Puissan es exponentielles logarithmes

De
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Niveau: Supérieur
Puissan es, exponentielles, logarithmes de l'é ole primaire jusqu'à la terminale Jean-Pierre Demailly, Université Joseph Fourier Grenoble I version du 20 janvier 2010 L'enseignement du al ul à l'é ole primaire, les fondements du al ul appro hé et du al ul algébrique au ollège, l'enseignement de l'analyse au ly ée sourent aujourd'hui dans notre pays d'insusan es et d'in ohéren es très graves 'est un onstat : de plus en plus d'enseignants expriment ouvertement les di ultés qu'ils ren ontrent en lasse à es divers niveaux. Pour aller au delà d'une simple impression générale et analyser les dé ien es en détail, il est indispensable de se pla er dans une perspe tive longitudinale surtout pour une dis ipline omme les mathématiques où les notions s'introduisent, se onstruisent et s'étudient dans un en haînement logique sur tout le par ours édu atif. Ce n'est pas prin ipalement de logique formelle dont il s'agit i i ; 'est surtout de la logique naturelle ou intuitive né essaire à l'élève pour se forger les s hémas mentaux impliqués dans les notions appréhendées. Nous avons hoisi de nous on entrer sur l'introdu tion des exponentielles et des loga- rithmes qui, depuis un siè le au moins, s'ee tue à la n du ly ée.

  • introdu tion

  • dé ien

  • fon tionner

  • dénition pré

  • al ul

  • idées analogues

  • équation diérentielle

  • enseignement de l'analyse au ly ée

  • maîtrise des algorithmes


Publié le : vendredi 1 janvier 2010
Lecture(s) : 43
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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pr?requis
du
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20
1990.
jan
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vier
uels,
2010
actuelles
L'enseignemen
tro
t

du
in

p
?
de
l'?cole
l'an
primaire,
erra
les
sur
fondemen
des
ts
logarithmes
du
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p
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des

oin
h?
des
et
les
du
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alg?brique
ne
au
nou-

moins,
l'enseignemen
eaucoup
t
qui
de
eu
l'analyse
t
au
p

et
souren

t
des
aujourd'h
hoix,
ui
de
dans
primaire
notre
duire
pa
utilisation
ys
tielles,

Programmes
et
our


tr?s

gra
raisonnemen
v
nom
es
la




un
des

doit
:

de
essen
plus
l'?lab
en
d'enseignemen
plus
tiques.
d'enseignan
seul
ts
pr?cis
exprimen
l'enseignemen
t
et
ouv
nen
ertemen
actuels
t
des
les
qui
dicult?s
fortemen
qu'ils
?es
rencon

tren
t
t
ti?remen
en
elles.

1960
?


et
div
de
ers
parmi
niv
ui
eaux.
quelque
P
prop
our
en
aller
appro
au
laissen
del?
que
d'une
des
simple
exp
impression
l'utilisation
g?n?rale
v
et
l'ana-
analyser
d'une
les
au
d?ciences
du
en

d?tail,
primitiv
il
fonction
est
de
indisp
in
ensable
logarithme
de
ou
se
di?ren
placer
yp
dans
exp
une
erts
p

ersp
est
ectiv
assez
e
En

le
longitudinale
les



que
surtout
?l?men
p
puissances
our
r?els,
une

discipline
v


les
?
math?matiques
tro-
o?
des
les
et
notions
exp
s'in
tielles
tro
(devrait)
duisen

t,
un
se
t

tiel
t
our
et
oration
s'?tudien
programmes
t
t
dans
math?ma-
un
Or,

le
ha?nemen
p
t
t
logique
des
sur
?
tout
t
le
logarithmes
parcours
des
?ducatif.
o-
Ce
tielles,
n'est
programmes
pas
pr?sen

t
t

de
?res,
logique
se
formelle
t
don
t
t
v
il
depuis
s'agit
Les
ici

;
son


surtout
en
de
t
la
v

En
logique
depuis
naturelle
au

les
ou
de


in
b
tuitiv
d'auteurs
e
man

m?me


?
aujourd'h
l'?l?v

e
t
p
p
our
les
se
ositions
forger

les
visagen
sc
des
h?mas

men
qui
taux
t
impliqu?s
enser
dans
l'in
les

notions
logarithmes
appr?hend?es.
des
Nous
onen
a

v
d'outils
ons
a


hoisi
de
de
lyse
nous
fonctions

v
trer
:
sur

l'in
utilisation
tro


t?gral
des
utilisation
exp
la
onen
e
tielles
la
et
jusqu'?
des
l'?cole
loga-
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rithmes
our
qui,
tro
depuis
le
un
n?p
si?cle

au

moins,
d'?quations
la
tielles
.
t
dernier
e
hoix,
onen
est
Puissances,
du
s'eectue
Ce
?

la
qui
n

du
Group

d'Exp
Nul
des
doute
du
qu'il
de
s'agisse
2000
l?
p
de
nous
notions
stup
tout
t.
?
eet,
fait
on

v
trales,

puisqu'elles
notions
in
ne
terviennen
t
t
r?alit?
dans
des
tous
ts
les
taires
do-
les
maines
de
de
bres
la
leurs
science.
ximations
C'est
et
p

ourquoi
ergence
l'analyse(1)
(2)
′y =ky
xa
...
(3)
1/x
(4)
(1)
∗R, R ,×
...
(2)
(3)
(4)
Grecs
une
t
tr?s
tielle
b
lo
onne
la

statistique
hose),
?
a
et

eaucoup
b
tielles,
on
la
de
tro

oir
un
quand

pas
grand
?tait
d?tour
et

l'isomorphisme
par
trop
les
ph?nom?ne
?quations
les
di?ren
ue
tielles,
une
relev
taire
an
d?s
t
m?me
ainsi
T
le
in
niv
une
eau
t?gral,
de
I

et
mis
simples.
en
.
jeu
p
?


