Resume Puisque ZF est une theorie du premier ordre on peut en considerer des modeles abstraits le theoreme de completude permet d'utiliser une methode semantique de demonstration une formule ensembliste est prouvable a partir de ZF si et seulement si elle est vraie dans tous les modeles de ZF Faute de pouvoir l'exprimer au premier ordre on ne peut exclure l'existence d'entiers non standards dans les modeles de ZF Le theoreme d'incompletude de Godel interdit qu'on puisse construire ex nihilo un modele de ZF On peut construire sur N une relation E telle que N E est modele de ZFfini les systemes ZFfini et PA2 ont la meme force Si M est un modele de ZF se placer dans M consiste a convenir que toutes les notions ensemblistes referent a M Partant d'un modele de ZF on etudie les sous structures M ou M est un ensemble ou une classe transitive du modele alors V est extension finale de M et un grand nombre de notions ensemblistes sont absolues pour M c'est a dire ont la meme interpretation dans les deux structures La structure V est modele de ZFC moins l'axiome de l'infini ceci entraıne que ZFC Inf ne prouve pas Inf et par le theoreme d'incompletude de Godel que la consistance de ZFC Inf n'entraıne pas celle de ZFC La structure V est modele de ZC mais pas de ZFC ceci entraıne que le systeme ZFC est strictement plus fort que le systeme de Zermelo ZC La consistance de ZFC moins l'axiome de fondation entraıne celle de ZFC Un cardinal est inaccessible s'il est regulier et fortement limite Si est inaccessible la structure V est modele de ZFC ceci entraıne que l'existence d'un cardinal inaccessible ne peut etre demontree a partir de ZFC ni meme sa consistance etablie Toute structure C R avec R bien fondee se projette sur une structure M avec M classe transitive ceci legitime de se concentrer sur les modeles de ZF de ce type

Description

Niveau: Supérieur, Master
CHAPITRE IX Modeles de ZF Resume. • Puisque ZF est une theorie du premier ordre, on peut en considerer des modeles abstraits; le theoreme de completude permet d'utiliser une methode semantique de demonstration : une formule ensembliste est prouvable a partir de ZF si et seulement si elle est vraie dans tous les modeles de ZF. • Faute de pouvoir l'exprimer au premier ordre, on ne peut exclure l'existence d'entiers non standards dans les modeles de ZF. • Le theoreme d'incompletude de Godel interdit qu'on puisse construire ex nihilo un modele de ZF. • On peut construire sur N une relation E telle que (N, E) est modele de ZFfini ; les systemes ZFfini et PA2 ont la meme force. • Si M est un modele de ZF, « se placer dans M » consiste a convenir que toutes les notions ensemblistes referent a M. • Partant d'un modele de ZF, on etudie les sous-structures (M,?) ou M est un ensemble ou une classe transitive du modele ; alors (V,?) est extension finale de (M,?), et un grand nombre de notions ensemblistes sont absolues pour M, c'est-a-dire ont la meme interpretation dans les deux structures. • La structure (V?,?) est modele de ZFC moins l'axiome de l'infini ; ceci entraıne que ZFC?Inf ne prouve pas Inf, et, par le theoreme d'incompletude de Godel, que la consistance de ZFC?Inf n'entraıne pas celle de ZFC.

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Sujets

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