Rapport de Stage de Master 2 Mathématiques

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Rapport de stage Ecoulement laminaire dans une conduite cylindrique d'un fluide thixotrope avec le modèle de Houska Rapport de Stage pour l'obtention du Master 2 Mathématiques Appliquées de l'Université de Nice-Sophia Antipolis par Alexandre CARABIAS Composition du Jury Date : ../../2010
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Source : www-sop.inria.fr
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Rapport de stage
Ecoulement laminaire dans une conduite cylindrique d’un fluide thixotrope avec le modèle de Houska
Rapport de Stage pour l’obtention du Master 2 Mathématiques Appliquées
de l’Université de Nice-Sophia Antipolis par Alexandre CARABIAS
Composition du Jury Date : ../../2010
Rapport de Stage de Master 2 Mathématiques - par CARABIAS Alexandre
Table des matières 1 Remerciements 4 2 Notations 6 3 Introduction 8 3.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Motivations de ce stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Applications visées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4 Structure du rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Phénoménologie 11 4.1 Comportement linéaire et non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Comportement dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Dispositif expérimental 13 5.1 Circuit hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Fluide utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.3 Eclairement laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.4 PIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.5 Image type utilisée pour le traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.6 Intervalle de temps nécessaire pour la corrélation d’images . . . . . . 15 6 Lois de comportements 19 6.1 Fluide newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.2 Fluide à seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.3 Fluide thixotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 Equations du problème 22 7.1 Système d’équations dans une conduite cylindrique . . . . . . . . . . 22 7.2 Système d’équations pour un fluide à seuil . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.3 Système d’équations pour un fluide Thixotrope . . . . . . . . . . . . 26 8 Méthode de projection 31 8.1 Principe du schéma temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8.2 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8.2.1 Triangulation du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8.2.2 Formulation faible pour les termes visqueux : . . . . . . . . . 33 8.2.3 Résolution de l’équation de Poisson pour la pression . . . . . . 35 8.2.4 À propos de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.2.5 Limitation du pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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9 Renumérotation 41 9.1 GMRES et préconditionneur ILU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.2 Influence de la renumérotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9.3 Algorithme de renumérotation par linelet . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.4 Comparaisons de différentes numérotations . . . . . . . . . . . . . . . 49 10 Etude du cas cylindrique 51 10.1 Paramètres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.2 Maillages 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 10.3 Lancement des tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 10.3.1 Cas Newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 10.3.2 Cas fluide à seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.3.3 Cas Thixotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 11 Etudes du cas-test contraction 4-1 64 11.1 Maillages 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11.2 Lancement des tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11.2.1 Modèle thixotrope dégénéré vers du newtonien . . . . . . . . . 66 11.2.2 Modèle thixotrope dégénéré vers du Herschel-Buckley . . . . . 71 11.2.3 Modèle thixotrope de Houska . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 12 Conclusion générales 90 13 Bibliographie 92
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1 Remerciements Les travaux présentés dans ce rapport de stage ont été réalisés aux cours de ces cinq mois passés au sein de la société LEMMA à Sophia Antipolis, en collaboration avec le Laboratoire de Rhéologie de Grenoble. Je tiens tout d’abord à exprimer toute ma gratitude envers Olivier ALLAIN qui a dirigé mes recherches tout au long de ce stage. J’ai pu, à son contact, profiter de son expérience dans le domaine de la Mécanique des Fluides Numériques ainsi que de son enthousiasme pour la recherche. Je tiens également à associer à ces remerciements Alain DERVIEUX, chercheur dans le projet TROPICS à INRIA Sophia-Antipolis et conseiller de la société LEMMA, qui a grandemment guidé mes recherches et m’a toujours soutenu tout au long de ces 5 mois de stage. Je remercie aussi toutes les personnes de la société LEMMA qui ont contribué à ce que mon travail se déroule dans les meilleures conditions possibles. Je remercie aussi Amine AMMARD et Pierre-Aimé BOISSON du Laboratoire de Rhéologie de Grenoble. Enfin je remercie M. Albert MAGNIN, directeur du Laboratoire de Rhéologie de Grenoble et M. Charles LECA, fondateur de la société LEMMA, pour m’avoir per-mis de faire ce stage d’étude de fin de Master 2 Mathématiques Appliquées.
Fig. 1 – Merci à tous.
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A mon grand maître : petit scarabé, a un peu grandi...
Anca B.