de
des
osable
?quations
ysique
fonctionnelles,
v
alors
L'id?e
que
t,
les
es
?l?v
appara?tre
es
et
de
une
terminale
onen
ma?trisen
de
t
uniforme
aujourd'h
programmes
ui
d'in
?
e
grand
motiv
p
propremen
eine
l'id?e
le
John
sens
descriptio
alg?brique
o?
ou
di?ren
g?om?trique
elopp
de
la
la

d?riv
en
?e
bien
en
quelques
est
o
qui
manquen
.
id?es
L'eet
t
de
preuv

group

suites
hoix,
t
que
Mais
j'ai
?tre
pu
primaire

du
de
prop
visu
e
dans

une
di?ren
tr?s
on
b
appara?t
onne
pr?cis,

y
de
aujourd'h
termi-
our
nale
la
S,
la
est

que

le
he
professeur
notion
est
preuv
en
l'existence
g?n?ral
ues
dans
de
l'imp
endan
ossibilit?
our
de
quelque
d?mon
prop
trer
l'in
ou
que
d'asseoir
de
solidemen

t
Le
toutes

les
hallucinan
?tap
sait
es,
logarithmes
de
duite
sorte
(dans
que

la
1614),
d?nition
o
reste
ne
enferm?e
le
dans
et
un
t

par

v
:
du
l'exp
si?cle.
onen
par
tielle
la
est
progressions
la

solution
ues
d'une
assortie
?quation

di?ren

tielle
les
don
preuv
t

on
ma
a
mais
le
abstraites
plus
par
grand
donner
mal
rigoureuse
?
tre
prouv
(
er
et
l'existence
+
de
fond?e
solutions,
des
et
ologie
bien
assur?men
en
p
tendu
t


sans
de


her
de
que
?t?
l'on
l'?tude
r?sout

ensuite
liaison
l'?quation
l'in
di?ren
l'exp
tielle
les
(ce
en
ysique
un
ph
en
la
disciplines
de
Cep
?

l'aide
estimons
de
math?matique

des
m?mes
terminale
exp
dev
onen
te
tielles.
puisse
In
mani?re
ne
d'un
,
subtil
lorsque

le
mo
logarithme
ue
a
di?ren
enn
moins
?t?
appro
in
?
tro
de
duit,
onen
on
Puissances,
parvien

t

?
primitiv
d?nir

t
ne
l'enseignemen
le
p
tin
our
serait

p
tater
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p
eu
?niblemen
en
t
-
(par
exemple
des
de
preuv

es
?
tr?s
w
alam

biqu?es)
ui
que
ersit?.

la
redonne
terminale
les
GEPS,
puissances
.
en
out
ti?res
est
usuelles
t
des
t
nom
on
bres
que
r?els.
des
In
fut
utile
tro-
de
par
dire
Napier
que
Mirici
l'?l?v
garithmorum
e
anonis
normalemen
,
t
?

?p
aura
que
la
l'on
plus

grande

p

eine
tiel
?
in
se
seulemen
forger
d?v
une
?

Newton

Leibnitz
te
ers
de
n

XVI
notions
?me
?
L'id?e
partir
utilis?e
des
Napier
brib
d'utiliser
es

de
tre
sa
arithm?tiques
v
g?om?triques
oir
d?j?


et
des
de

niv
de
eau

disparate
matiques
qu'on
?
lui
?p
aura
que,
enseign?es
d?nitions
de
les
e
es
ectiv
t
L'appro
de

jor?es
he
Des
des
analogues
ann?es
b
19602000
plus
n'?tait
son
?
utilis?es
vrai
Bourbaki
dire
our
elle-m?me
une
pas
e
du
de
tout
en
id?ale,
les
puisqu'elle
es
a
tes
v
+)
ait
(
le
des
d?sa
terminale
v
),
an
uniquemen
tage
sur
paten
id?es
t
top
de
g?n?rale.


par
t
l'in
abstrait
tro
our


du
transp
logarithme,
au
moins
jusqu'?
in
l'?cole
tuitif
logarithmes,
que
Le
les
hoix
puissances
GEPS
et
Ph
les
a
exp
de
onen
oser
tielles,
du
et
de
qu'elle

utilisait
en
un
a
th?or?me
ec
de-
tro
v
de
en
onen
u
par

?quations
(surtout
tielles,
apr?s
math?matiques.
les
d'?tablir

p
es
t
som
tre
bres
deux
op
nous
?r?es
louable.
dans
endan
les
sur
programmes
sujet
?
nous
partir
que
de
maturit?
1990
mo
!),
enne
?
?l?v
sa
de
v
est
oir
ui
l'existence
en
de
insusan
la
p
primitiv
que
e
leur
d'une
de
fonction



tin
ph?nom?ne
ue
aussi
ersp
que
p

la
e
.
sa
Une
d?lisation
autre
tin

par
in?vitable
?quation
de
tielle

au
appro
dans

premi?re
hes


destin?e
qu'il
l'in
s'agisse

de
la
la
d'exp
d?nition
tielle.
du
exp
loga-
Une
rithme
e
par
?l?men
la

primitiv
de
e
des
de
es
par
fonctions
partie
tin
en

ou

de
pas
l'in

v

o
uit?


un

p
t
eu
ossible
magique
la
des
p
?
p
soi
que
les
v
retrouv
t
t
tro

des
v
la
par
?
ma
v
osition
un

eu
tro
enser
?

t?grale
?
la

adresse
mais
eb
garde-fou

plus
rel?v
ui.
aujourd'h
ouss?e

de
l'univ
mani?re
2
quasi-obligatoire
?quations
A
dif-
an
f?ren
l'in
tielles



est
r?gle
que

l'in
enait
tro
p


des
le
logarithmes
retard
et
l'allumage
des
,
exp

onen
n'existe
tielles
aujourd'h
est
repen
1.
men
L'?cole
tel
primaire
On
et

les
on
quatre
que
op
p
?rations
une
3
le
rigueur
mani?re
suiv
division
an
oin
t
pro
les


v
actuels,

mais
son
nous
grandeur
nous
m?me
prop
deux
osons
bre
de

v
actuellemen
oir
(estimations
ici
p
qu'on
?crit,
p
de
eut
dizaines,

d'ailleurs
bler
p

outre,

degr?
par
s'il
un
de
exp

os?

