Théorème de la sphère

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  • exposé


Théorème de la sphère E. Aubry Soit (Mn, g) une variété riemannienne compacte. Son volume, son di- amètre, son radius (par définition : la borne inférieure de l'ensemble des rayons des boules géodésiques recouvrantM) et son spectre (du laplacien) sont des in- variants riemanniens. Les valeurs de ces seuls invariants sur l'ensemble des var- iétés riemanniennes compactes ne permettent pas de distinguer la topologie ou même la métrique de ces variétés. Toutefois, si on restreint ces fonctionnelles à des sous-ensembles de variétés satisfaisant certaines hypothèses de courbure, la situation peut devenir radicalement di?érente. La sphère canonique (Sn, can) peut, par exemlpe, être ainsi caractérisée : Théorème 0.1 Toute variété riemannienne compacte (Mn, g) de courbure de ricci supérieure à (n? 1) vérifie les inégalités suivantes : (i) Diam(Mn, g) ≤ Diam(Sn, can), (ii) Vol(Mn, g) ≤ Vol(Sn, can), (iii) Rad(Mn, g) ≤ Rad(Sn, can), (iv) ?1(Mn, g) ≥ ?1(Sn, can). De plus, si l'égalité est réalisée dans une de ces inégalités, alors (Mn, g) est isométrique à (Sn, can).

  • courbure sectionnelle

  • sphère canonique

  • courbure de ricci supérieure

  • variété riemannienne compacte


Publié le : mardi 29 mai 2012
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n(M ;g)
M
n(S ;can)
n(M ;g)
(n 1)
n nDiam(M ;g) Diam(S ;can)
n nVol(M ;g) Vol(S ;can)
n nRad(M ;g) Rad(S ;can)
n n (M ;g) (S ;can)1 1
n(M ;g)
n(S ;can)
n(S ;can)
(n 1)
n(M ;g)
(n 1)
"
nS
"
M
ncesomorphefneoetnprisesctionnellese,?endradesr?sultat,sous-ensemdeblesprodeouv-prari?t?s?satisfaisanChengtourcertainespropri?t?shconservypvoth?sesriemanniensdeTcourbure,eladosituationvaleurplaeut?devfaisanenirpradicalemenlestth?or?medi?renAute.deLatiablessph?redi-canoniquevtsuprestreinlesquellesoninsisonoutefois,laTcpuneeut,ciparSoitexemlpvolumee,adius,?treduainsidecaract?ris?eanonique,:sph?rTh?or?mer?p0.1d'autanTconstanouteypvari?t?structureriemanniennepc(i),ompetacte([15])ari?t?s.casvdecesestdedemanderm?triqueologiques,lam?triques)descsonourburpareriemanniennesdederic?cipsupv?rieurl'unearian?th?or?mem?mesusamenouhesologiealeurv?rievari?t?lesactein?ari?t?galit?scsRuivan?rieurtgaleesE.:t(i)letoplelaladistingueroprdeestpascteluiermetteneplenelcompacteslaness?r,riemannienarmativi?t?squestion,plus(ii)quear-Th?or?mevmoinsdessuppl?menblesursemtiablel'en([6])surourtscasarian(ii)v(iii),induseulsd'Obatacespdelealeurs(iv).,vu(iii)cevilLesnaturel.seriemanniensquellests(topariandi?renvouin-dedesotam?tre,sonsonlaplacien)t(du?es,les(iv)ari?t?sectrecompactesspcourburesonRicciet?rieure)olume,tSonrecouvranourd?siqueslesg?oaleursoulesparbdesdesvonstsydura0.1destblet.cDedeplus,vsiextr?male.l'?outegalit?riemannienneestompsemcompacte.ouriemanniensavl'id?aldetourburunededeiccsupesein??galit??s,Aubryalors,nnelel'(oudediam?trinf?rieureouornerestouisom?triquek-i?me?prbelalaplacien):sph?red?nitiono(parheradiusc.deCessph?rin?galit?scsonest-eltdi?d?esath?or?mesedor?nadevBienanunetonseclassiquesed?scette?seraMyters,satis-BishopteetlaLictehnerod?pwicz.duLesd'hcasoth?sesd'?galit?stairesd?coulenossibletladudi?renth?or?mededersur?m?trique;alis??tane1dansn" n (M ;g)
" ="(n)
" ="(n)
n(M ;g)
"
n + 1
"
" =
n"(n) (M ;g)
n nVol(M ;g) (1 ") Vol(S ;can)
nS
"(n)
M
n(M ;g )p p2Np
n(S ;can)
n(Vol(M )) Vol(S )p p2N
(jx; )
(A;d ) (B;d ) A BA B
F;(C;d ) (C;d ) B FC C
2A C d F(A);B 8(x;y)2A jd (x;y) d (F(x);F(y))jC A C

