TD d'analyse numerique tronc commun

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Niveau: Supérieur, Bac+8
TD d'analyse numerique - tronc commun 1 Conditionnement. Definition 1 Soit une norme subordonnee ||| · ||| sur Mn(R). Le conditionnement d'une matrice A ? GLn(R) par rapport a cette norme est le reel positif cond(A) = |||A||| · |||A?1|||. 1. Minorer condA. Calculer le conditionnement de A?1, ?A. 2. Que vaut cond2A ou A est symetrique. Montrer que cond2A = 1 si et seulement si A = ?Q avec Q ? On. 3. Soit A et A? deux matrices inversibles et b, b? deux vecteurs de Rn, b 6= 0. Soit u et u? les solutions des systemes Au = b et Au? = b?. Montrer que l'on a alors : ?u? u?? ?u? ≤ condA ?b? b?? ?b? . Montrer de meme que si u et u? sont les solutions des systemes Au = b, A?u? = b alors : ?u? u?? ?u? ≤ condA |||A?A?||| |||A||| (1 +O(|||A?A?|||)). 2 Resolution de systeme differentiel : methode d'Euler im- plicite. On s'interesse a l'approximation de la solution d'un systeme { u?(t) = f(t, u) pour t ? [0, T ], u(t0) = u0 ? Rd (conditions initiales) .

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Publié le : vendredi 8 juin 2012
Lecture(s) : 26
Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 4
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TDdanalysenum´erique-tronccommun
1 Conditionnement. De´nition1enoritunbordmesueeno´noS||| ∙ |||surMn(R). Leconditionnementd’une matrice 1 AGLpraarettenormpport`acpleetisotsee´relcoifnd(A) =|||A||| ∙ |||A|||. n(R) 1 1. MinorercondAle conditionnement de. CalculerA ,λA. 2. Quevaut cond2Aou`Astsee´myqirtM.euontrerquecond2A= 1 si et seulement siA=αQ avecQOn. 0 0n0 3. SoitAetAdeux matrices inversibles etb, bdeux vecteurs deR, b6= 0.Soituetules 0 0 solutionsdessyste`mesAu=betAu=b. Montrerque l’on a alors : 0 0 kuuk kbbk condA . kuk kbk 0 00 Montrerdemˆemequesiuetuesssoontlonsdlutitse`seysemsAu=ub, A=balors : 0 0 kuuk |||AA||| 0 condA(1 +O(|||AA|||)). kuk |||A||| 2R´esolutiondesyste`medi´erentiel:me´thodedEulerim-plicite. Onsinte´ressea`lapproximationdelasolutiondunsyste`me 0 u(t) =f(t, u) pourt[0, T], (1) d u(t0) =u0R(conditions initiales). On supposera toujours quefarppperaaro`testinutcontetLrrapoppaa`trli-chpsziitneenu. Soith >0 tel queT=N hpour un certainNN; on posetk=khpourkN`aherchenc.O approcher la solutionu(tk) de (1) parUkmeor:ademafelnura´hcsnod,pe´n Uk+1Uk=hF(tk, Uk, h),(2) dU0ttiaonntdueneapproxim´aeu0,Feius[r0d,e´n, T]×R×[0, h]es,rrr.Pareteenimtnat´da` exemple, pourEuler explicite, on prendF(tk, Uk, h) =f(tk, Uk).