tout
d'?l?men
?
?
la

fois
atout
simple

et


bre
ne
in
faisan

t
?dagogues
ap-
houx
p

el
grandeur),
?
ts

tournables
notion
tal,
dicile,
uide
ouvran
di?ren
t
des
la
par
v

oie
t,
?
des
des
des
progressions

scolaires
p
tout
des
?
ermet
fait
p
en

visageables.
le
Bien

en
nom
tendu,
exact
nous
s?r
ne
de
pr?tendons
et
?
qu'au


originalit?
de
scien
m
tique
la
sur
l'appren
un
la
sujet
le
aussi
plus,
?l?men
t
taire.
l'aptitude
?
m
la
hire

hires.
harge

des
erse

de

de
harg?es
Les
des
fon
programmes
leurs
de
du

et
il

faut
ordres
bien
les

suiv
que
t
le
pr?s
d?p

?rissemen

t
le
des
la

tables,
ten
son
us
du
de


in
et

de
des
la
taines,

sur
des
pris
algorithmes
partan
des
g?n?ral
op
hires
?rations
fort
arithm?tiques
hires
?l?men
faible
taires

en
les
primaire
usuels.
et
taille
au
bres

ne
rendrait
d'atteindre
p
g?n?ralit?
?rilleux
une

algorithmes
v
os?.
oire

imp
enfan
ossible
de

tuitiv
le
taille

pr?c?dan
heminemen
au
t

que
t
nous
ne
prop
la
osons
ma?trise
:

la
ordres

attein
saire
y

pr?alables

par
in
des
time

des
table
nom

bres
l'optique

du


h?re
d'un
?

Ren?
est
Thom
:
est

dev
hires
en
tion
ue
du
?
fonctionner
p
eectiv
eu

pr?s
de

d'un
orthogonale
un

un
?
plusieurs
l'esprit
la
des
leur
programmes
ture
actuels,
v
ax?s
:
sur
tables
un
soustraction
formalisme
et
alg?brique

r?-
).
duit
p
au
minimalistes
minim
t
um,
t
et

sur
gras
l'usage

des
tal

du
en
appro
lieu
h?
et
des
place
de
d'une
mais
?tude
p
progressiv
ts
e
an
du
son

?
exact
eu
et

du
:

bien
appro
le

men
h?.

L'analyse


implique
longitudinale


des
des
ses


d'enseignemen
t
t
tes,
des
fait
notions
la
fondamen
m?morisation
tales
r?sultats
que
term?diaires.
son
pro
t
ainsi
les
manipulation
exp
unit?s,
onen

tielles
milliers
et
que
les
les
logarithmes
hires
place
isol?men
donc
en
sous
t
une
en
lumi?re



les
de
gra
oids
v
que
es

d?ciences
de
des
oids
progressions

scolaires
le
actuelles.
a
Nous
ec
esp
algorithmes
?rons
os?s
que
En

la
texte
r?duite
particip
nom
era
mis
d'une
jeu
prise
p
de
pas

le
plus
de
aigue

de
our
la


des
urgen
du
te
p
de

rev
existe
oir
hez
les
jeune
programmes
t
de
sorte
math?matiques
p
depuis
in
la
e
maternelle
la
jusqu'?
des
l'univ
bres
ersit?.
t
1.
aptitude
L'?cole

primaire
(p
et
qu'il
les
vien
quatre
bien
op
de
?rations
pas
Il
trecarrer),
est
abilit?
indisp
la
ensable
du
que
appro
l'?cole
h?
primaire
des
enseigne
de
de
n'est
nouv
te
eau
mo
le
en

ts
?crit,
du
an
exact,
d'ab
exemple
ou-

tir
puissances
?
dix
une
bin?
ma?trise
la

de
des
ultiplication.
algorithmes
enn,
op
dans
?ratoires
de

ma?trise
les
seul

appro
ne
h?,
doiv
tissage
en
algorithme
t
que
?tre
de
utilis?es
division
que
un
lorsque

l'?l?v
lorsque
e
diviseur
y
orte
est

parv
ou
en
l'obten
u.
des
La
hires
pratique
quotien
s?re
fait
et
de
eectiv
tr?s
e
e
du
au

appro
?crit
h?
supp
la
ose
ultiplication
une
nom

?
uide

des
par
tables
nom
d'addition
?
et

de
En
m

ultiplication
(et...
...
0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a, ...
2 3 4 5 6 71, a, a , a , a , a , a , a , ...
nna = a + a + ... + a n a = a× a× ...× a n
x+y x y(2.1) a =a a ,
x x x(2.2) (ab) =a b ,
x y xy(2.3) (a ) =a ,
a, b x, y
... −5a, −4a, −3a, −2a, −a, 0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a, 7a ...
−5 −4 −3 −2 −1 2 3 4 5 6 7
... a , a , a , a , a , 1, a, a , a , a , a , a , a ...
n
1−na = .na
doiv
la
sur
division
nom
p
sc
os?e
en
p
ossible
ermet
des
d'observ
p
er
p
la
son
p
bres
?rio
oids

au
des

restes

et
les
donc
d?s
du
tes
d?v
an
elopp
fois
emen
p
t
ord?s

n?gativ
d'une
(nom
fraction.
t

?
est
r?alise
par-
pas


t
osan
apparen
r?gles
t
t
sur
syst?matis?es
de

nom
donc
breuses
oser)
fractions
puisse
de
duites
p
les
etit
se
d?nominateur
p

tiers
t
an
?

une
m
p
).
?rio
ommes,

la
tr?s
p

?rations
(d?nominateurs
ne
tels
loin
que
en
3,
p
7,

9,
et
11,
p
21,
arithm?tiques
27,

33,
tout
37,
et
41,

63,
d'exp
77,
tier
99,
t
101,
maternelle,
271
et
(
d?s
jusqu'?
plus
primaire
?rations.
l'?cole
des
)
t
et
(et
leurs
l'enfan
m
ultan?men
ultiples
in
par
op
2

et
que
5,
t
qui


et
t
des
?
Les
une
a
p
?t?
?rio
d?but
de
est
de
g?n?raliser
longueur
et
6
sens
au
terminale
plus).
longueurs,
2.
de
Puissances,


grandeurs

tan
nom
probl?mes
bres
r?solv
r?els
des
A
eut
v
l'enfan
ec
se
la
est
ma?trise
la
des

op
qu'il
?rations
ob
?l?men

taires

apparaissen
ne
t
men
naturellemen

t
t
les
les
progressions
g?om?triques
arithm?tiques
gauc
et
en
g?om?triques
p
simples
tier
de

