PSI Septembre MATHEMATIQUES

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
PSI Septembre 2011 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces vectoriels- Applications linéaires Exercice 1 : Soient E = M2(IR) et A = ( 1 1 1 1 ) . 1) On note U l'application de E dans E définie pour tout M ? E par U(M) = AM . Montrer que U est un endomorphime de E. 2) Expliciter la matrice de U dans la base canonique de E. 3) Déterminer ker(U), Im(U). Exercice 2 : Soient E un IK-e.v, F,G deux s.e.v de E, et f : F ?G ?? F + G (x, y) 7?? x + y Vérifier que f est linéaire et surjective. Montrer que Kerf et F ?G sont isomorphes En déduire que, si F et G sont de dimension finie, alors F+G aussi et retrouver la relation de Grassmann. Exercice 3 : Montrer que ? ? 0 1 1 1 0 0 2 1 0 ? ? et ? ? 0 2 1 1 0 1 0 1 0 ? ? sont semblables. Exercice 4 : Soit l'espace vectoriel Ts,n des matrices triangulaires supérieures d'ordre n et An celui des matrices antisymétriques. Soit l'application ? : Ts,n ?? An A 7?? A? tA Montrer que ? est une application linéaire surjective.

  • espace des matrices symétriques

  • dimension

  • matrice de ? dans la base canonique de ir3

  • espace des polynômes de degré inférieur

  • feuille d'exercices espaces vectoriels

  • ir-espace vectoriel de dimension finie


Publié le : jeudi 1 septembre 2011
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PSI MATHEMATIQUES
Septembre 2011
Feuille d’Exercices Espaces vectoriels- Applications linÉaires
  1 1 Exercice 1: SoientE=M2(IR)etA=. 1 1 1) On noteUl’application deEdansEdÉfinie pour toutMEparU(M) =A M. Montrer queUest un endomorphime deE. 2) Expliciter la matrice deUdans la base canonique deE. 3) DÉterminer ker(U), Im(U). Exercice 2: SoientEunIK-e.v,F, Gdeux s.e.v deE, et f:F×G−→F+G (x, y)7x+y VÉrifier quefest linÉaire et surjective. Montrer queKerfetFGsont isomorphes En dÉduire que, siFetGsont de dimension finie, alorsF+Gaussi et retrouver la relation de Grassmann.    0 1 10 2 1    Exercice 3: Montrer que1 0 0et1 0 1sont semblables. 2 1 00 1 0 Exercice 4: Soit l’espace vectorielTs,ndes matrices triangulaires supÉrieures d’ordre netAncelui des matrices antisymÉtriques. Soit l’application ϕ:Ts,nAn t A7AA Montrer queϕest une application linÉaire surjective. En dÉduire la dimension deAnet celle de l’espace des matrices symÉtriques. Exercice 5: On dÉsigne parIR3[X]l’espace des polynÔmes de degrÉ infÉrieur ou Égal À 3. Soitϕl’application dÉfinie par :PIR[X], ϕ(P) =RRest le reste de la division 4 42 euclidienne de(X1)PparX+X. 1. VÉrifier queϕ∈ L(IR3[X])et montrer queϕest un projecteur. 2. DÉterminer la matrice deϕdans la base canonique deIR3[X]. 3. En dÉduirekerϕetImϕ. Exercice 6: 2 SoitE=C([0,1]RI,). 00 00 Prouver queF={yE,x[0,1], y+xy= 0},G={yE,x[0,1], yxy= 0}etHl’ensemble des fonctions polynomiales sur[0,1]sont 3 s.e.v en somme directe.
