SESSION PCM2006

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

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SESSION 2011 PCM2006         EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC   ____________________     MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures   ____________________   N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.     ___________________________________________________________________________________                                                           C O N C O U R S C O MM U N S P O LY T E C H N I Q U E S Les calculatrices sont interdites Les parties II et III sont indépendantes PARTIE I Soit

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Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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SESSION 2011 PCM2006C O N C O U R SC O M M U NO L Y T E C H N I Q U E SS P EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC____________________ MATHEMATIQUES 2 Durée :4 heures____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites Les parties II et III sont indépendantes PARTIE I Soitla série de fonctions d’une variable réelle de terme généraldéfini pour toutpar :pour tout,=.  +π I.1. I.1.1. Montrer queconverge simplement surtout entier. +∞  Onnote=la somme de la série de fonctions. =I.1.2. Montrer que, pour tout>,converge normalement sur[].  Lasérieconverge-t-elle normalement sur? I.1.3. Montrer queest continue sur. 1/3
I.2.  I.2.1. Soit. Déterminer la primitive qui s’annule ende la fonction. I.2.2. Soit()la suite de fonctions définie par :     pour tout,, pour tout=+ . π Montrerqueconverge simplement sur. +∞ I.2.3. On note=la somme de la série de fonctions. = Montrerqueest la primitive qui s’annule ende la fonction. suite(de fonctions poly I.3. On considère la)nômes surdéfinie par : pour tout,=; =  pour toutet pour tout,=+.   =π Morge simplement sur, lorsquetend vers+∞, ntrer que la suite()conve  versune fonctionque l’on exprimera à l’aide depuis de. +∞   Pourtout, la limite donnantsera alors notée :=+. π  =  PARTIE II Pour tout, on notela fonction d’une variable réelle, périodique de périodeπ, telle que,   pour tout]ππ], on ait :=ch .   π II.1. II.1.1. Préciser pourquoiest égale en tout pointà la somme de sa série de Fourier : +∞ + + . =II.1.2. Pour toutet tout, calculer. II.1.3. Pour toutet tout, calculer. On distinguera les cas=et. II.2. II.2.1. En donnant àune valeur particulière dans la série de Fourier de, montrer que,    pourtout,=. II.2.2. A partir de=et du résultat deII.2.1, donner à l’aide des fonctions  usuellesune expression de la fonctiondéfinie à la questionI.2.3. II.2.3. En déduire que, pour tout, on a : +∞  sh==+.   =π2/3
PARTIE III Soitla fonction définie sur×]+∞[par : pour tout()×]+∞[,=. πIII.1. III.1.1. Soit. Montrer que la fonction֏admet, quandtend verspar  valeurspositives, une limite finie que l’on déterminera. III.1.2. Montrer que, pour tout, la fonction֏est intégrable sur]+∞[. III.2. III.2.1. Montrer quepossède des dérivées partielles par rapport àen tout  pointde×]+∞[et à tout ordre. Calculer, pour tout()×]+∞[et  tout,. On distinguera les caspair etimpair. III.2.2. Montrer que, pour toutet tout, la fonction֏ estcontinue et intégrable sur]+∞[. +∞ III.3. Soitla fonction définie surpar :=pour tout. π Montrerqueest de classesuret que, pour toutet tout,  ++∞ +∞ + ona :=et=. π πIII.4. +∞ III.4.1. Montrer que, pour tout>, on a :=π. π=III.4.2. Montrer que, pour toutet tout, la fonction֏π +∞   estintégrable sur[+∞[et exprimerπ à l’aide de. III.4.3. Pour tout, pour tout, pour tout[+∞[, = onpose :=π . Montrer que, pour toutet tout]+∞[, ==π. π+∞  Puis,montrer que :=pour tout. →+∞ Endéduire une expression simple de la fonctionà l’aide de la fonction. Fin de l’énoncé 3/3
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