logarithmes,
?re
tielles,
de
onen
sur
exp
puissances
Puissances,
osan
4
en
esoin
naturel
b
en
a
?tre
t
:
l'enfan
la
que
m?me
bien
pr?paratoire
oin
le
p
ossible,
de
t?t
de
le
ts
C'est
pratique
op
la
di?ren
primaire,
l'usage

opp
du
tuellemen
n
?v
la

?
t
!)
que
division
t,
la
sim
de
tro
question
t
la
?rations
d?j?
quatre
e
si
soul?v
haque
y
que
ons

b
son
on
des
b
bres
des
t
partage
ositifs
du
eut
probl?me
ne
le
en
que
naturels.
ons
nom
observ
n?gatifs
mais
y
a
t
v
ab
ec
au

du
bres,
il
nom
p
etits
de
p
aux
de
ultiples
t
puissances
seulemen
es
s'agira
Ce
il
la
s?r,
sait
bien
p
(r?p
monnaie,
?t?
p
maternelle,
bre
fois)
te
et
vie
la
de
our
des
(p
t
?tudi?es
or-
?tre

t
des
en
an
doiv
qu'en
?rations
op
op
sens
quatre

les
p
(r?p
t
?t?
elle-m?me,
que
sure
fois).
de
Au
tr?s
minim
algorithmes
um,
ma?trise
le
tendu

Bien
particulier
par
des
se

our
des


un
es
h?
et
appro
des
le
puissances
de
de
sut
10
il
rel?v
taux,
e
h?mas
d?j?
ses
du
our
primaire.
d?nis
T
qui
r?s
t
vite,
progressions
aux
et
alen
du
tours

de
he
la
,

p
ou
t
de
our
la
en
quatri?me

au
ositif
plus
d'ob
tard,
pr?cis
de
s?re
les

rep√
2

2 2(1,4) = 1,96 (1,5) = 2,25 1,4< 2< 1,5,

2 2(1,41) = 1,9881 (1,42) = 2,0164 1,41< 2< 1,42,

2 2(1,414) = 1,999396 (1,415) = 2,002225 1,414< 2< 1,415 ...
± ...,... 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
+
− ( +
0 = 0,000... )
...
(5)
(5)
ma?trise
des
n
exemple
esp
par
la
,
a

ferme
main
p
la
t,
?
pauvre,

.
h?
?

qui,
appro




deux
du
la
te
rigoureuse
susan

pratique
d?p
de
un
l'absence
axe
?
innie
li?


en
des
la
pr?matur?
en
l'usage
te
t,
que
endan
l'algorithme
Cep
tissage

aujourd'h

e
la
vision
de
d?v

e
tro
des
l'in
plus
ec
as
v
de
a
?

p
le
ser
d?s
r?gle
t
pr?conisons
apparaissen
l'algorithme
r?els
la
donc
eectif,
bres
son
nom
fait
les
raison
actuelle
en
l'heure
elopp
?
serait
n?gatifs.
de
ts
l'exp
osan
qui
exp
tr?s
aux

t
sorte
s'?tenden
erte
(2.3)
ossible
(2.2),
une
(2.1),
tellemen

ue
Nous
?ratoires

la

doit
r?in

tro
On

p
d?s
par-
la

sixi?me
t,
ou

la
'a

signe
en
p
m?me
g?
temps
e
que

la
?
preuv
sur
e
t?,
du
p
th?or?me
d'une
de
de
Pythagore,
.
qui
mani?re
met
t
en
de


la


tout
g?om?trique
l'enfan
des
de

vironnemen

(et
Bien
oir,
s?r,
l'absence

qu'une
supp
nom
ose
p
en
un
pratique
t
que
dique).
les
une
gra
p
v
pratique
es
os?
d?ciences
mon
du
enfan
primaire
t
aien
passen
t
t
?t?
la
pr?alablemen
heure
t
t),
r?solues.

En

m?me
temps.
temps,
n'est
il
tester
ne
que
faut
inme
pas
opulation
h?siter
la
?
dev
donner
et
une
algorithmes
d?nition
?
pr?cise
our
de
(2.4)
la
pr?cise,
notion
aussi
de
emen
nom
et
bre
formelle,
r?el,
?
qui
d?nition
est
?tre
une
d?nition
b
t
onne
bres
o
si

v
d'a
tien
v
l?ger
oir
sem
une
hoix
premi?re
p
appro
de

donc
he
D'un
implicite
oint
de
vue
la
om?trique,
notion
nombr
de
r
limite
el
:
orr
(2.4)
ond
D?nition.
un
Un
oint
nombr
un
e
orien-
r
qui
?
ait
el
ositionn?
est
l'aide
un

nombr
gradu?e
e
pr?cision
exprim?

p
Nous
ar
de
un
tr?s
d?velopp
l'enseignemen
ement
de
d?
d'extraction

la
il

limit?
?

main
onque,
,
non

n?
algorithme

met
essair
t
ement
situation
p
ma?triser
?rio
en
dique,
t
autr
um?rique
ement
lui
dit
v
une
en
suite

de
de
r?gles
particuli?re
les

que
d'un
alors
bre
oit
tier
v
oss?de
On
g?n?ral
5
d?v
r?els
emen
bres

nom
?rio

Ce

l?
Puissances,

2.

t
ost-primaire
de
la

du
es
p
que
;
les
?rience
?l?v
tre
es
les
soien
ts
t
ma?trisen

bien
t?s
division
au
t
probl?me

n
?
um?rique
de
de

l'extraction
(une
de
ou
la
susen

de

que
par
appren
en
n'engendre
nombr
p
e
de
ni
Malheureusemen
?
il
gauche
p
de
de
la

vir
ui
gule
sur
et
fraction
en
de
nombr
p
e
scolaire,
inni
t
?
soup
dr
est
oite
en
de
insipide

la
el
des
le-ci,
op
pr

?
une

P
?
que
d?
d?nition
e
devienne
du
et
signe
on
exemple
expliquer
ou
les
du
elopp
signe
ts
de
propres
donc
impropres
l'absenc
trop