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Exercice 7: Soitf∈ L(E), λ1, λ2,∙ ∙ ∙, λnnscalaires deux À deux distincts (n2) et pour touti∈ {1,∙ ∙ ∙, n}, Fi= Ker(fλiIdE). Montrer que la sommeF1+F2+∙ ∙ ∙+Fnest directe.
Exercice 8: R 2π 1. Pourn, mIN, calculersin(nx) sin(mx)dx 0 2.SoitNINetE=F(R,IIR) On pose, pour toutnN,εn:x7sin(nx)etFn= vect(εn). Montrer que,(Fn)0nNsont des s.e.v deEen somme directe.
Exercice 9: Montrer qu’il existe un triplet(a, b, c)unique de rÉels tel que ϕ:IR2[X]IRdÉfinie par : Z 1 ϕ(P) =P(t)dtaP(1)bP(0)cP(1) 1 est l’application nulle.
2 Exercice 10: Soient(a, b)IRtels quea6=b,EunIR-e.v ,f∈ L(E)tel que : (faId)(fbId) = 0. 2 1. Montrer qu’il existe(c, d)IRtels quep=c(faId)etq=d(fbId)soient des projecteurs. Quelle relation existe-t-il entrepetq? n 2. Exprimerfen fonction depetqet calculerfpour toutnIN. 1 3. Montrer que, siab6= 0,fest bijectif et donnerf.   2 0m m 1n   4. SoitmIRetA= 0m. CalculernA ,IN. m 1 1 20 m m
Exercice 11: On donneAetBdansMn(IC)et   A A M=∈ M2n(IC) A B
1. Calculer le rang deMen fonction deAetB. 1 2. CalculerMquand elle existe.
Exercice 12Soientn, pAIN ,∈ Mn(IR), B∈ Mp(IR), C∈ Mn,p(IR). Montrer que :   A0 1)rg(rg =A) + rg(B). 0B   InC 2)rg =n+ rg(B). 0B Exercice 13: SoientA, B, C, D, Mrespectivement deMp(IR),Mp,q(IR),Mq,p(IR),Mq(IR),Mp+q(IR). On supposeAinversible.    1 A BIpA B SoitM=; En la mutipliant par, prouver querg(M) = C D0Iq 1 p+rg(DCA B).
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n Exercice 14: SoientnIN, x0,∙ ∙ ∙, xnIKdeux À deux distincts,P(= ΠXxi). i=1 Montrer que, pour toutAIK[X], le reste de la division euclidienne deAparPest : n P A(xi)Li(Li)iest la famille des polynÔmes de Lagrange associÉe aux(xi)i. i=1 n+1n+1 Exercice 15: Soient(a0,∙ ∙ ∙, an)IKdeux À deux distincts et(b0,∙ ∙ ∙, bn)IK. DÉterminer les polynÔmesPIK[X]tels que :i, P(ai) =bi.
Exercice 16: SoitSINl’espace vectoriel des suites rÉelles. On considÈre l’ensemble suivant : 3 3 1 E={(un)nIN/nIN, un+3=un+2un+1+un} 2 4 8 1. Montrer queEest unIR-espace vectoriel. 2. Soit l’application 3 ϕ:EIR (un)n7(u0, u1, u2) Montrer queϕest un isomorphisme. 3. En dÉduire queEest unIR-espace vectoriel de dimension finie et donner sa dimension. 4. On considÈre les suites(an)n,(bn)n,(cn)ndÉfinies par : 2 1n n nIN, an=, bn=, cn= n n n 2 2 2 Montrer que((an)n,(bn)n,(cn)n)est une base deE 5. En dÉduire le terme gÉnÉral d’une suite(un)ndeE.
Exercice 17: DÉterminer la trace de l’endomorphismefdeMn(IR)dÉfini par :Mt Mn(IR), f(M) =M+M.
Exercice 18: SoientnIN ,A∈ Mn(IR), fA:Mn(IR)→ Mn(IR), X7AX+XA. Calculer tr(fA).
Exercice 19:(Centrale 2010) Montrer que, siA∈ Mn(IR)vÉrifie :X∈ Mn(IR), tr(X) = 0 =tr(AX) = 0. Montrer queaR,AI=aIn.
Exercice 20: SoitA∈ Mn(IK). 2 Montrer que sirg(A) = 1, alorsA=T r(A)A.
Exercice 21: Trouver toutes les applicationsf:Mn(IR)IRtelles que :
2 (A, B)∈ Mn(IR), f(AB) =f(BA)
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