Rappelons qu'une topologie sur un ensemble X est une famille de parties de X appelees ouverts verifiant les trois proprietes suivantes

Publié par

Niveau: Supérieur, Bac+8
TOPOLOGIE FAIBLE SYLVIE BENZONI Rappelons qu'une topologie sur un ensemble X est une famille de parties de X, appelees ouverts, verifiant les trois proprietes suivantes : (1) l'ensemble vide ? et l'ensemble X lui-meme font partie des ouverts, (2) toute reunion d'ouverts est un ouvert, (3) toute intersection finie d'ouverts est un ouvert. Une topologie est d'autant plus fine qu'elle contient plus d'ouverts. Des exemples ex- tremes sont – la topologie grossiere (la moins fine !), pour laquelle seuls ? et X sont des ouverts, – la topologie discrete (la plus fine), pour laquelle toutes les parties de X sont des ouverts. Un exemple moins trivial de topologie est celle engendree par les boules ouvertes dans un espace metrique : les ouverts sont alors tous les ensembles obtenus comme reunions quel- conques d'intersections finies de boules ouvertes. En particulier dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont equivalentes et engendrent la meme topologie. On dit qu'une topologie est separee si pour tout couple de points distincts x1 et x2, il existe des ouverts disjoints O1 et O2 tels que x1 ? O1 et x2 ? O2. Une topologie d'espace metrique est toujours separee (il suffit de prendre pour les ouverts O1 et O2 des boules ouvertes de rayon strictement inferieur a la moitie de la distance entre x1 et x2).

