PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT DIDIER AUROUX M2 MATHEMATIQUES UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2010-2011 Table des matieres 1. Problemes inverses, problemes mal poses 3 1.1. Introduction aux problemes inverses 3 1.2. Exemple de probleme inverse 3 1.3. Probleme bien pose - mal pose 4 1.4. Exemple de probleme inverse mal pose 4 1.5. Exemple de probleme inverse mal pose - 2 5 2. Assimilation de donnees 6 2.1. Introduction 6 2.2. Specificites en geophysique 6 2.3. Analyse 6 2.4. Estimation de parametres : vecteur d'etat, controle, et observations 7 3. Moindres carres 9 3.1. Notations et hypotheses 9 3.2. Moindres carres 9 3.3. Remarques 11 3.4. Un exemple simple 11 4. 3D-VAR et interpolation optimale 13 4.1. Interpolation optimale 13 4.2. 3D-VAR 13 4.3. Information contenue dans la Hessienne 14 5. Methodes variationnelles : controle optimal, etat adjoint 15 5.1. 4D-VAR : assimilation variationnelle en dimension 4 15 5.2. Modele adjoint et minimisation 16 5.3. Lagrangien et systeme d'optimalite 17 5.4. Estimation de parametres 19 5.5. Preconditionnement 21 5.6. Methode incrementale 21 6. Methodes sequentielles : filtre de Kalman 23 6.1. Notations et hypotheses 23 6.2. Filtre de Kalman 23 6.3. Equivalence avec le 4D-VAR 24 6.4. Filtre de Kalman etendu 24 6.5.

  • algorithme numerique de resolution du probleme d'identification

  • mal poses

  • equation du probleme

  • probleme inverse

  • espace des possibilites de fac¸on

  • espace de sobolev

  • meme equation pour modeliser

  • phenomene


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : math.unice.fr
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` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT DIDIER AUROUX AUROUX@UNICE.FR ´ M2 MATHEMATIQUES ´ UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2010-2011
Tabledesmatie`res 1.Probl`emesinverses,proble`mesmalpos´es 1.1.Introductionauxproble`mesinverses 1.2.Exempledeproble`meinverse 1.3.Proble`mebienpos´e-malpose´ 1.4.Exempledeprobl`emeinversemalpos´e 1.5.Exempledeproble`meinversemalpos´e-2 2.Assimilationdedonne´es 2.1. Introduction 2.2.Sp´ecicit´esenge´ophysique 2.3. Analyse 2.4.Estimationdeparame`tres:vecteurd´etat,controˆle,etobservations 3.Moindrescarr´es 3.1.Notationsethypoth`eses 3.2.Moindrescarre´s 3.3. Remarques 3.4. Un exemple simple 4. 3D-VAR et interpolation optimale 4.1. Interpolation optimale 4.2. 3D-VAR 4.3. Information contenue dans la Hessienne 5.M´ethodesvariationnelles:controˆleoptimal,e´tatadjoint 5.1. 4D-VAR : assimilation variationnelle en dimension 4 5.2.Mode`leadjointetminimisation 5.3.Lagrangienetsyste`medoptimalite´ 5.4. Estimation de parametres ` 5.5.Pre´conditionnement 5.6.Me´thodeincre´mentale 6.Me´thodesse´quentielles:ltredeKalman 6.1.Notationsethypothe`ses 6.2. Filtre de Kalman ´ 6.3. Equivalence avec le 4D-VAR 6.4.FiltredeKalmane´tendu 6.5. Commentaires 1
3 3 3 4 4 5 6 6 6 6 7 9 9 9 11 11 13 13 13 14 15 15 16 17 19 21 21 23 23 23 24 24 24
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DIDIER AUROUX
7.Estimationdeparam`etresdansunsystemedEDO ` 7.1.Casline´aire 7.2.Casge´ne´ral 7.3.Algorithmenum´eriquedere´solutionduproble`me 8.Application`aunsyst`emem´et´eo/oce´anosimple ´ 8.1. Equation de Burgers ´ 8.2. Equations de Saint-Venant
d’identification
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` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT 3 1.`plam`semese´sPo roblemes inverses, probl 1.1.es.`lmerpboevsrsenidurontIuxnaioctnproUmeinbl`e-srevtseesenuauti tiondanslaquellelesvaleursdecertainsparam`etres(ouinconnues)dunmode`le doiventˆetreidenti´eesa`partirdobservations(oumesures)duphe´nom`ene.Cest e´galementenquelquessorteslecontrairedunprobl`emedirect:supposonsquelon disposedunmodele.Sionsexedesvaleurspourlesparam`etresdumode`le,on ` peutalorsfairetournerlemod`ele,ende´duireunetrajectoire,etlobserver.Ilsagit duprobl`emedirect.Leproble`meinverseconsiste`aremonterlesche´ma:connaissant lesobservations,lebutestderetrouverlesvaleursdesparam`etres. Lare´solutionduprobl`emeinversepassedonceng´en´eralparune´etapeinitiale demode´lisationduphe´nome`ne,diteproble`medirectquid´ecritcommentlespa-ram`etresdumod`elesetraduisenteneetsobservablesexp´erimentalement.Ensuite, `apartirdesmesuresobtenuessurleh´nom`enere´el,lad´emarchevaconsister`aap-p e proximerauieuxle`tresquipermettentderendrecomptedecesmesures. m es param Cettere´solutionpeutsefaireparsimulationnume´riqueoudefa¸conanalytique.La r´esolutionmathe´matiqueestrenduedicileparlefaitquelesprobl`emesinverses sontenge´ne´raldesprobl`emesmalpos´es,cest-`a-direquelesseulesobservations exp´erimentalesnesusentpasa`d´eterminerparfaitementtouslesparam`etresdu mod`ele.Ilestdoncn´ecessairedajouterdescontraintesoudesaprioriquiper-mettentdere´duirelespacedespossibilit´esdefacon`aaboutir`aunesolutionunique. ¸ Onretrouvedesprobl`emesinversesdansdenombreuxdomainesscientiques,en particulierdansl´etudedesyste`mescomplexespourlesquelsonaacce`squ`aunpetit nombredemesures,parexemple:laTerreeng´eophysique,lestissusorganiques enimagerieme´dicale,lUniversencosmologie,unesalledeconcertenacoustique architecturale . . . Exemples:re´solutiondunsyst`emeline´aire,inge´nieriep´etrolie`re,tomographie enm´edecine,d´econvolution(enimagerienotamment),d´eterminationdesconstantes duner´eactionchimique,de´terminationdelaformedunobstacleparradar,acous-tique sous-marine, . . .
1.2..ersempxeEvnieme`lborpedel´ereintOnstaoitsmilaess`etr`eesepndamar dansunee´quationauxd´erive´espartielles: tyXnxyΩ×]0;T[, (1)i=1xiai=fdans y(x,0) =y0(x Ω) dans, ny=gsur Γ×]0;T[. Cestl´equationdelachaleur,yselttamep´erature,fest un terme source,aest laconductivit´ethermique,etgest le flux de chaleur (entrant ou sortant). On peut utiliserlaˆ´uatiurmode´liserun´ecoulementmonophasique(commedu meme eq on po pe´trole):yest la pression,f´rpeneserpomptsdespuitelega,ea´eitilabmre´alepets du milieu, etgeifluimeen´umrruop0.= Leprobl`emeestlesuivant:`apartirdemesuresdeyencertainsp`testnioa certains instants, il faut identifieramedibl`eest´rectpeorL.,ltrntiaividevmeem maisleproble`meinversepeutˆetredespluscompliqu´es.
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