TD Developpements Theoreme central limite

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Niveau: Supérieur, Bac+8
TD-Developpements : Theoreme central limite Points du cours : • Convergence en loi. Theoreme de Levy. • TCL. • Exemple de lois : Gaussienne, exponentielle, binomiale, Gamma (op- tion). • TCL dans Rn (option). Lemme de Slutsky (option). Definition et calculs d'intervalles de confiance (option). Exercice 1 : Application du TCL : intervalle de confiance asymptotique. Dans une population, on veut estimer la proportion p de fumeurs. On fait un sondage sur n personnes; on note X¯n la proportion de fumeurs dans l'echantillon. On cherche un moyen de construire un intervalle In = [X¯n ? ?n, X¯n + ?n] tel que pour au moins 95% des realisations de l'echantillon, on ait p ? In. a. En utilisant l'inegalite de Tchebychev, evaluer la taille de l'echantillon a sonder si on veut ?n ≤ 0.01). b. Donner une approximation de ?n en utilisant le TCL. Indication : F (1.96) ? F (?1.96) = 0.95 si F est la fonction de repartition de la loi normale centree reduite. c. On veut toujours ?n ≤ 0.01; evaluer la taille approximative de l'echantillon a sonder en utilisant b. Developpement 1 : Formule de Stirling par le TCL (Feller pp 241-243; Foata-Fuchs pp 240-241).

  • loi exponentielle de parametre

  • densite de la loi normale

  • tcl

  • matrice orthogonale

  • convergence en loi

  • calculs d'intervalles de confiance

  • x¯n ?

  • tcl dans rn

  • echantillon


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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TD-D´eveloppements:The´ore`mecentrallimite Points du cours : eenlgench´eooi.TdeLe`rme.e´yvoCrevn TCL. ,eibˆnmoentneillma(op-iale,GammpxeEislodeleeissuaG:opxe,enn tion). n TCL dansR.)´Ditno(ypotuksettionenio(meemSldeiopt.Ln) calculs d’intervalles de confiance (option).
Exercice 1 :Application du TCL : intervalle de confiance asymptotique. Dans une population, on veut estimer la proportionpOn faitde fumeurs. ¯ un sondage surnpersonnes; on noteXnla proportion de fumeurs dans ¯ l´echantillon.OnchercheunmoyendeconstruireunintervalleIn= [Xn¯ εn, Xn+εnhaec´eln,loilntnorealquumepo]ut95%doinsaeilse´rnodsasit aitpIn. a.tunEnev,´uealatrlllailedece´tnaholliilisantlin´egaltie´edcTehybhcve `asondersionveutεn0.01).
b.Donner une approximation deεnen utilisant le TCL. Indication:F(1.96)F(1.96) = 0.95 siFsefalt´eerrtpactonndionioit delaloinormalecentre´ere´duite.
c.On veut toujoursεn0.e´av0;1hantillonmixovitaledece´erlutalaleilprap `asonderenutilisantb.
D´eveloppement1:Formule de Stirling par le TCL (Feller pp 241-243; Foata-Fuchs pp 240-241). SoientX1, . . . , Xnxrpaomn`eetnrteiteulnleeldoeipea.dusvina..1v.a.i.iesd On noteSnleur somme. a.Calculer en utilisant le TCL la limite quandntend vers l’infini de    Sn P n1[α, β], n
pourαetβeuxrds.´eel b.Montrer queSnsuit une loiγ(n,ui,p1)cslauceldrriceetmentlamˆeme quantite´queci-dessus. c.Montrer la formule de Stirling en utilisanta.etb..
Remarques : -De´veloppementmodeste,maispossible´amonavis. -Fellerdonnedeuxautresapplicationsa`le´tudedespermutations,quin´ecessitent lemploidunTCLpourdesvaind´ependantes,maispasidentiquementdis-tribu´ees.
Exercice 3 :De Moivre-Laplace (Feller T1 3e edition pp 179-181). SoientXiaparseeder1`mteind´ullidantependetia.veBed.onreusune/2; on noteSn=X1+. . .+Xnequedesnois`drereo,nnceuoP.ilpmisrnpairs; on noten= 2νnote, pour. Onνkν,a(ν, k) =P(Sn=ν+k) (kest lade´viationparrapporta`lamoyenne). a.Montrer que (2ν)! 2ν a(ν, k) =2. (ν+k)!(νk)! 3 2 uandν b.On suppose maintenant que 0kKν, avecKν0 q tend vers l’infini.Montrer que   3 K 2 k /νν a(ν, k) =a(ν,0)e1 +O( ) 2 ν c.On noteh= 2/ netφenadt´silonmrlacedelelaio´eduite.entr´eer n+1/2n En utilisant la formule de Stirlingn!2πn e, montrer que a(ν, k) 1. (kh) Remarqueete`rcsienuraprumexiroedmmsonetunelIafaeppusti: int´egralepourobtenirleth´eor`emedeDeMoivre-Laplacepourp= 1/2. Pourp6= 1/neiunsainaO.eriotaluclacsuisple,malairsimi`rsesett,2c de´monstration´ele´mentaireduTCLpourdesvadeBernoulli,maisbeau-couppluspe´niblequelade´monstrationhabituelle.Autreremarque,onpeut
aussi utiliser ce moyen pour calculer la constante2πdans la formule de Stirling. 2 De´veloppement2:Application du TCL ”vectoriel” :test duχ(Ou-vrard T2 pp 326-330). Soient (Xnllee´r.dioled,setedeesuii.i.v.a.)nuµ. SoientA1, . . . , Akun k ensemble d’intervalles disjointeAur s, tels qui=1i=Retµ(Ai) =pi>0 po toutinied´On.tuotruopti= 1, . . . , kles v.a. n X n N=IAi(Xj), i j=1 ainsi que la v.a. k X n2 (Nnpi) 2i χ=. k,n npi i=1 n2 Ncompte le nombre deXr quequi sont danχ i jsAi. Onveut montrek,n 2 converge en loi versχa,iduclaloeux`hi-dk1rgeddse´bilet´ere. k1 k a.ptuotruotd´Onniejal.v.a`avaleursdansR   IA1(Xj)   Y j=.IAk(Xj) Calculerlespe´rancep~et la matrice de covarianceCdeYjque. Montrer t C=diag(p1, . . . , pk)p~p~ b.alecediagonnied´OnriatamtlMparMii= 1/pipouri= 1, . . . , k, et la v.a.Zn n X 1 Zn=(Yjp~). n j=1 Montrer que 2 1/2 2 | χn=M Zn|. k, 1/2 1/2t c.Montrer queM CM=Iuu, avecuun vecteur unitaire.En d´eduirequilexisteunematriceorthogonaleOtelle que   1/2 1/2t t0 0 OM CM O=Ie~1e~1=. 0I k1 R
k d.Montrer que siUn, suite de v.a.deR, converge en loi versN(0, B), et t siAest une matricek×k, alorsAUnconverge en loi versN(0, ABA) (on pourrautiliserleth´eor`emedeLe´vy). 1/2 ´ e.Etudier la convergence en loi de la v.a.OM Znet conclure. d Rappel :SiUest une va dansRqui suit une loi gaussienneN(0, Id), alors 2 2 |U|suit une loi duχa`d.e´tledsrebidegr´e
Remarquesetpricebiliroba...´tsenglaatem´e:m
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