  • norme de dimension finie

  • topologie

  • theoreme

  • dimension infinie

  • boule ouverte

  • boule fermee


Publié le : lundi 1 mars 2010
Lecture(s) : 34
Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 5
Voir plus Voir moins
TOPOLOGIE FAIBLE
SYLVIE BENZONI
Rappelons qu’unetopologiesur un ensembleXest une famille de parties deXes´eela,pp ouvertse´ssiuavorrp´itentes:v´,ltnairepsiortse (1) l’ensemblevideet l’ensembleXevtrseuoitdeptras,emmˆonefi-lu (2)toutere´uniondouvertsestunouvert, (3) touteintersection finie d’ouverts est un ouvert. Une topologie est d’autant plusfinequ’elle contient plus d’ouverts. Des exemples ex-treˆmessont – lae`iserepiogloosortg(la moins fine!), pour laquelle seulsetXsont des ouverts, – laeetr`csideigolopot(la plus fine), pour laquelle toutes les parties deXsont des ouverts. Unexemplemoinstrivialdetopologieestcelleengendre´eparlesboulesouvertesdansun espacem´etrique:lesouvertssontalorstouslesensemblesobtenuscommere´unionsquel-conques d’intersections finies de boules ouvertes. En particulier dans un espace vectoriel dedimensionnie,touteslesnormessonte´quivalentesetengendrentlamˆemetopologie. On dit qu’une topologie est´ee´srapesi pour tout couple de points distinctsx1etx2, il existe des ouverts disjointsO1etO2tels quex1O1etx2O2. Une topologie d’espace me´triqueesttoujourss´epare´e(ilsutdeprendrepourlesouvertsO1etO2des boules ouvertesderayonstrictementinf´erieur`alamoitie´deladistanceentrex1etx2). De´nition1(Borel–Lebesgue).aDsnnuseapecotpologiques´epar´nu,erapeeeittscom-pactesi de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini. Avec des symboles,KXest compacte si, pour toute famille d’ouverts(Oi)iItelle que K⊂ ∪iIOiil existe une partie finieJdeItelle queK⊂ ∪jJOj. Moralite´(unanglophoneparleraitde«rule of thumb») : moins il y a d’ouverts, ou encore, moins la topologie est fine, plus il y a de compacts. Danslesespacesm´etriques,lescompactssontcaracte´rise´spardeuxproprie´te´s: (1) lait´ee-compac´rp: un ensembleA(octncue-c´epaomsedttirpero´nenemerobttlato) si pour toutε >0,Aadmet un recouvrement fini par des boules de rayonε, (2) lacmolpe´uted: toutes lessuites deCauchysont convergentes. Dansunespacevectorielnorme´dedimensionnie(quiesttoujoursferme´),unensemble estcompletsietseulementsilestferm´e,etunensembleesttotalementborne´siet seulementsilestborn´e(ilsutdeleve´rierpourlanormek ∙ k, dont les boules sont despav´es).Parsuite,lescompactsdunespacevectorielnorm´ededimensionniesont lesensemblesferme´sborne´s.Enrevanche,dansunespacevectorielnorme´dedimension innie,labouleferme´eunite´nestjamaiscompacte:cestleth´eore`medeRiesz(voirpar exemple [1, p. 92]).
Date: 3 mars 2010.
1
2
SYLVIE BENZONI
1.Topologie faible De´sormais,Xest unR-espace deBanachapecnuseider`--am´eclnororievectlpmoteste,c surRe´peraeleegnnerdpupveelrlteersa,qsubeoluloensaoI.tselpotogilonimulade topologie forterearotvntresouvensdtmoiayanO.celbemmoigoliafelairpotoadnvn´e 0 qu’elle a plus de compacts que la topologie forte. On noteXledual topologiquedeX, cest-a`-direlespacedesformesline´airescontinuessurX: c’est un espace deBanachpour la norme99eepndi´ar hf, xi 9f9= sup, x6=0kxk o`uh∙,∙iueeqir-d`at-esnelecrocd´esigil´t(ecehdtdeauhf, xigedeamilengise´dxpar la formeline´airef). De´nition2.Latopologie faiblesurXest la topologie la moins fine telle que toutes 0 applicationsf:XRavecfXsoient continues. Ceci est une«vraie»eiglopotolareuitrnsedocbielopsseltso`uisensodn´aeuniti 1 faible. En effet, celle-ci doit au minimum contenir tous les ensembles de la formef(U) 0 ou`Uest un ouvert deRetfXnsioun´enqcoelquotere`dirselsetu.Siconsloneus dintersectionsniesdetelsensembles,onobtientunetopologie,etcestbiensuˆrcellequi 1 a le moins d’ouverts parmi les topologies ayant les ensemblesf(U) comme ouverts. Latopologiefaibleestmoinsnequelatopologieforte,cest-a`-direquetouslesouverts 1 faibles sont fortement ouverts, car c’est le cas des ouverts faibles de la formef(U)o`u 0 Uest un ouvert