Stabilité L1 pour des lois d'équilibre scalaires et applications

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Stabilité L1 pour des lois d'équilibre scalaires et applications. Stabilité L1 pour des lois d'équilibre scalaires. Contrôle de l'équation de continuité. M. Mercier ICJ, Lyon GdR Moad, 18 Mars 2009 M. Mercier Stabilité L1 pour des lois d'équilibre scalaires et applications.

  • l1 ?

  • dérivée de gâteaux du semi-groupe

  • dépendance aux conditions initiales

  • lois d'équilibre scalaires

  • piéton dérivée de gâteaux du semi-groupe

  • source résultats existants


Publié le : dimanche 1 mars 2009
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Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 39
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StabilitéL1pouredlsiodséuqlibiscreaialserepptaacilnoit.sM.MicreéLitou1pSterilabiuildqéolsidrseetapirescalabres
GdR Moad, 18 Mars 2009
ICJ, Lyon
M. Mercier
StabilitéL1pour des lois d’équilibre scalaires. Contrôle de l’équation de continuité.
.snoitacilp
libaLétiuop1sedrStacalrisetepalpciloisdéquilibres.noi.InsioatctdurontrdouloesdisuiéqrbilacserialteseM.MericretSbalitiLép1.
Lois d’équilibre scalaires : u+Divf(t,x,u) =F(t,x,u) (ut(0,x) =u0(x)L1LBV
Introduction
oisncitapalp
f∈ C2([0,T]×RN×R;RN),F∈ C1([0,T]×RN×R;R). Existence et unicité, dépendance aux conditions initiales : Théorème de Kružkov Dépendance par rapport au flux et à la source ?
(t,x)R+×RN xRN,
tion.IntroductiLébaliretSreicM.Mliuiesbrlacaesiruop1sedrsiolqéd
Equation de continuité :
tu+Div(uV(u(t))) =0,
u(0,) =u0L1LBV,
V:L1(RN;R)→ C2(RN;R)est une fonctionnelle non-locale régularisante, par exemple, siv:RRest une application régulière : V(u) =vRRNudxdans le cas d’une chaîne de montage V(u) =v(ηxu)v~(x),ηétant un noyau régularisant, dans le cas du trafic piéton. But : Existence d’une solution entropique ? Dérivée de Gâteaux du semi-groupe obtenu ?
tepalpcitaoisn.cations.setapplicslaiaeruqlibieroislésdpoL1deuribatétilS
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V:L1(RN;R)→ C2(RN;R)est une fonctionnelle non-locale régularisante, par exemple, siv:RRest une application régulière : V(u) =vRRNudxdans le cas d’une chaîne de montage V(u) =v(ηxu)~v(x),ηun noyau régularisant, dans le cas duétant trafic piéton. But : Existence d’une solution entropique ? Dérivée de Gâteaux du semi-groupe obtenu ?
u(0,) =u0L1LBV,
.
tu+Div(uV(u(t))) =0,
Equation de continuité :
oisncitaatSilib1Létruopsldesdoiquéibilon.uctidortnI.snoitacilpptasereaialscre
ortnI.sn.noitcudapetesirioaticpliuildqéacalrbse1pouitéLloisrdesabilStdeslpouréquoisdercslibiereslaiaMeM.atSreicr1Létilibpptacalionti
Plan
s.
2Existence de solutions pourf,Fnon-locales Trafic piéton Dérivée de Gâteaux du semi-groupe
1StabilitéL1par rapport au flux et à la source Résultats existants Estimation de la variation totale Dépendance par rapport au flux et à la source