0 0d (M;g);(M ;g ) = inff g:HG
)dcet'autrevquancoupletit?squ'ilg?S.om?triques)le?decetted'uneq?ulaestionnouvexistaienlatespacessuronlelamarciteh?).(ondupveutouseinr?f?rerils?tiablel'articletrerdsectionnelleeetK.oShio-Andersonhamacon[17]depouourtundeshistoriqueendedimensionladequestion)deaalenvdeangenretconquelaJ.neCheeger-DanseettnitudeT.aColdingallonsner?sultatd?monconsid?r?estreunelejoranr?sultatd?pg?n?ral-approsuivsurananctpar(surcfune[8],telle[9]?treealeurtque[4]),tiableam?lioranpastuncmonm?triquesid-:?rablemenari?t?tendeles-appror?sultatssurpr?c?dendetssup:ilTh?or?mede0.2en(J.vCheeger-T.tiableColding,[4])stabilit?Ilvexisteergeanceunequ'?cdonconstantevy[14]).raetdusecondvis-?-vistrendetdencer?sultattelgenreleDansquepartietouteos?,vari?t??riemanniennepr?cisercColding.ompcfacteven-lad?pdeouSoitologiqued'untopdegenrequedeUnecmourburdeeestdeelleRenictelci?t?supest?rieurm?triquee(des?pn-1dansetvv?riantcl'in?eri?t?galit?de:premi?redu,(stabilit?astreinpartiellesvonseser?pstabilit?breusesn'ynomOnDel'ensem.ari?t?seiennescritiquappaleurHaussdor-Gromovosanrtoutuqu'onelaldedenesoitunedi?oomorphede?voisinagevis-?-visvcourbure.ricciRemarque?rieure0.3(n-1),la?quivctonstanteconauergerari?t?distancevHausdor-Gromola1estersuniverseldi?renledeetland'aeoird?pvenddeqsuiteuesuitededanslat?resseronsdi-nousmension.ersBienNousentendu,Iliasel([8]le[9]).neund?ptemps,endd?monptasutilisendeundeeau...demaisduedi?renl([4]).lelnpremi?reeded?pexpendnouspropreredd'injectivit?monpettrouvledesdetsSifnotationsur(m?triqueari?t?s[13].dessercourbureaientd?signeimpfonctionos?teles1?tlamacetourburneendresepuissectionneldeuxle.m?triques.Ceadmetpxiointatiestnlon'siamun?liorappara?tationhe,fondamentalerevapp[2]);ort?M.equepdonn?sartT.Coldingtres-exemplesauxuntrespaceavauxdeant?rieursetdeestShiohama,aPerplicationelman,critiqueOtsu-Shiohama,aleurYqueamaguchi,...(leurcfhe[17]).proLa?preuvveetdepropreCheegervetlaColdingdiam?tre(sujetledtelorsqu'oncetecexp(aos?)di?renseypd?compduosedeenadeuxqu'il?tap.esm:it-Dansbleunvpremierreitemps,annCocompacteslm?trique,dingel?eademonv,tr?pque,tonsuoupdeourRemarquonstounoterate(cesuitevdedevlaari?t?squeriemanniennesd?pcompactestelaleurexiste-vquelaximatidenouHaussdorradius(M,g)du(M',g')olume,pOnasourranonerpluscompl?mended'inbormationornescetteadanspriori2qui(jx; )! 0 ! 0

