
t
tionner
?galemen
men
,
ensuite
sera
ten
qui
mais
forme
(2.7)
bilin?
airρ→ 0
j(ρ)−j(0) =f(ρ)(δa−δℓ+δJ +δJ )+o(f(ρ)).1 2
j(ρ)−j(0) = [J (u )−J (u )]+[a (u ,v )−a (u ,v )]−[ℓ (v )−ℓ (v )].ρ ρ 0 0 ρ ρ ρ 0 0 ρ ρ ρ 0 ρ
j(ρ)−j(0) =J (u )−J (u )+a (u −u ,v )+f(ρ)(δa−δℓ)+o(f(ρ)).ρ ρ 0 0 ρ ρ 0 ρ
j(ρ)−j(0) =L (u −u )+a (u −u ,v )+f(ρ)(δJ +δJ +δa−δℓ)+o(f(ρ)).ρ ρ 0 ρ ρ 0 ρ 1 2

A α α β β α > 0,α >0 1 0 1 0 1
0,β β ≥ 0 ρ≥ 0 ρ ρ > 00 1 0

α x∈ Ω , β x∈ Ω ,0 ρ 0 ρα (x) = β (x) =ρ ρα x∈ω , β x∈ω ,1 ρ 1 ρ
2F ,F ∈H (Ω)0 1

F Ω\ω ,0 ρ
F =ρ
F ω .1 ρ
ρ∈ [0,ρ [0

− (α A∇u )+β u = F Ω,ρ ρ ρ ρ ρ
u = 0 ∂Ω,ρ
1u ∈H (Ω) ∂Ωρ
1V =H (Ω),0
Z Z
a (u,v) = α A∇u.∇v dx+ β uv dx,ρ ρ ρ
Ω ΩZ
ℓ (v) = F vdx.ρ ρ
Ω

∂ω
j
−1 NL ∈H (Ω) f(ρ) =ρρ
N/2
kL (u )−L (u )k =o(ρ ).ρ 0 0 0 −1,Ω


ar

supp
les
,

v?riant
nous
essen
dans
t
),
nous
par
an
rapp
utilisan
ort
asymptotique
?
appropri?e

[43
sur
est
un
emen
?

inf?rieur
dans
(2.9)
une
admet
ertaine
une
A
unique
ement
solution
Le
est
d?terminer
une
il
i.e.
pro
(
(o?
etit
?
p
aussi
assez
our

ts
.

Notons
oten
que
supp
la
outissons

Th?or?me
de
de

p
hlet
e
sur
,
Soit
de
une
que
a
?tan
?t?
ologique

oin
hoisie
est
p
appro
our
l'adjoin
xer
.
les

id?es
hes
mais
38
ne

joue
la

de
r?le
v
particulier.
t
An

d'utiliser
d?v
la
plus
Prop

osition
trons
2.1,
r?alis?
nous
un

de
par
de
?crire
sur
(2.9)
Nous
sous
r?sultat
la
[3
forme
Soit
v

ariationnelle
forme
(2.1)
et
a
une
v
lin?
ec
les
param?tre
fonction
tout
et
our
nous
P
.
.
de
matrice
vu
sym?trique
ts
d?nie
par
p
lorsque
ositiv
Sensibilit?
2.1.2
p
e
t
et
tiel
,
de
,
une
,
ximation
des
de
r?els
t
annonc?.
(2.6)
tels
P
r?sultat
des
div
hniques
au


de
limites
,
aux

probl?me
le
le
ortemen
,
de
(2.7)
solution
que

si

te
?tudi?,
adjoin
oir
L'?quation
notammen
s'ensuit
[29
il
58
tout
p
our
des
(2.10)
elopp
p
ts
que,

plus
sur
de
sujet),
osons
mon
supp
que
Nous
est
(2.4)
en
et
t
si
p
dans
tiel
(2.3)
simple
De
he
t
densit?
(2.11)
ort?e
Nous
et
supp
.
osons
ab
dans
au
vien
suiv
(2.12)
t
temps