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2 Notations
Notations relatives au dispositif expérimental 4 :1 v r  v θ  v z : Composantes de la vitesse dans le repère cylindrique ( ms 1 ) Q : Débit imposé à l’entré de la conduite cylindrique ( m 3 s 1 ) D : Diamètre de la grande section de la conduite cylindrique ( m ) : D = 40 mm R 2 : Rayon de la grande section de la conduite cylindrique ( m ) : R 2 = 20 mm R 1 : Rayon de la petite section de la conduite cylindrique ( m ) : R 1 = 5 mm V : Vitesse caractéristique du problème considéré ( ms 1 ) δP τ p : Contrainte pariétale ( P a ) : τ p = R 22 δz ρ : Masse volumique ( Kgm 3 ) Notations relatives au cas newtonien τ : Tenseur des contraintes (qui caractérise les efforts à l’intérieur de notre milieu continu) µ : Viscosité dynamique ( P as ) η : Viscosité cinématique ( m 2 s 1 ) : η = µρ ˙ γ : Taux de déformation (ou taux de cisaillement) ( s 1 ) : ˙ γ = r v~ n + t r ~v n D : Tenseur des vitesses de déformations : ˙ γ = || D || Re : Nombre de Reynolds pour un fluide newtonien ReρVD = µ Notations relatives au cas fluide à seuil (Herschel-Buckley) K : Partie permanente de la consistance ( P as n ) n : Indice de rhéofluidification τ y 0 : Partie permanente de la contrainte seuil ( P a )
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τ rz : Second invariant du déviateur du tenseur des contraintes ( P a ) : | τ rz | = h 12 || τ || || τ || i 21 r 0 a 0 : Dimension adimensionelle de la zone d’iso-vitesse : a 0 = = τ 0 R 2 τ p η : Dimension adimensionnelle de la zone d llement : r e cisai η =2 R m : Paramètre de régularisation des zones seuillées – Nombre de Reynolds pour un fluide à seuil : Re seuil = ρK ( V RV 22 ) n Hb : Nombre de Herschel-Buckley : Hb = Kτ yUR 0 n Notations relatives au cas thixotrope (Houska) a : Coefficient de restructuration du modèle de Houska ( s 1 ) b : Coefficient de déstructuration du modèle de Houska ( s m 1 ) Δ K : Partie thixotrope de la consistance ( P as n ) m ˜ : Paramètre d’ajustement du modèle de Houska λ : Paramètre de structure : [0 λ 1] τ y 1 : Partie thixotrope de la contrainte seuil ( P a ) W e : Nombre adimensionnel de Weissenberg : W e = RV 2 b 1 m ˜ Od : Nombre adimensionnel d’Oldroyd : Od = K τ RyV 0 n 2 Divers r : Opérateur divergence r : Opérateur gradient Δ : Opérateur de Laplace
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3 Introduction 3.1 Un peu d’histoire La rhéologie (du grec “rheo”, couler et “logos”, étude), est l’étude des écoule-ments et des déformations de la matière sous l’effet d’une contrainte appliquée. Le terme “rhéologie” a été introduit en 1920 par Eugene Bingham, professeur à l’Université de Lehigh sur une suggestion de son collègue Markus Reiner. Le terme est emprunté à la fameuse expression d’Héraclite d’Éphèse : “panta rei”, « Ça s’écoule toujours ». Devant l’impuissance de la théorie de l’élasticité et de la mécanique des fluides (théories élaborées au 19ème siècle) à décrire et à expliquer les propriétés des maté-riaux aux comportements mal définis et intermédiaires entre celui du solide élastique parfait (où les contraintes sont proportionnelles aux déformations) et celui du fluide newtonien (où les contraintes sont proportionnelles aux vitesses de déformation), il a paru nécessaire d’élaborer cette nouvelle discipline. Les études expérimentales s’attachent à mesurer les propriétés de l’écoulement des matériaux, tandis que les approches théoriques cherchent les équations consti-tutives reliant contraintes et déformations.
3.2 Motivations de ce stage Ce travail de stage est le fruit d’une collaboration entre la société LEMMA et le laboratoire de rhéologie de Grenoble. Il a été financé par le laboratoire de rhéo-logie et s’est déroulé au sein de la société LEMMA. Ce stage a été réalisé sous la direction de M. Olivier ALLAIN de LEMMA et de M. Albert MAGNIN de Grenoble. L’objectif de ce stage est de valider le code de la société LEMMA sur des cas-test documentés, comme l’écoulement d’un fluide newtonien ou à seuil dans un cas-test de type conduite cylindre axisymétrique, et aussi d’étudier l’écoulement d’un fluide thixotrope autour dans une conduite axisymétrique 3D en contraction brusque 4 :1 avec le modèle de Houska. Le but de la présente étude est plus particulièrement d’examiner en détail le domaine des petits nombres d’Oldroyd h 0 Od 100 i (nombre adimensionnel tra-duisant le rapport des effets de seuil aux effets visqueux), ainsi que les petits nombres de Weissenberg h 0 W e 100 i (nombre adimensionnel traduisant le rapport des temps de régénération du fluide au temps expérience), le tout en petit nombre de Reynolds Re << 1 (nombre adimensionnel traduisant le rapport des forces d’iner-ties aux effets visqueux) et d’étudier le comportement des fluides dans la conduite
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cylindrique (vitesse, pression, seuil, restructuration, destructuration, recirculation, etc..).