d n n nH =f(M ;g) d (M ;g); (S ;can) HG
g
V n nH =f(M ;g) Vol(M ;g)
n(1 ) Vol(S ;can)g
n nH =f(M ;g) (M ;g)n+1
n (S ;can) +g1
R n nH =f(M ;g) Rad(M ;g)
nRad(S ;can) g
= ("jn) > 0
n(M ;g)
iH
(jn)
ji2fd; R; V; g H j =i"
n n(M ;g) (S ;can)
n nVol(M ;g) Vol(S ;can)
1C
M
n nVol(M ;g) (1 (A;n)) Vol(S ;can)
M
n n(M ;g) (S ;can)
n(M ;g)
M
pL
Z
1p pkfk = f (x)dv (x):p gL Vol(M) M
X @ @i;j4f(x) = g Ddf( ; ):
@x @xi j
i;j
genrelescensemblesedes:l'unCheegerdansunitair(ponventionourdonctoutNousincluetoujours6c(n-1)c?laplacien).d?niOutrelorsquequ'elleupd'informationermetinl'extensionceduourburr?sultatariandearColding,tlavari?t?d?monstrationtquedesnousositif.d?vcelopp?tanteronspremi?reenColdingpremi?reth?or?mepartieconclutdemorphcetyexpr?sultatos?expaurasuite,l'acvicanstabilit?tagededenormesfournir?epvari?t?sxicitemenvolumet:uneleappro,ximanetiseroquinopdecisement,Hausdorordedeeosedans?rieuraussisupconstruitecisut.icdeRCheeger,surtdenitudeetiableourbursanscledeexistanactevlorsquelesompparcColdingriemannienneuvari?t?ult?rieurtouteDansqued?signerlevari?t?est?prodecsuphe(n-1).deintelgfonctionsph?reuneonsexisteacteIlapp0.4mesurTh?or?meriemannienne(cetteserapproici:c3actes),mcation,estacteenvari?t?faitleuneompfonctionQuantsurjectivcecdeom?trclasseartfontanateurconstruitepr?serpartircdesespremi?resaufonctionsppropres.deonsuives)).esDeensemblesplusourcetteenapppartieroOnximationoblig?deviensuivretetunquiditilisenun?omorphidesmduedi?rensiquiltatmaisr?sufournirlesur[16]),di?odeismeett.[12]rendeotonsspiranlecteurss'int?ress?setceColdingdedeetcelle?denteos?di?rendedes?minaire.m?tholauneleo?aAuneestriemannienneunompl?temacjoranetRdecila?rieurcourbure?sectionnelle1dedesarv,tsce?om?triquesquelanousNousexpalculeroseronslesdanstellapseconderpartieortdelaceeteexpdesos?.(quiPonourtoujoursmodenni,trerarl'existenceompd'uniedompi?riemannienneomorph.ismequeenteltreomppriemanniennetrer,.d?monqueaelvacteoncetriemannien,auqueutilis?,leetelaacteeluiompg?souses,lespconditicoennuns?rdupth?or?mePlus0.2?(c'est-?-direilsansabenorneosurdonn?lelocourburealessec-voisinagetionnellex,dearcvari?t?riemannienne:vari?t?p.si,etquex?)variablesonautrneestinclue(lesquepsil'applicationsaitpasxinS
n(S ;can)
n(S ;can)
n n+1S R
E = n 11
n+1R x7!< x;r:x >=0
nr:cos(d(x;x )) x S ;0 0
+ nR (S ;can):
n+1R
Z
1 1
Trace(A) = <A(x);x> dx
nn + 1 VolS nS
n+1feg R x e ox~ = ei i i i i
2f = cos(d(x;:)) =< e;: > Li i i
12 nE kfk = x 2 S i 2 01 n+1L Z
n + 1
= cos(d(x ;x))f (x)dxi 0 ijx n0 VolS nS
8
n+1P> cos(d(x ;:)) = :f< 0 i ijx0
i=1
n+1P> 2: 1:ijx0i=1
Z
n + 1
= <x ;x>:<e;x> dx =<x ;e >=f (x ):i 0 i 0 i i 0jx n0 VolS nS

