Prparation a l'agregation interne de mathematiques

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Prparation a l'agregation interne de mathematiques Aide a la resolution pour la seance du 6 octobre 2004 Jean-Marie Monier Probleme 1 a) • Pour x ? IR fixe, l'application x 7?? Arctan (tanx) est continue sur [ 0 ; pi2 [ et admet une limite finie en pi2 ; en deduire qu'elle est integrable sur [ 0 ; pi2 [ . • L'imparite de f est facile. b) • Appliquer le theoreme de continuite sous le signe ∫ I , avec hypothese de domination, pour montrer que f est continue sur IR. • Appliquer le theoreme de derivation sous le signe ∫ I , avec hypothese de domination locale, pour montrer que f est de classe C1 sur IR? et exprimer sa derivee : ?x ? IR?, f ?(x) = ∫ pi 2 0 tan t 1 + x2 tan2t dt. • En deduire le sens de variation de f . • Calculer l'integrale donnant f ?(x), par exemple en faisant intervenir sin 2t et cos 2t et en utilisant le changement de variable defini par u = 2t. On obtient : ?x ? ]0 ;+∞[, f ?(x) = ? ? ? ? ? ? ? ? lnx1? x2 si x 6= 1 1 2 si x = 1.

  • ox ??

  • vn ?