tabiierSL1politéeMcr.MalscreibtasereaiiolsedruliuqédsanrbseiuildqéolsiplicetapirescalatSesrdou1péLitilabruecéRusexàtalosstantsPlltatsexiibatétiloitaS.snrtpouaupaL1aprrs.on
2Existence de solutions pourf,Fnon-locales Trafic piéton Dérivée de Gâteaux du semi-groupe
1StabilitéL1par rapport au flux et à la source Résultats existants Estimation de la variation totale Dépendance par rapport au flux et à la source
lipptica
batStilip1LéarraorpputaetuxasàluocrReséluatstxeistantstélibitaSédsiolsedruop1Lairescalibrequilno.sacitppilesat
Théorème (Kružkov (1970)) NotonsΩA= [0,T]×RN×[A,A]pour tout A0. Si
(K)A>0, ∂ufLA), ∂u(Fdivf)LA) etFdivfLA)
alors, pour tout u0(LL1)(RN;R)tel queku0kLM0, il existe une unique solution entropique uL([0,T];L1(RN;R))continue à droite en temps et il existe M>0tel quekukLM . Soit v0(L1L)(RN;R)tel quekv0kLM0, et alors (uv)(t)L1eγtku0v0kL1, γ=u(Fdivf)LM).
lacaesirliuiesbroita.snpatecilpitéLabilerStercidqéolsidrsep1uoM.M
iodséuqopruedlsbilitéL1Stasauotelàuxuroatrapp1paritéLabiltS.snoitacilppatsereaialscreibilM.Meriuqédsiolsedruo1péLitilabSterci.
(K)A>0, ∂ufLA), ∂u(Fdivf)LA) etFdivfLA)
Théorème (Kružkov (1970)) NotonsΩA= [0,T]×RN×[A,A]pour tout A0. Si
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alors, pour tout u0(LL1)(RN;R)tel queku0kLM0, il existe une unique solution entropique uL([0,T];L1(RN;R))continue à droite en temps et il existe M>0tel quekukLM . Soit v0(L1L)(RN;R)tel quekv0kLM0, et alors (uv)(t)L1eγtku0v0kL1, γ=u(Fdivf)LM).
sélucrRexesiatststant
teselppatacisnoiuiéqbrlicaesirla.
Précédents Résultats Lucier (1986) / Bouchut & Perthame (1998) : flux ne dépendant que de u, et pas de sourceF=G=0,
Théorème Si f,g:RRNsont globalement lipschitziennes, alorsC>0tel que u0,v0L1L(RN;R)conditions initiales pour
tu+Divf(u) =0, ∂tv+Divg(v) =0.
avec de plus v0BV(RN;R), on at0,
(uv)(t)L1≤ ku0v0kL+CtTV(v0)Lip(fg).
M1uodrLép1sidseolcier.MerilitStabraarpprolitiLép1àlasourctauuxetxestatsiséReatlusnt1LopilétatibSquilsdésloiurdeateserialacserbiabSts.onticalipp
tatsexisrceRésulaiitnootattnVsraar1ppprailabéLitlàteuosaatroxuuletaercslibiereslaialicatapps.SttionatS1LétilibsldeurpoquésdoiM.reMiuqédsiolsedruo1péLitilabStercioisn.
Remarque :LorsquefetFne dépendent que deuon a
Définition :PouruLcol1(RN;R)on pose TV(u) =supZRNudiv ΨΨ ;∈ Cc1(RN;RN),kΨkL1; et BV(RN;R) =nuLc1lo;TV(u)<o.
palpcitalairesetlibresca
TV(u(t))TV(u0)eγt .
u0LBV⇒ ∀t0,u(t)LBV
et de plus, notantγ=kuFkLM),
rdes1poudéqloisrbseiuilriseacal.MMtSreicreLétilibasattnésulrceRexistatsatroxuulàteuosailabéLitar1pppraatppilacitno.stSilibrescalairesequésdoisldeurpo1LétilibatS
Chen & Karlsen (2005) : flux de la formef(t,x,u) =λ(x)l(u), g(t,x,v) =µ(x)m(v), pas de sourceF=G=0, (uv)(t)ku0v0kL1+C1tkλµkL+kλµkW1,1 L1+klmkL+klmkW1,C1=Csup[0,T]TV(u(t)),TV(v(t)).
Problème :On ne dispose pas en général d’estimation sur la variation totale !
sn.taoilpcitepa
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