Simulation de variables aleatoires

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Chapter 1 Simulation de variables aleatoires References: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilites de l'ingenieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo Method, chap 3. Cadre: Scilab possede une fonction rand() dont les appels successifs fournissent une suite de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees, de loi uniforme sur [0, 1]. Nous ne nous interesserons pas ici a la conception d'une telle fonction. Probleme: Comment simuler une variable aleatoire ou un vecteur aleatoire suivant une loi donnee, differente de la loi uniforme sur [0, 1]? 1.1 Premiers exemples de lois classiques 1.1.1 Loi de Bernoulli de parametre p: p?1 + (1? p)?0 Ecrire une fonction bernoulli1(p) qui renvoit un tirage selon la loi de Bernoulli de parametre p. Ecrire une fonction bernoulli2(k,p) qui renvoit un k-echantillon suivant la loi de Bernoulli de parametres p. 1.1.2 Loi binomiale de parametres (n, p): n ∑ k=0 ( n k ) pk(1? p)n?k?k Lemme 1.1.1 Si (Xi)1≤i≤n sont des variables aleatoires independantes et identiquement dis- tribuees de loi de Bernoulli de parametre p, alors S = ∑ni=1 Xi suit une loi binomiale de parametres (n, p).

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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Chapter 1
Simulationdevariablesal´eatoires
R´fe´rences: e [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B]Bouleau,Probabilite´sdelinge´nieur,chap4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo Method, chap 3.
Cadre:Scilabposse`deunefonction rand() dont les appels successifs fournissent une suite de variablesale´atoiresind´ependantesetidentiquementdistribu´ees,deloiuniformesur[0 1]. Nous nenousinteresseronspasicia`laconceptiondunetellefonction. ´ Proble`me:Commentsimulerunevariableale´atoireouunvecteural´eatoiresuivantuneloi donn´ee,di´erentedelaloiuniformesur[0 1]?
1.1 Premiers exemples de lois classiques 1.1.1LoideBernoullideparame`tre p : 1 + (1 p ) δ 0 Ecrire une fonction bernoulli1(p) quirenvoituntirageselonlaloideBernoullideparam`etre p . Ecrire une fonction bernoulli2(k,p) qui renvoit un k-echantillon suivant la loi de Bernoulli deparame`tres p . n 1.1.2 Loi binomiale de param`t es ( n p ) : X  nk p k (1 p ) n k δ k e r k =0 Lemme 1.1.1 Si ( X i ) 1 i n sontdesvariablesale´atoiresinde´pendantesetidentiquementdis-tribue´esdeloideBernoullideparame`tre p , alors S = P in =1 X i suit une loi binomiale de param`etres ( n p ) . Ecrire une fonction binomiale(n,p) qui renvoit un tirage selon la loi binomiale de param`tres e ( n p ). Faireunhistogrammedun´echantillondetaille100deloibinomialedeparam`etres(8 1 3). histplot, clf
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1 n 1 1.1.3 Loi uniforme sur { 0 1   n 1 } : n X δ k k =0 function x=uniforme1(n) // tirage suivant la loi uniforme sur {0,...,n-1} x=floor(n*rand()); De´monstration: On note X lavariableal´eatoirerendueparcettefonction.Comme P (0 rand() < 1) = 1, on a P (0 n*rand() < n ) = 1 et P ( floor(n*rand()) [0 n 1]) = 1 Donc X prend ses valeurs dans [0 n 1]. Maintenant, soit k [0 n 1]: P ( X = k ) = P ( floor(n*rand()) = k ) = P ( k n*rand() < k + 1) d() < k + 1 = = P ( kn ran n ) n 1
1.1.4 Loi uniforme sur [ a b ] : f ( x ) = b 1 a 1 [ ab ] ( x ) Lemme 1.1.2 Si U suit la loi uniforme sur [0 1] , alors, si α > 0 et β R , αU + β suit la loi uniforme sur [ β β + α ] . Demonstration: Soit ϕ : R R unefonctioncontinueborn´ee:enfaisantle ´ changement de variable x = αu + β , on a E ( ϕ ( αU + β )) = Z 01 ϕ ( αu + β ) du = Z ββ + α ϕ ( x ) α 1 dx ce qui signifie que X estunevariableale´atoirededensite´ f ( x ) = α 1 1 [ ββ + α ] , et on reconnaˆıtladensit´edelaloiuniformesur[ β β + α ].
function x=uniforme2(a,b) // tirage suivant la loi uniforme sur [a,b] x=a+(b-a)*rand(); 1.1.5Loiexponentielledeparame`tre λ : f ( x ) = λ exp( λx ) 1 R + ( x ) Lafonctionder´epartitiondelaloiexponentielleest F ( t ) = P ( X t ) = 1 exp( λt ) Cette fonction est une bijection de ]0 + [ dans ]0 1[, d’inverse G ( u ) = λ 1ln(1 u ) Exercice 1: Montrer que si U est de loi uniforme sur [0 1], alors G ( U ) suit la loi exponentielle deparam`etre λ .