n nS ! S
F :
x 7! (f (x);:::;f (x))1 n+1
nx ;x2S0
n+1X
ncos [d (F (x );F (x))] = <F (x );F (x)> = f (x ):f (x)S 0 0 i 0 i
i=1
n+1X
= :f (x) =cos[d(x ;x)]:i i 0jx0
i=1
n n+1 nS R S
laeuty?crirededequ'onP1.1arfonctionsailleurs,elle(1)commen?onsnoushedonneose:.BONtunedusousplongemenlatpformquelquesenotreSoitune(1)sphere,eto?uitest?unque,Bien?l?menunetestquelconquequel'extr?mit?oduetdear,unpartie?l?mensimplestquiquel-?conqueledeg?n?raletdedsph?relal'ondistancederiemanniensineensurteOn1).rappduelledequeorthogonaleptendu,ourv:plusaqueonisom?trie,?toutestendomorphismecAiqueedansdceOntieacanoniquedoncalorsenNousfaitcetted?monpartr?remarquesquesurvsph?re4inspirerons:d?marcecteurformendedanslin?airest(iecasformes:desCasl'espacelaestLaproprecanoniquealeurp).queD'apr?sest(1),courburelesRiccifonctionsquevd?dlaOn?constanci??galeasso(n-propresLesfonctionspropresdeslaplacienl'espacetelleparticulier,sonEnde.-estenbienild?niaeait.d?monstrationDerapideplufaitsFc'estuneune:isom?trie,consistaitpuisquereconnaitrepFourletoustdeanharmoniquesnhomog?nesdeolyn?meslesetrestrictionspbasedesque:plongemen,idenonlam?trique:deaonl'application"
n(M ;g)
(n 1)
r 0<rR
Vol(B(p;R)) V (R)
;
Vol(B(p;r)) V (r)
V (r)

Vol(B(m;R))V (R)
V R d RH H H H" "("jn) ("jn)

V(M;g)2 H B p; Rad(M) Rad(M)
M M
1 1(1 ")V () Vol(M) = Vol(B(p; Rad(M)))V (Rad(M)):
1r7! V (r) [0;]
Vn (jn) H "
RH("jn)
d(M;g)2H p2M F : (M;g)!"
n n(C;d) (S ;can) (C;d) d(F (M);S )

2 0(x;y)2M ; jd (x;y) d(F (x);F (y))j pg
0 n 0 0 0q S d(F (p);p ) d(p;q ) = q M
0d(F (q);q ) q M d (p;q) 3g
d RH H" 3"
R H H" ("jn)
(f )i

4f = fi i i
2 1kfk = ;i 2L n+1
ari?t?onuneoule1.2.2btsuneprecouvranfonctionstd?setdu(?.Soitque?tanDanstendancompacte,leelleduexiste).eD'apr?sleleointh?or?meles1.1,eonlaobtienriemannienneetaucune5teldeecetrouvpreuvce1.2.1v..doncobtienttenonferonslimite,Danslaolume?uneassagetelpci-dessusarapdearticulier,ser,pAutremenEna.ourquoi??galenous?leonstanteducpreuvledectionnelaseonepourburdonctenanOrcitonsdedeon-nexeIlcpsimplementsivpletdeom-quecort,estlaunecasfonctionmaximal.condetin.ueunstrictemendetpctroisexhibsaalorsn?tetsurteleprou-acallonsl'esppreuvdeditneonsd?pnousendanetc'estquevdeserqui.hanceD'o?unel'existencegonaled'uneoprfonctiondeayonquercettedeari?t?.d?siqueraod?siqueg?d?monstrationtelleerqueaitouleourrablecteurd'unetvolumeth?or?meletd?signemaino?donc:NousaBishop-Gromoonth?or?meM.deexiste.des.SoitoinpeointetpintoututilisationPourtels.unquenoustelrappelsuiteettoute?g?n?ralretun1.2.presqueAlorsvilriemannienneexistevuneSiapplicationestetpdonn?)telour?quer-pr?sunvraiesestresten(o??es??galit?sequeronieutrouv?runo?oinsuptcianicquRveendg?n?raliestnousunesous-esp.atcepremi?rem?triquepr?f?r?develuiourbur.cpreuvdedeompl?tepetabstraite,telleari?t?queunecg?n?raliserriemanniennedevari?t?ceunesuit,Soitnotonsv)cmon'aGrofamil-ortho(Bishopde1.1prTh?or?meesetlaplacienp(M,g)ourletoutecouplederni?redetpCepoinsous-vtsm?trique:laAdeyvl'appg?odansendicet:( ) (M;g)i i2N
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Z
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("jn) ("jn)1
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Pk()
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