.
divisions,
fait

fois
l'?l?v

de
fait,
e
Une
de
que
signe
est
signiant
la
implicitement
(2.4)
qu'on
eut
met

le
une
signe
formelle
:
faitemen
la

10.
nom
p
r?els
our
m?me
de




?nien
Il
qui

t
vien
d'un
t
manque
absolumen
de
la
bler
notion
endre
du

qui
de
n
base
,
sauf0,999999... = 1 x = 0,999999... 10x = 9,999999...
10x−x = 9 x = 1
0,34999999...= 0,35 = 0,35000000...
(
0 )
9
(
)
0 (
) 9 ( )
0
9; 0 9
( ) 0 9
p/q
q 2 5
p q
1 2 ... q− 1 q− 1
(6)q−1
(6) m ∗q∈N
m nm < n ,q−
n m m aq − q − a n−m p/q
p r−m −n ak r p − ka a− −
ar a / − , ... ... ...
aa r/ − ,r r ...r r r r ...r r ... r r ...r ra− a a− a a− a
r a
p
p ′ ′ ′ ′±k k ...k k ,k k ...k r r ...r r r r ...r r ...m a− a a− aN N−q
en
d?s
de
la
un

ortant
disons,
par
on
?rio
devrait
1]
p

ouv
v
oir
les
ab
alors
outir
.
aux
doit

10
imp
e
ortan
de
tes
0
qui
(10
suiv
d?v
en
atteindre
t
si
(sous
seul
r?serv
est
e
fa?on
que
en
tous
dans
les
on
programmes
dit,
pr?c?den
m?me,
ts
l'une
aien
o?
t
es
?t?
que

Compl?men
de

mani?re
1
solide
Plus
!)
2
:
d'autan
(2.6)
t

forme
des

rationnels
,
et
onen
des
la

longueur
(a)
forme
Un
on
d?velopp
10
ement
e
d?
tiers

[0
r
app
epr
reste,
?sente
de
un
tier
nombr
v
e
La
r

ationnel
10
'ont
deux
fr
reste
action
es
de
Comme
nombr
r?els.
es
nom
entiers
?
n
(2.4)
si
?rio
et
oit
seulement
=
si
ations

t
e
emen
d?velopp
o?
ement

est

p
que
?rio

dique
r?gles
?
t
p
eut
artir

d'un
1

eet
ertain
ement
r
2
ang.
est
(b)
et
Parmi
?rio
les
plus
nombr
ement
es

r
e
ationnels,
formelle,
les
les
nombr
division
es
par
d?
,


sont
deux

ement
eux
terv
dont
e
le
que
d?velop-
10
p
le
ement



omp
Autremen
orte
divise
au
une

1)
une

innit?
evient
de
r



nie
ons?
1

es
d?
?

1
d?velopp
est
ement
la
d?
par

1
pr
quotien
opr
est
e
d'au

hires
non
bres
ou
1)
une
00
innit?
001
de
:
els
la

une
ons?
de

on
?
orter

pr?cisions
d?velopp
des
ement
2
d?
Ces

a
impr
g?n?ralemen
opr

e
1

sur
r
1
.
tin
(c)
nom
L
est
es

nombr
de
es
p
r
t
?
Suiv
els
signe
non

d?
elopp

de
sont
=

?
ar
que
act?ris?s
1
p

ar
2
le
si
fait
en
que
terminale
leur
1
d?velopp
1
ement
logarithmes,
ne
t

p
omp
dique
orte
que
p
p
as
de
une
au
suite
de
innie
impr
de
p
d?
d?velop-

de

sous
ons?
De

plus
qui
si
sont
regarde
tous
restes
des
la
es
de
ou
l'autr
tous
un
des
tier
nombr

es
opr
ils
il
ont
exister
donc
en
soit
pr
une
d?velopp
innit?
l'in
de
alle
d?


el?
qui
tels
ne
10
sont
et
ni
,
des
t
L
m?me
unit?.
donc
des
divise
d'une
ons?
,
10
soit
.
une
t

innit?
e
l'en
innie
10
duit
(10
?ventuel
omp
lement
a
irr
ec
?
=
guli?r
au
e
.
?
fraction
de
qui
r
s'?crit
et
10
de
ou,
dent
10
?
ossibles,
p
=
artir
p
d'un
(

+
ertain
10
r
ont
ang.
)
D?monstr

ation.
le
(a)
de
En
division
eet,
d?
?tan
10
t
nombr
donn?
et
une
son
fraction
t.
?
L

un
?
tier
simpli?e
plus
qui

n'est
et
pas
1
un
(10
nom
des
bre
=

d?nition
(c'est-?-dire
la
que
t
pr
00
a
(2.5)
d'autres
001

d?nition
premiers
a
que
ec
e
p
et


?
),
hires,
l'algorithme
v
de
que
division
app
a
?
v
1)
ec
0
virgule

de
t
le
apparaissen
par
observ
et
exemple

1
ne
on
tom
1
b
2
e
illimit?s.
pas
ts
juste
p

elop-
et
les

fonctionner
?
?
des
t
restes
uen
qui

guren
bres
t
1
parmi
sur

l'?criture
,
de
ons?

,
t

0
de

innit?
our
,
exactemen
une
de

hires).
ave
an
.
le
Au
de
b
,
out
implique
de
d?v

emen
e

opr
la
?tap
les
stade,
es
que
au
v
plus
on

limit?.
1
apr?s
,
la
t
virgule,
admettre
on
?
retom
0
b
et
e
donc

,
t
,
sur
d?
un
1
reste
2
d?j?
que
trouv
la
?,
d?velopp
de
jusqu'?
sorte
primaire
que
l'?cole

de
1
tielles,
il
qu'un
6
le
exp
d?v
Puissances,
elopp
emen
ni5
x = 0,10723114231142311423114...,
1 : 99999
1
= 0,00001000010000100001...,
99999
23114 1
= 23114× = 0,23114231142311423114...
99999 99999
23114
= 0,00023114231142311423114...
99999000
107
0,107 =
1000
107 23114 107×99999+23114 10723007
x = + = =
1000 99999000 99999000 99999000
1/11 = 0,09090909 ...
2(a+b) (a+b)(a−b)
2 3(a+b) (a+b)
2 2(10a+b) −100a = (20a+b)b
2(10a+5) = 100a(a+1)+25
2(75) = 5625 56 a(a+1) = 7×8
:
on
le
si

t,
est
ersemen
t
v
la
In
?s
7
servir
jor?es
rationnel.
ma
le
tes
(c)

?
suites

limites,
ule
Suites,
emen
3.
de
ortan
de
p
bre
les
tit?
essen
illustr?
de
alen
t
in

de
par
plus
l'in
a
tro
sur

millim?tr?
du
reform

?rio
alg?brique
?
et
tal
p
terminan
olynomial,
de
la
le
manipulation
u
des
est
in?galit?s
olumes).
et
d?v
des
exemple

(c)
ts,
Le
les
est
iden
(2.5),
tit?s
t
remar-
de
quables.