3.3 Applications visées Nombreux sont les liquides thixotropes utilisés au quotidien (Ketchup, dentifrice, pétrole, etc...). Le domaine d’application de ces fluides est très vaste. Une application visée par cette étude est liée au redémarrage de l’écoulement d’un brut paraffinique dans une conduite pétrolière : La principale difficulté dans le transport par oléoduc des bruts paraffiniques concerne le redémarrage de l’écoulement. Les opérateurs pétroliers sont amenés à arrter l’écoulement dans la conduite pour diverses raisons techniques (pannes, in-tervention d’entretien, ...). Ainsi, à l’arrt, à cause de la structure thixotrope du fluide, on constate une cristallisation des paraffines, qui conduit, après un long arrt, à un bouchon de gel de plusieurs centaines de mètres sur l’oléoduc, et il devient difficile de redémarrer l’écoulement. Pour remettre en route l’écoulement, il faut destructurer le gel, nettoyez les conduites et retrouver un écoulement stable.
Fig. 2 – Le redémarrage des oléoducs, un grand défi ! !
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3.4 Structure du rapport Ce rapport de stage se décompose en huit chapitres : – Dans le premier chapitre, un peu de phénoménologie nous renseigne sur les comportements des différentes types de fluides rhéologiques et entre autre les trois fluides qui seront étudiés dans ce rapport : les fluides newtoniens, à seuil et thixotropes. On en décrira quelques exemples. – Le deuxième chapitre décrit l’installation du circuit hydraulique de notre géo-métrie 4 :1 installée au Laboratoire de Rhéologie de Grenoble, ainsi que le dispositif de mesure pour les essais qui devront permettre de valider certains cas numériques de ce rapport. – Dans le troisième chapitre, nous posons les lois de comportements liées à l’écou-lement de fluides newtonien, à seuil et thixotropes. – Dans le quatrième chapitre, nous posons les équations du problème en confi-guration cylindrique. Les équations seront mise sous forme adimenssionnelle pour faire apparaître les nombres adimensionnels de Reynolds, d’Oldroyd et d’Herschel Buckley, pour plus de compréhension au niveau physique. – Le cinquième chapitre est consacré aux méthodes numériques implémentées dans le code ananas utilisé dans la société LEMMA. Nous explicitons la méthode de projection P 1 P 1 dans sa discrétisation tem-porelle et spatiale. – Dans le sixième chapitre, nous expliquons la méthode de renumérotation par Linelets implémentées dans le code pour la résolution de maillage avec couche limite. Nous parlerons de préconditionneur ILU ainsi que de méthode de réso-lution GMRES. – Dans le septième chapitre, nous validons le code ananas sur une géométrie cylindrique de type poiseuille, pour des fluides newtoniens, à seuil et thixo-tropes. Nous utiliserons les solutions analytiques pour valider le code. – Enfin, le huitième chapitre est dédiée à l’étude de notre géométrie de contrac-tion 4 :1. Nous utiliserons le modèle thixotropes de Houska que l’on dégénérera en modèle newtonien et à seuil. Puis nous étudierons l’influence du nombre d’Oldroyd et de Weissenberg sur le comportement du fluide thixotrope.
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4 Phénoménologie 4.1 Comportement linéaire et non-linéaire Un fluide est dit newtonien ou non-newtonien lorsque respectivement, il y a une relation linéaire ou non-linéaire entre contrainte et vitesse de déformation. Un des comportements pratiques les plus intéressants est celui des fluides non-newtonien pour lesquels cette relation n’est plus linéaire et peut, de plus, dépendre de l’histoire de l’écoulement. Souvent, ces propriétés proviennent de la présence dans le fluide d’objets de grande taille par rapport à l’échelle atomique (tout en restant très petits par rap-port à la dimension globale de l’écoulement). Ces objets peuvent eux-mmes former des structures encore plus grandes : comme des agrégats de plaquettes dans les argiles, des particules ou des macromolécules, qui influencent considérablement les propriétés de l’écoulement. Ces fluides sont très répandus tant dans la nature (neige, boue, sang, crème, ...) que dans la vie courante (peinture, mousse à raser, mayon-naise, yaourt,...) ou l’industrie (ciment,...). La compréhension de ces caractéristiques d’écoulement nécessite de comprendre la réponse des fluides à une contrainte imposée : c’est l’objet de la rhéologie.
4.2 Comportement dépendant du temps Les fluides dit thixotropes, qui feront l’objet de l’étude de ce stage, sont des fluides non-newtonien qui ont une viscosité effective qui diminue avec le temps quand une contrainte constante leur est appliquée. On dit que le fluide se déstructure lors-qu’il devient liquide et inversement, qu’il se restructure lorsqu’une phase viscoélas-tique apparaît. La propriété physique de la thixotropie est donc : – laissé au repos, le fluide thixotrope va se restructurer jusqu’à avoir l’aspect d’un solide (viscosité infinie), – alors que sous contrainte constante suffisamment élevée pour casser la struc-ture formée au repos par exemple, le fluide va se déstructurer jusqu’à son état liquide (viscosité faible). Les phénomènes thixotropes sont donc d’origine structurelle. Les changements de structure intervenant dans le fluide ont des temps caracté-riques comparables avec les temps d’observation, cela complique donc les mesures rhéologiques.
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