  • convergence uniforme pour deduire

  • serie

  • theoreme de derivation sous le signe ∫

  • ?? gn

  • theoreme de sommation des relations de comparaison

  • comparaison serie

  • theoreme sur continuite


Publié le : vendredi 1 octobre 2004
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Prparation`alagre´gationinternedemath´ematiques
Aidea`lare´solutionpourlase´ancedu6octobre2004
JeanMarie Monier
Proble`me1 h h π a)PourxIRl,appilxe´cationx7Arctan (tanx) est continue sur0 ;et admet une 2 h h π π limitenieen;end´eduirequelleestinte´grablesur0;. 2 2 arimpL´eitdefest facile. Z b)lppAeuqiegnsinoituntie´ossuelrleth´eor`emedec,edese`htitanimodouron,ppohyecav I montrer quefest continue surIR. Z ededri´eeoh´emr`euqitelrlppAesuelisngavitnoos,rou,plecaolnoitanimodedeshypoth`eavec I 1montrer quefest de classeCsurIR´reirmietresxadp:ev´ee Z π tant 2 ∗ 0 xIR, f(x) =dt. 2 2 01 +xtant
Eriude´dndsneseleevariationdef. 0 edalnaonntClaucellritne´rgf(x),par exemple en faisant intervenir sin2tet cos2tet en utilisant lechangementdevariablede´niparu= 2t. Onobtient : lnx six6= 1 2 1x 0 x]0 ; +[, f(x) = 1 six= 1. 2
0 edd´Enequreuif(x)−→+,dnletsoiiravdae´ondrr´epaquee`altelibiedt´efen 0. + x−→0 π1 0 On trouve :f(0) = 0, f(1) =, f(1) =. 4 2 Z esedoth`chyp,aveofsie`emueixnudeneigesslounsiotavire´dedeme`roAppiluqreelhte´e I 2∗ 00 dominationlocale,pourde´duirequefest de classeCsurIRet exprimerf(x).On obtient : Z π 3 2 2xtant ∗ 00 xIR, f(x) =dt. 2 22 0(1 +xtant) 0 Onpourraitaussid´eriverlexpressionobtenueplushautpourf(xni´tgearel,)amsielobmyssnas() ilfaudraitalors´etudierleraccorden1. 00 enedsegindEdu´eelirf(x)tensdelesencavlacoalede´tierebruocntse´epreedivatf.
1
d)On peut conjecturer que la limite (si elle existe) def(x) lorsquextend vers +est obtenue 2 π en remplaant directementxpar +d,elarge´tnilsn`alega´estceonda. 4 Formerdoncladi´erenceentref(xlumrofeneutene,nntuanisil´meee´usiuodc,qeette)etcteprlimi bien connue sur les Arctan : Z π 22³ ´ π1 1 ¯f(x)¯= Arctandt. 4xtant 0 Montrerquecettederni`ereexpressiontendvers0lorsquextend vers +ntra´eidnscoennoalofcnit 1 obtenue par le changement de variableyntuathleapeniqpl=teme`eor´einntcodeuose´tiuels Zx sugne. I e)Cebilastle´rsednsestrpluatc´´eened.ts
Proble`me2
a)Remarquer :nIN, Snn.Conclure :Sn−→+. nx b) 1)d2edrerlaone`0eve´delremroF´eitimtlenempplox7e(1 +x), x e(1 +x) 1 end´eduire−→,ixtsneecudrileetee´enddeαet deC. 2 x2 x−→0 2)D´eduire: ³ ´³ ´ 1 1C nIN,k∈ {1, ..., n},¯exp1 +¯, 2 n+k n+k n puis sommer pour obtenir : n ³ ´ X 1C nIN,¯Snn+¯. n+k n k=1 D’autre part, montrer : n X 1 −→ln 2, n+k nk=1 par exemple en utilisant une somme de Riemann. Conclureclairementaud´eveloppementasymptotiquedemande´. c) 1)Calculer, pour toutn2, vnvn1: 1 11 vnvn1+ e= ee1, 2n2n1n 1 etenformerunde´veloppementasymptotiquea`lapre´cision. 3 n Onobtient,apr`esquelqueslignesdecalcul: ³ ´ 1 1 vnvn1= +o . 3 3 8n n
2)italersemocedsnoonisrapa´erdou,p:eudriAppiluqrenuhte´ro`emedesommationd ++X X 1 (vnvn1). 3 n8k k=n+1k=n+1
2
Montrer,enutilisantunecomparaisons´erie/int´egrale:
End´eduire:
c)On obtient :
+X 1 1 . 3 2 nn2n k=n+1
1 vn∼ −. 2 16n n
³ ´ 1 1 Sn=n+ ln 2+o . 2 2 16n n
Probl`eme3
a)edecnegrevnocaleddorabderurssaru,eopos´eproperielas´Sx´x.e1 Pourx]0 ; +noilppitac´exa,l[ϕ:t[1 ; +[7,te´dceorcstinaosittneuenes t(t+x) Z +inte´grablesur[1;+ocenrapmqilpureue/rit´insoai´enslureaccleltegear[;apϕ(t) dtpour 1 d´eduire: +X ln(x+ 1)1 1ln(x+ 1 x]0 ; +[,≤ ≤+. x n(n+x+) 1x x n=1 Ende´duireler´esultatdemande´.
Proble`me4 n1n a)grernt´eIInpar parties, en remarquant quenxd´lastedee´vireexraorprpapa`tx. On obtient : π nIN, nIn=Jn. 4 n b)Changement de variabley=x . Z 1 1 Arctany 1 n On obtient :n, Jn=Kn,et´nonaooKn=ydy. n y 0 c)lethquerppliAdse´neiaprasuitedefonctioncnegmodee´nila`eor´eme`ecodeernv Arctany 1 n fn(y) =y . y
d):pr´etatsentsc´edderulsnoluse´rseC ³ ´ π K1 In=+o . 4n n
3
Probl`eme5 X π a)Montrer :nIN,||fn||,uiedd´eneteire´saleuqerfnconverge nor 2n(n+ 1) nIN malement(doncuniform´ementetsimplement)sur[0;+[. b)`eor´ethonrcsumeppAelreuqilgenceuniformepouituntie´teocvnree´drriudeuqeSest continue sur [0; +[. 20 00 sur [0; +[ et calculerf(x) etf x), pour toutnIN Montrer que lesfnsont de classeCn n( et toutx[0 ; +[. 0100 omme||f|= Cn|n+`saptneirerojamaennovrapqteleu|f(x)|emtndnmaedpe´endix, n 1 2 s’orienter vers des majorations locales.Montrer que, pour tout (a, b)]0 ; +que[ telab, X X 0 00 less´eriesdefonctionsfetfernvntgeenemcot)sealemnormsontro´mnufiodcnne(t n n ∗ ∗ nINnIN X sur [a;b].Ailpprofiemrsgleentche´uenovqeucecroanlvoerei´snirgaevait`nromoesdseudeel n 20 00 locale, pour montrer queSest de classeC; +sur ]0[ et exprimerS(x) etS(x) comme sommes dese´ries: ++2 X X 12n x 0 00 S(x) =, S(x) =. 2 22 22 (n+ 1)(1 +n x) (1+n x) n=1n=1 0 00 Ende´duirelessignesdeS(x) et deS(x),le sens de variation deSedsneselev´atcinoceadlet lacourberepr´esentativedeS. e´utededoPrulSen +,.emitieeltpliquerlapocruseme`roe´htermfonieuncgeernv On obtient : π S(x)−→. 2 x−→+S)=(0st0evi´etned. On a, pour chaquenINx´e: 1 1 −→. 2 2 (n+ 1)(1 +n x)n+ 1 x−→0 X 1 0 Commelas´eriedivergeetest`atermespositifs,onpeutconjecturer:S x)−→+. n+ 1 x−→0 n SoitA >0x´estxileiiuoqruopreuqilpxE.eNINtel que : N X 1 nN,2A, n+ 1 n=1 puis pourquoi il existeη >0 tel que : N N X X 1 1 x]0 ;η[,¯¯A, 2 2 (n+ 1)(1 +n x)n+ 1 n=1n=1 etde´duire: 0 A >0,η >0,x]0 ;η[, S(x)A.
Conclure :
0 S(x)−→+. x−→0
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