Il
niv
me
taire
para?t

imp
ec
ortan
t
t

de
du
visualiser
la
g?om?triquemen
de
t
t
on
L'armation
observ

e
d?v
que
p
la

division
de
,
bres
donne
par
de
s'?tend
sorte
en
que
pro
En
bre
d?nitiv
t
e,
faisan

un
,
elopp
on
v
.
L'iden
Il
un
serait
rationnel
utile
par
de
par
distribuer
est
dans
de
toutes
dernier
les
te.
?coles
?quiv
primaires
lui
et
et
tous
d?nition
les
tervien

dans
de

F
l'algorithme
rance
la
des

assem
un
blages
eau
de
?l?men
pi?ces
(d?s
en
CM1)
b
et
ois
v
p
une
ermettan
seulemen
t
g?om?trique
de
des
visualiser

p
dans
?rio
papier
dique,

disons
form
de
la
obtien
ulation
,
une
longueur
seulemen
a
(b)
.
dique.
Suites,
p
suites
t
tes
elopp
jor?es
tout
e
t
an
eut
qui
au
l'in
men


la

de
nom

se
d?j?
t
tr?s
5
pr?par?,

faut
fraction
en
forme

mise
tro

d?s
,

nom

Ce
non
?tan
en
obten
de
en

t
ui,
nom
de
bien
un
qui
de
emen
plus
des
,
3.
soit
limites,
par

exemple
ma
le
L'?tap
t
suiv
de
te,
t
est
l'analyse,
fondemen
t
m?me
e
l'enseignemen
aura
de
les
est
elopp
tro-
ts
de
et
notion

limite
au
l'?l?v
y
qui
(car
manipul?

d?v
sujet
emen
p

eut
les
m?me
ts
?tre

ab
aura
ord?
?t?
de
bien
mani?re
il

donc
d?s
visager
la
in
n

de
la
l'?cole
de
primaire,
et
?
pas
l'o


premi?re
de
aujourd'h
l'in
an
tro
laisser

temps
des
maturation
aires
imp
et
t
T
our
outes
notions

tielles

l'analyse.
son•

f(x)
u = 10
2u +1 1n
u = = 2− .n+1
u +1 u +1n n
(7)
u = 1 = 1,00000000000...0
u = 3/2 = 1,50000000000...1
u = 8/5 = 1,60000000000...2
u = 21/13 = 1,61538461538...3
u = 55/34 = 1,61764705882...4
u = 144/89 = 1,61797752808...5
u = 377/233 = 1,61802575107...6
u = 987/610 = 1,61803278688...7
u = 2584/1587 = 1,61803381340...8
u = 6765/4181 = 1,61803396316...9
u = 17711/10946 = 1,61803398501...10
u = 28657/18657 = 1,61803398820...11
u = 75025/46368 = 1,61803398867...12
u = 196418/121393 = 1,61803398873...13
u = 514229/317811 = 1,61803398874...14
(7)

ℓu / ℓ ℓ −ℓ−n ℓ
mo
r?el
un
l'?tude
?rimen
bre
une
nom
ble
d'un
fonctions
es
5)

vite

la
ximations
form
appro
de
les
aincre
exemple
v
par
le
visage
imaginer
en
tromp
lorsqu'on

h?,
d'arriv
our
la
p
son
emploi
fonctions
leur

sur
dicile

uels
au
la
e
est
et,
2

de
des
t
l'usage
p
sur
a
olaris?
s'?taien
p

trop
te

un
des
ers

d'application

b
la
pas
Or
ph
fonctions.
?
des
de
formel
tem-

t
au
r?alit?,
actuelles
inappropri?e

our
induit

hez
atars
l'?l?v


limite

d'or
appro
de
expression
d'o?
une
?rit?).
aluer
onne
d'?v
de
t

ermettan
elle
p
?

eaucoup
1
on
0.
donc
form



une
programmes
t
(et,

p
est
qui
fonction
donn?e
qu'une
ensem
erron?e
d?part

en-
la
b

et

alg?briques.
La
par
deuxi?me
pr?cis?men
raison

est
de
que
mesures
l'enseignemen
ondan
t
b
actuel
opulation,
est
?rature
b
es
8
la
Puissances,
in
exp
plupart
onen
?radiquer.
tielles,
extr?memen
logarithmes,

eaucoup

de
dernes
l'?cole
Les
primaire
bien
jusqu'?
a
la
ossibles
terminale
de
En
p
outre,
que
nous
des
pr?conisons
nom
d'in
+
tro
2,
duire
d'observ
la
+1
notion
2
de
L'appro
limite
v
d'ab
part
ord
b
?
m?me
l'o
tout

ortaien
de
qu'ils
l'?tude
sans
des
oub
t
la
donnen
jet?s

trop
d'une
b
l'utilisation
les
et
?s,
ais?s
pas

t
Des
ne
suites.
dernes
Il
math?matiques
y
de
a
de
p
les
our
en

!
deux
ertinen
raisons
notion
essen
est
tielles
graphe
:
par
La
?e
premi?re
ble
raison
un
est
v
que
de

sem
fait
d'un
b
ourbakiste
eaucoup
vision
mieux
bien
le
el

C'est
de
ules
relation
des
la
donn?es
par
t
et
t
lien
ne
a
ysiques
v
ph?nom?nes
ec
tales
par
exp
d?nie
des
suite
t
la

exemple
ourse,
par
la
Consid?rons

m?mes.
p
les
ou
pas
p
t
de
son

ne
nature
?e
dans
d'arriv
terviennen
et
qui
d?part
des
de
la
ble
En
l'ensem
?
t
t
don
sera
applications

des
que
?
v
lieu
se
donner
p
de
mo
et
man
alg?brique,
habitu?s
ule
t
form
s?r
une
des
ec
v
v
p
a
de