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function x=exponentielle(a) // tirage suivant la loi exponentielle de parametre a x=-log(rand())/a; Exercice 2: Pourquoia-t-onremplac´e1 U par U dans l’algorithme? + 1.1.6Loige´ome´triquedeparame`tre p : X (1 p ) k 1 k k =1 M´ethode1:a`partirdujeudepileouface: Lemme 1.1.3 Si ( X i ) i N sontdesvariablesale´atoiresiiddeBernoullideparam`etre p , alors N = min { i : X i = 1 } suituneloig´eom´etriquedeparame`tre p .
function x=geometrique1(p) // tirage suivant la loi geometrique de parametre p x=1; while rand()>p, x=x+1; end; M´ethode2:`apartirdelaloiexponentielle: Lemme 1.1.4 Soit U suit la loi uniforme sur [0 1] , alors 1+ E lnl(n1 U p ) suitlaloig´eom´etrique deparam`etre p . D´ nstration: Notons X = 1 + E lnl(n1 U p ) .Pard´enitiondelapartieentie`re, emo X prend ses valeurs dans N . Soit maintenant k N : P ( X = k ) = P 1 + E ln(l1n Up ) = k = P E ln(l1n Up ) = k 1 = P k 1 ln(l1n Up ) < k = P ( k ln(1 p ) < U ( k 1) ln(1 p )) = P (1 p ) k < U (1 p ) k 1 = (1 p ) k 1 (1 p ) k = (1 p ) k 1 p
function x=geometrique2(p) // tirage suivant la loi geometrique de parametre p x=1+floor(log(rand())/log(1-p));
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dn5;ardn)(e;od=prod*x=x+1;privsutlanoialPodeossi)a(nit//egarλ)functionx=po1Yi=jU1jxe(podpre(il),stte>=r=dorp;0hw;)(dnat=exates);x=p(-adnpesiosteerrama=1XjkXj)=P(N=kNP.ioktnoS:aritstonemD´λ.reetm`arapednossioPediuitunelo}sinon,sjX1=jX1xai{1i:1e1=mtNN=ariX0se´dpeintae´erio1x+)k{1k}1x+(λ(kexp+xx1+kxd1xλ+kRZ=1++x1(>1}dk)+x+x+k}1{1kx1+x1++xk+1)1{x11+kR+kλ+pxe1(λ(<k1Xj+1Xj=1=ZisPodeoi7L1.1.deesllieetm`rapaavaL.λerlaelbairiablsvar´eatesalisdiioerentnxeopδkk!mmLe.1e1So.5X(tii)iosNedtnsondeparam`etreλ+:X=ke0px()λkλNisvdeitSoi)(Uuerp.evimrealenloiuniforesiiddelae´taioraailbse0dZ1k=ds1ds1}ks2s1s{1+quit!ce1=1k20dssZk10ksdkssZleitdselrapee`mairtoiiesxpdeenonλ1nlYi=jU1jtreλ,etiXj=1Xj11=iXiss,)iU(nlλ[0uresrmoral],1irbaseav´laeelasXi)iles(ontdNs+x+kx+)k{11x)exp(λ(x1}exp(λxd))1+1kx+λp(Rk)Zk=dxexλk+kx+11x(Z+)dxkxk+1p(λ)λexkRZ=kxd1xd!1++x1λ((xpke+λes1=x1,s2=x1+x2,,ksx=+1+kxRk:Z{x+11+xk+d}11xkxdkRZ=1++1{x1}d+xkdkx1xcrlaPuoadrllecure`enierarge´tnisopno,el
1.1.8Loigaussiennecentre´ere´duite:M´ethodedeBox-Mueller Rappelons la formule de changement de variable en plusieurs dimensions: Th´eor`eme1.1.6 Soit G un ouvert de R n , et g : G R n une application de classe C 1 , injective et dont le jacobien det( J g ( x )) ne s’annule pas sur G . Soit f une application mesurable de g ( G ) dans R ,inte´grablesur g ( G ) . Alors Z f ( y ) dy = Z G f ( g ( x )) | det( J g ( x )) | dx g ( G ) Onende´duitladensite´dunvecteurimage: Proposition 1.1.7 Soit X unvecteurale´atoirea`valeurdans R n dedensit´e f X . Soit g : R n R n une application de classe C 1 , injective et dont le jacobien det( J g ( x )) ne s’annule pas. Alors le vecteur aleatoire Y = g ( X ) apourdensite´: ´ f Y ( y ) = f X ( g 1 ( y )) | det( J g 1 ( y )) | De´monstration: Soit ϕ : R n R uneapplicationmesurable,positive,born´ee. Onappliquelethe´ore`mepr´ece´dentavec g 1 : E ( ϕ ( Y )) = E ( ϕ ( g ( X ))) = Z R n ϕ ( g ( x )) f X ( x ) dx = Z R ϕ ( y ) f X ( g 1 ( y )) | det( J g 1 ( y )) | n
cequiprouvelere´sultat. En particulier, on obtient: Lemme 1.1.8 Soit R unevariableale´atoiredeloiexponentielledeparam`etre 1 2 et Θ une variableale´atoiredeloiuniformesur [0 2 π ] ,suppos´eesdeplusinde´pendantes.Alors,sionpose X = R cos(Θ) et Y = R sin(Θ) ,lesvariablesale´atoires X et Y sont iid de loi gaussienne centr´eer´eduite.
function [x,y]=boxmueller // tirage de deux N(0,1) independantes r=sqrt(-2*log(rand())); t=2*%pi*rand(); x=r*cos(t); y=r*sin(t); Exercice 3: Commentsimulerunevariableal´eatoiregaussiennedemoyenne m et de vari-ance σ 2 ?
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