deRetfX. Endimensionnie,latopologiefaiblecoı¨ncideaveclatopologieforte.Eneet,notons (e1, . . . , en) une base deXet (f1, . . . , fn) sa base duale. SiUest un ouvert fort, six0U il exister >0 tel que la boule ouverte de centrex0et de rayonrsoit incluse dansU. Or dapre`sline´galite´triangulaire,cetteboulecontientlouvertfaible V(x0) :={xX;|hfi, xx0i|< r/n,i∈ {1, . . . , n}}. AinsiUesblesun´eartlseuooidnfsiaevtrV(x0) lorsquex0parcourtU, c’est donc un ouvert faible. En dimension infinie en revanche, la topologie faible est strictement moins fine que la topologie forte : une boule ouverte n’est pas faiblement ouverte, voir [1, p. 37]. Latopologiefaibleestse´par´ee.Ceciestunecons´equenceduthe´ore`medeHahn-Banach 0 (formeg´eom´etrique,voir[1,p.7]):six16=x2il existefXetαRtels que hf, x1i< α <hf, x2i. Par suite, les ouverts faiblesO1:={xX;hf, xi< α}etO2:={xX;hf, xi> α} se´parentlespointsx1etx2. Rappelons qu’on appellevoisinaged’un pointxtout ensemble contenant un ouvert contenantx, et qu’unebase de voisinagesest une famille de voisinages telle que tout ouvert contenantxcontient au moins un de ces voisinages. Quel que soitx0X, une base de voisinages faibles dex0iafsselbuosetreveladermfom´eeparlestfor {xX;|hfi, xx0i|,< εiI}, 0 ou`ε >0,Iest fini etfiX. On distingue la convergence d’une suite pour la topologie faible en la notant*(au lieu ded´esaginscteriecsussed-itiovno,eforgencGrˆate).bxsaecuaovsiseedruopocalrevn que laconvergence faibleraca´ectste:rir´seeap 0 xn* x⇔ ∀fX ,hf, xni → hf, xi.
TOPOLOGIE FAIBLE3 La convergence forte implique la convergence faible, car |hf, xni − hf, xi| ≤9f9kxnxk. elemafbiiuettuseToi(s,teenE.ee´nrobsteentgeernvcontxn)nNest faiblement conver-0 gente, alors pour toutfXune(terueq´imliusahf, xni)nN´neebcroe.ernvcostonedntge Graˆceauthe´or`emedeBanach-Steinhaus(ou«principle of uniform boundedness»[1, 0 p.16])applique´a`Tn:XRnied´rapTn(f) =hf, xniedutlairoroltaucedee`rme´hoe Hahn-Banachselon lequelkxnk=9Tn9e(´eduitquo,dnenxn)nNee.sebtro´n ultatdesrnu´nrOspearaiallue«convergence fort-faible»: sixn* fetfnfalors hfn, xni → hf, xi. En effet, |hfn, xni − hf, xi| ≤ |hfnf, xni|+|hf, xnxi| ≤9fnf9kxnk+|hf, xnxi| o`uchacundestermestendversze´roparhypothe`se. Lesrm´efes.strevuoetiusraPntme´eplessdreaiinit´decsmonoeltparsonse´sel,mref faiblessontdesferme´sforts.Maislar´eciproqueestfausse.Parexemple,lasphe`reunite´ nestpasfaiblementferm´eeendimensioninnie,sonadh´erenceferm´eee´tantlaboule ferm´ee(voir[1,p.37]).Enrevanche,lesconvexesontf´essemenaibl´mseftre.etrofmreftnem De´monstration.SiCXe,soerm´exefconvetstneiU=X\Cetx0U.leesr`apD0 th´eore`medeHahn-Banachil existefXetαRtels que hf, x0i< α <hf, yi pour toutyC. Alors{xX;hf, xi< α}est un ouvert faible inclus dansUet contenantx0. Ceci montre queUest faiblement ouvert, et donc queCest faiblement ferme´.0 Latopologiefaibleestinte´ressantelorsquonconnaˆıtbienX. C’est le cas par exemple p n pourL(Ω) avec Ω un ouvert deRmuni de la mesure deLebesgueetp[1,+[, dont le 0 p0 dual topologique s’identifie avecLavec 1/p+ 1/prloiabetaulevi1)telaoe´hme`re1=v( 0 p0p derepr´esentationdeRiesz[1,p.61]:pourtoutf(L(Ω)) ilexiste un uniquevL(Ω) p tel que, quel que soituL(Ω), Z hf, ui=vu . Ω Lethe´ore`mequisuitmontrequelleestd´enitivementplusinte´ressantesiXestxief´er, 00 cest-a`-direisomorphe`asonbi-dualX(par l’injection canoniquex7→J x:f7→ hf, xi). Th´eor`eme1(Kakutani).in´teetsafbielemLabouleferm´eeumelutnecontacmpsiteseet lespaceestre´exif. Plusge´ne´ralement,dansunespacere´exif,lesconvexesferme´sborn´essontfaiblement compacts,voir[1,pp.44-46].Ceth´eor`emesede´montreenpassantparunetopologie 0 encore moins fine que la topologie faible dansX.
2.Topologie faible0 ´ Etantdonn´eunespacedeBanachXet son dual topologiqueX, on peut bien entendu 0 d´enirlatopologiefaiblesurXsenomniocerne´dtiafneavnO.enieogolopetunir (strictement siX)fix.rsapee´estn
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi

Master M1 année

de profil-ente-2012

Master M1 année

de profil-ente-2012

suivant