suite
fonction
Fib
qu'une
On
fausse
eut
l'id?e
oir
battre
la

de
de
qu'une
en
le
y
bre
mo
(1
on
l'organisation
b
er
un
solution
est
l'?quation
suites
=
les
sut
tel
+1
par
,
limites
il
des

he


=
alg?brique
ule16 u < 2 n u > un 1 0
n u >u u >un n−1 n+1 n
1 1 1 1
u >u =⇒ < =⇒ 2− > 2− =⇒ u >u ,n n−1 n+1 n
1+u 1+u 1+u 1+un n−1 n n−1
1,61803398874...
(u )n
un
(u )n
...
(8)
u > 0n
un
u =E +0,b b b b b b ...n n 1,n 2,n 3,n 4,n 5,n 6,n
E un n
u M E 6 M (E )n n n
E n0
E = E n> n n> nn 0 0
0,1,...,9 b u1,n n
b n > n1 1 0
b ... b n > n1,n p−1,n p p−1
b bp,n p
(u )n
ℓ =E +0,b b b b b b ...1 2 3 4 5 6
−pu 6ℓ u >ℓ−10 n>nn n p
(8)
...

le
par
d?velopp
he
ement

d?
des

p
est
la
donn?
une
p
limites,
ar
th?or?me,
la
aleur
suite
l'existence
des
et

que
d?
suite

en
stabilis?
p
es
solide

et
de
son
l'?


(et
e
.
d?
La

de
des
aleur
nombr

es
,
el
un
?
?

oit

sur
essifs.
limite,
De
p
m?me
en
toute
mo
suite
bres
r
?
e
et
nombr
oreux
le
qui
d?
attein

partir
oissante
sorte
et
th?or?me
minor
p
?

e
nom
de
limite
nombr

es
stabiliser
r
?
?
t
els

p
sen
oss?
,
de
t
une
zone
limite.
le
Il
a
est
sorte
symptomatique
suite
que
v


th?or?me

soit
,
aujourd'h
oit
ui
tes

ersit?
sans
oser

r?els,


jusqu'?
h
la
d'un
n
Le
du
donc

150
la
nom
plupart
des
des
par
?tudian
doit
ts
une
en
d'en
tran
sa
t
donc
aujourd'h

ui
,
?

l'univ
p
ersit?
est
n'on

t

donc
la
qu'une
e

r?el
tr?s
?gale

premi?re
de
oir

a
qu'est

un
a
nom
sa
bre
v
r?el
d'un
ou

de
De

en
qu'est
une
une

limite
On
omme
pas

ne
obtenue
tre
M?me
il
?
mon
l'?p
te.
o
partir
que
hire
des
a
maths
stabiliser
mo
aleur
dernes
On
o?
que
les
:
programmes
que
de
si

(par
?taien
en
t
de
tr?s
,


hes
et
(malgr?
qu'on

On
d?fauts
jor?es
paten
.
ts
Lorsqu'?
-
est
notammen
de
t

en
nom
g?om?trie),
exemple

en
th?or?me
Dedekind
?tait
de
pr?sen
de
t?


qu'il
un
d'un
axiome
?

r?sultat
t

les
pr?s
nom
apr?s
bres
tor.
r?els.
r?els
C'est
pas
?
v
notre
seulemen
a
appro
vis
3.
?
qui
la
est
fois
suite
un
te
appauvrissemen
tiers
t
t
math?matique
v
limite,
maximale
une
?
de
d'un
et
rang
une
t
erreur
de

que
puisqu'une
eut
preuv
qui
e
our

un
tr?s
limite
?viden
On
te
alors

our
p
de
oss?
de
dont
suite
des
?tre
hires
donn?e
preuv
:
.
Pr
bre
euve
au
du
form?e
th?
la
or

?me
une
(3.1)
v
.
a
Supp
.
osons
est
d'ab
te
ord
v
d'ab
se
ord
en
qu'on
v
ait
maximale
aaire
suite
?
partir
une
rang
suite
que

bien
te
.
ma
pro
jor?e
he
a
pro
v
he,
ec
fois
p
les
els
hires
?

r
stabilis?es.
?

partir
t
d'un
son

qui
rang.
les
On
son

stabilis?s,
le
existe
d?v
rang
elop-
rouge
p
La
emen

t
?

duquel
de


une
haque
aaire
terme
v
es
se
nombr
en
,
v
soit
qu'on
de
.
e
v
?
alors
major
la
et
de
oissante
tra?ne

admet
suite
eut)
oute
on
T
,
Th?or?me.

(3.1)
he
r?el.
pro
bre
he
nom
pro
de
aussi
m?me
on
notion

la
puisque

et
qui
tout

our
et
a
l'analyse
ici
de
v
fondateur
9
th?or?me
our
le
ma
sens

notre
suites
?
Suites,

l'univ
que
on
plus
enn
t
mesure
o?
prop
d'autan
une

plus
est
des
la
bres
partie
par
en
au
ti?re
y
de
des

de
de
ou
(et
suites
on
Cauc

y
hoisit
nom
disons
rationnels,
le
bien
d?v
th?or?me
elopp
s'agit,
emen
non
t
axiome.

statut
propre
donner
de


est
en
bien
).
de
Si
surtout
tr?
de
est
ans
un
Dedekind
ma
Can
joran
Les
t
bres
de
ne
la
t
suite,
que
alors
?tres
d?mon
ap
et

visualis?
t
?tre
une
,

donc
axiomatique
)
absolument
eut
enu > 0n
(u ) (−u )n n
(−u )n
x y
−nx y 10n n
x + y = lim x + yn→+∞ n n
xy = lim x yn→+∞ n n
1/x x> 0
(9)1/xn
(10)
p
√px = a a > 0
′ −nn x <x =x +10n nn
p ′ p(x ) <a< (x )n n
(9)
/xn
(10)
−nx xn
n x . ξn
|x −ξ | ξn n n
x x
x
x k k
x k n
− k|x −ξ |6 ξ xn n n n
k− k x x x nn
ξ k−n
−kx ξ xn
ξn
x xn
x y z x y z x y z x y zn n n n n n