De´nition2idete)tsLparpxomiationdusyst`eme(ap)1selre´hc´gam´eenl`ranpau(2asconver-gentesi quel que soitu0, on a lim max|u(tk)Uk|= 0. h0k
1
d D´enition3ame´hcseLtdist)e(2stables’il existe une constanteMtelle que ,U0R,V0dR,hhet pour toute suiteεj, les suitesUjetVje´dlrapseinesrelations Uj+1=Uj+hF(tj, Uj, h), Vj+1=Vj+hF(tj, Vj, h) +εj, ve´rientlestimation:  ! j1 X j,|UjVj| ≤M U0V0+|εj|.   k=0 D´enition4tditme(a)2seeLcs´hconsistantavec (1) si pour toute solutionu(e1londetqiu´a) on a X lim|u(tj+1)u(tj)hF(tj, u(tj), h)|= 0 h0 j (l’erreur locale est petite). d 1. a. Montrerque, pourFcontinue ent, u, h, sit[0, T],uR, on aF(t, u,0) =f(t, u), alorslesche´maestconsistant. b. Montrerque, si (aj)j0, (bj)j0reinetisitsf´veer´polsitsudeesaj+1(1 +K)aj+bj, P j1 Kj K(jk1) alorsaje a0+bke. k=0 xKj Indication :On rappelle que1 +xe ,x0pourra poser. Onαj=e aj. dc. Montrerque, si il existeCtel quet[0, T],u, vR,hh,|F(t, u, h)F(t, v, h)| ≤ C|uv|scleemh´staeabstel.a,srol On´etudied´esormaislesche´ma(2)pourF(tk, Uk, h) =f(tk+1, Uk+1ioitstneeCdet)t.n´e implicite puisqueUk+1rentmordboatdouame´hcseceuqrad´etermest`uadtnotcnireI.fl estbiend´eni,puisde´terminerF(tk, Uk) seulement en fonction detketUk. 2.a.Montrerquelesyst`emex=y+hf(t, x) admet une unique solution pour 0hh0, not´eeG(t, y, h). b. MontrerqueG`tapproraarnneptziescehsitlipy. d c. Montrerqueh]0, h0[,UkR,Uk+1seuoo`na´hme(a)2ptraelcsniquementd´eniu remplace´F(tk, Uk, h) parf(tk+1, Uk+1rne.erdacecimrete´Dpr´ece`adanssent)pealO.sn la fonctionFcilimete.nt)2(eonteulpnpmisch´emasouslaformdnree´e´rcrilesead.Montrerquelesch´emaestconsistant. e. Montrerque pourhacs´h,telepitsszeleab.aeemstst
3Polynˆomesorthogonaux. Soit ]a, b[unioevurebttnreavllnuoe´nroednoR. Onse donne un poidswsur ]a, bune[, i.e. fonction positive et continue sur ]a, bruottuopylˆnmoeOn[.ppsueqospouePR[X], on a Z b |P(x)|w(x)dx <.(3) a On note alorsEl’espace vectoriel des fonctions continues sur ]a, b[ telles que : s Z b 2 kfk2=|f(x)|w(x)dx <. a Graˆcea`lhypothe`se(3),Enimutienttouscontoˆem.snOelpslonyEdu produit scalaire naturel R b hf, gi=f(x)g(x)w(x)dxet on noted2i´ocsseanctaisadl.ee a
2
1.Montrerquilexisteunesuitedepolynoˆmesunitaires(pn)nN,pndedegr´e´etantn, orthog-onauxdeux`adeuxpourleproduitscalairedeE. Montrerquecettesuiteestunique.Cespolynoˆmessontappele´spolynoˆmesorthogonaux pour le poidsw. 2. Montrerque pourn´x,ensup´erieurou´egxueda`latsixeli,onxceuedsteanstλnetµnque lonpre´ciseratellesquepn(x) = (xλn)pn1(x)µnpn2(x). 3. Montrerquepnposs`deensoidtsni´zrevaerntislansdct]ella, b[. 4. SoitfEileerquontr,mepmeloniynouˆqueunixtsrnRn[X] tel quekfrnk2= d2(f,Rn[X]). 5. Onsuppose ]a, bio[t,s´ernbofEetrnnˆomedelaquestioelopylrentuerq´rpne´cetnedom,e limn→∞kfrnk2= 0.
4PolynˆomesdeLegendre. On prend ]a, b[=]1,1[ et pourx]1,1[,w(xxereicecmoseedlespolynˆ)=1.Lon1st alorsappele´spolynoˆmesdeLegendre,saufqueparconvention,onsupposeiciquecespolynoˆmes prennent la valeur 1 en 1.On noteLnseteesclypoomnˆkneedeloceicnetdeplushautdegr´Ln. 1. Montrerque pourn0, on a 20 0 ((1x)L) +n(n+ 1)Ln= 0. n 2. Montrerque pourn0,Lnedoste´nnrap n n (1)d 2n Ln= ((1x) ). n n 2n!dx 3.Ende´duire,pourn0, la valeur dekn. 4. Montrerque, pournpel,nylomeˆo0Lnierev´ Z 1 1 2 L(x)dx=. n n+ 1/2 1 5.Onnoted´esormais,poursimplierlescalculs, p L= nn+ 1/2Ln ∗ ∗ etkle coefficient dominant deLque pour. Montrern2, on a n n ∗ ∗k kk nn n2L(x) =xL(x)L(x). n n1n2 ∗ ∗2 k k n1n1
6. Montrerla formule de Christoffel-Darboux :pourn0, on a, pour toutxetydans ]1,1[, ∗ ∗∗ ∗k L(x)L(y)L(y)L(x) ∗ ∗∗ ∗n n+1n n+1n L(x)L(y) +∙ ∙ ∙+L(x)L(y) =. 0 0n n k xy n+1
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