que
2.2
la
(2.5)
fonction
fonction

o?t
v
la
?rie
(2.2)
les
(2.3)
h
(2.4)
yp
our
oth?ses

(2.2),
forme
(2.3)
air
et
?quations
(2.4)
t
,
En
et
la
nous
(2.1)
nous
si

lors
trons
avons
sur
le
l'?tude
Nous
du
osons

plus
ortemen
d?velopp
t

asymptotique
donn?es
des
t
quan
et,
tit?s
(2.8)
ts
morceaux
Preuv
:
si
top
a
ons
d?nies
e.
par
Nous
(2.5)
v
et
au
(2.6).
un
8
premier
N Tj(ρ)−j(0) =ρ α∇u (z) P ∇v (z)+(β −β )|ω|u (z)v (z)0 0 ω,r 0 1 0 0 0

N−|ω|(F −F )(z)v (z)+δJ +o(ρ ).1 0 0
α1
δJ =δJ +δJ , r = ≥ 0.1 2
α0
r = 1 Pω,r
Z
(P ) = p x dsω,r ij i j
∂ω
Nx j x p i e Rj i i
Z
r+1p (x)i
+ p (y)A∇E(x−y).n(x)ds(y) =Ae .n(x) ∀x∈∂ω.i i
r−1 2 ∂ω
E u7!− (A∇u)
Pω,r
r> 1 r< 1
A =I
ω a b =ea
 
1+e
0
 1+reP =|ω|(r−1) . ω,r 1+e
0
e+r
r−1
P = 2 |ω|I.ω,r
r+1
(a )i i∈{1,2,3}
 
r−1
0 0
 1−(r−1)s1 r−1 
0 0P =|ω| ω,r
 1−(r−1)s 2
 r−1
0 0
1−(r−1)s3
Z ∞a a a 11 2 3
s =− p ds.k 2 2 2 22 (a +s) (a +s)(a +s)(a +s)0 k 1 2 3
a =a a =ea e< 11 2 3 1
√ e
22e 1−e +2arctan(√ )−π
21−e
s =s =e ,1 2 2 3/24(1−e )
matrice
par
Maple,
t
int?
s'obtien
des
g?n?ral
La
(2.16)

Nous
donn?
a
matric
v
?t?
ons
?l?mentair
en
ase
particulier
l'aide
p
r?v
our
la
le
le.
disque
avons
unit?
(2.18)

de
(le
?r
base
Ici,
de
solution
ecteurs
ve
v
et
les

selon
our
dirig?s
y
t
de
son
,
et
est
demi-longueurs
p
de
L
axes
ement
les
s'?crit
t
v
(2.17)
olarisation
2.
de
El
div
lipso?de.
de
La
la
matrice
ale
de
l'?
p
est
olarisation
de
de
au
l'ellipso?de
densit?
de
p
demi-axes

don
b
l'ellipse
obtenons
est
ellipso?de
Lorsque
de
lipse.
du
El
o
1.


o?
[53
omp
laplacian
onstitu?
du
el

est
le
(dite
orien
,
t?s
les
selon
(2.13)
les
le
v
p
ecteurs
in
de
a
base
ec
s'?crit
a
dans
p
ellipso?des
matrice
et
notion
ellipses
.
des
ateur
our
l'op
p
e
ues
solution
obten
d?signe
ules
(2.15)
9
gr
rotation),
quation
Rapp
de
.
l'unique
si
de
e
b
n?gativ

d?nie
-?me
sym?trique
e
et
asso
,
la
si
oint
e
A
ositiv
du
p
de
d?nie
sym
sym?trique
olique
est
nous
que
p
?tabli
un
est
de
il
olution
particulier,
ra
En
on

e
28
or
,
et
[26
hauteur
exemple
-?me
par
est
oir
(2.14)
(v
osantes
depuis

?tudi?e
e
t

largemen
le
?t?
Sinon
a
nul
et
olarisation)

de
63
e
,
la
[61
orsque
Szeg?
notations
et
utilis?
hier
Nous
Sc
asymptotique
a,
d?velopp
oly
avons
la
de
lors
olarisation
duite
nous
tro
P
A
par
elons
(2.19)
quelques
form

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