.
de
De
de
m?me
atur
p
our
our
que
le
suiv
pro
une
duit

de
p
deux
trivial
nom
quelle
bres
+
p
d?
ositifs
minor?e
est
vers
on
soit
et
ation.
e
un
ositiv
alors
p

te
a

du
est
la
suite
ram?ne
la
puis
n?gatifs,
r
tous
p
bres
d?velopp
(le
1)

osan
du
les
pro
as
duit
soit
de
r
nom
a
bres
n'est
r?els
+
de

signes
de

hang?e
s'obtien
our
t
la
?
propre
l'aide

de
qu'on
la

r?gle
p
des
+
signes).
?
P
tous
our
esoin
l'existence
ation.
de
g?n?ral
l'in
suite
v
p
erse
dr
nom
pr
de
la
form?e
t
(lorsque

et
d?faut
te
les

le
)
t
et
sinon
donc
ement
des
ement
quotien
?sentent
ts,
p
on
pas
utilise
arbitrairemen
le
-i?me
fait
9,
que
0
la
prend
suite
appro
est

o?
de

t
le
-i?me
est
unit?.

rigoureuse
te
et
minor?e
elopp
Dans
de

d?v
ts
p
.

Comme
?
l'addition
Le
et
r?alit?
la
le
m
t
ultiplication
(
son
un
t
exemple

+
utativ
au
es
d'une
et
+
asso
des

a
es
l'observ
sur
te.
les


el

l'appr
propri?t?s
?
passen
pr
t
d?faut
?
tr
la
?
limite
te
sur
d?
l'ensem
e
ble
p
des
(3
nom
Si
bres
)
r?els
de
;
le
idem
en
p
pr?s
our
,
la

propri?t?
tendent
de
ement
distributivit?
deviennen
de
'est
la

m
les
ultiplication
le
par
opr
rapp
le
ort
opr
?
r
l'addition
deux

el
hires
d?nition.

n?gatifs
des
il
.
rangs
R
grands
?sultat
la
des
de

0
ourses
bien
:
suivi
nous
rang
a
Si
v
assez
ons
que
?t?
t
en

mesure
et
de
les
d?nir
r?els
rigoureusemen
nom
t
l'ordre
les
la
nom
t
bres
plus
r?els
la
d?s
a
le
inition

assez
et
est
de
le
d?mon
t
trer
?
leurs
1
propri?t?s
ec
fondamen
emen
tales
impropre
?
an
l'issue
(3.1)
de
th?or?me
la
par

de
de
pr?s.

mon
de
eut
mani?re
n'imp
tr?s
(
simple.
d'appro
C'est

l?
pr?s
?
des
notre
que
a
repr?sen
vis
notera
un
que
pr?requis
On
indisp
pr?c?den
ensable
t.
p
+
our
hen
p
fois
ouv
t
oir
et
faire
jor?e
de

l'analyse
bres
dans
passer
de
b
b
de
onnes
ation

an
tout
Observ
en
Soit
donnan
un
t
?
aux
et
?l?v
d'une
es
oximation
des

outils
10
n

um?riques
?s

ar
qui
obtenue
leur
ar
p

ermettron
e
t
l'or
de
e

du
les
ement
questions

p
opr
os?es.
de
?
donn?

ar
p
d?nition
oin
don
t,
.
il
(
devien
t
t
est
parfaitemen
suite
t
d?
p
tel
ossible
que
de
p
justier
et
l'existence
par
de
tend
la
0

alors
stabilis?es
d?
-i?me
de

termes
les
vers
mani?re
d?velopp
m?me
d?
la
de
d'un
si
nom
n
bre
p
r?el
d?
de
et
regarde
el
on
tendent
.
vers
En
d?velopp
eet,
pr
par
e,
essais
vers

d?velopp
on
impr
obtien
e
t
qui
un
epr
en-
tous

le
t
?
par
?
des
ar
nom
D?monstr
bres
Si

n'est
?

et
y

des
hires
?
apr?s
t
la
p
virgule,
lesquels

et
par

t
partir
son
ni
ximations
ni
appro-
ou
les
est
tique,
9
iden
d'un
est
en
t
d'un
raisonnemen
1.
le
on
,

,
grand
a
our
v
ximations
ec
les
et
?ran
minor?e
en
te
10

(
est
+1)
suite
toutes
la

Si
rang
terminale
et
la
bres
jusqu'?

primaire
jusqu'?
l'?cole
deux
de
1,
(?
somme
moins
?tan
que

le
d'au
r?sultat
une

Si
ne
est
tom
on
b
de
e
=
juste
p

d?f-
?
grand
une
il

alors
?tap
que
e,
d?v
logarithmes,
emen
tielles,
de
onen
donner
Bien
l'ordre
en
ermet
tendu

l'in
v
v
le
erse
elopp
1
t
exp
ou
Puissances,
de
10
suiv
?
t
limite
qui
l'aide
appro
th?or?me
he
qui
par
lui
ou
v
d?faut
dans
moins
orte
10
base.
t
vu
CQFD

lemme
t
tre
?crire
p
un
en
le
utiliser
).
orte
th?or?me
suite
mon
raisonnemen
?galemen
)
que
ximations
d?nition
s'appro
nom
han
r?els
assez
d?p
de
pas
suite
la

de

um?ration
)
hoisie,
our
?
ter
que
r?el
d?nition
,
p
sorte
?tre
par
os?e
(
que

P
.
le
)
oir,
se
sut
=
au
Enn,
+
(
ramen?
appro
la

v
)
des

elopp
t
ts
la

(
nis
+
base
)
une

(ce
en
ne
(
in
+
enir
tel
Le
rationnel
(3.1)
sous
tre
forme
t
d'une
la
repr?sen
des
tation
bres

ne
p
end
?rio
de
dique
base
illimit?e,
n


note

(6).
dire
ma
la
te
(2.4)

eut
suite
p
une
dans

base
P
autre
our
10.
une
our
d?monstration
v
formelle
il

d'utiliser
et

rigoureuse
ersion
de
d?v

emen
propri?t?s



que
d'une
nous
dans
ne
autre

qui
absolumen
fait
t
terv
pas
dans
au
les
niv
que
eau
nom
du
rationnels),

de

on
la
d'un
?

du
n'est
(3.1),
plus
est
un
aussi

alable
mais
n'imp
on
quelle
a
d?j?

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