Theorie et algorithmes pour les elements finis anisotropes

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Niveau: Supérieur
Theorie et algorithmes pour les elements finis anisotropes Albert Cohen Laboratoire Jacques-Louis Lions Universite Pierre et Marie Curie Paris avec Nira Dyn, Frederic Hecht et Jean-Marie Mirebeau CIRM, Mars 2010

  • erreur d'approximation locale

  • triangulation

  • triangulations optimales pour l'approximation par elements finis

  • raffinement anisotrope

  • estimation de l'erreur d'approximation

  • ?lp

  • erreur d'approximation


Publié le : lundi 1 mars 2010
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THESE


présentée

pour obtenir

LE TITRE DE DOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE



École doctorale : Sciences de l'Univers, de l'Environnement et de l'Espace

Spécialité : Sciences de la Terre et des Planètes Solides


Par M. Charles-Edouard COHEN


Titre de la thèse Modélisation et simulation de la stimulation acide des puits carbonatés





Soutenue le 3 décembre 2007 devant le jury composé de :


M. M. PRAT Président

MM. M. QUINTARD Directeur de thèse
J. F. THOVERT Rapporteur
F. FICHOT Rapporteur
F. DELAY Rapporteur
D. DING Membre
F. GOLFIER Membre








Remerciements


Je tiens tout d’abord à remercier mes deux encadrants dans ce travail de
recherche effectué à l’IFP.

Je remercie Didier DING qui a été mon encadrant IFP, et qui m’a accordé sa
confiance pour mener a bien cette thèse. J’ai été ravi de notre collaboration au
quotidien, en particuliers ses remarques extrêmement pertinentes qui ont permis
d’éviter bien des enlisements dans ce travail. Il a toujours su me laisser un espace de
liberté suffisant pour proposer et essayer toutes mes d’idées, tout en sachant me
recadrer quand nécessaire, afin de ne pas perdre de vue nos objectifs.

Je remercie également Michel QUINTARD qui fut mon directeur de thèse
pendant ces trois années. J’ai particulièrement apprécié nos discussions scientifiques
qui m’ont permis de rentrer en profondeur dans le sujet. Je revenais à chacune de mes
visites à Toulouse, à l’IMFT, avec un intérêt décuplé pour ce sujet, impatient d’explorer
de nouvelles voies et idées. De plus, j’ai appris à son contact le sens de la rigueur dans
la rédaction et l’analyse qui me servira bien au delà de ces trois années.

Je remercie Florian FICHOT, Jean-François THOVER et Frederic DELAY
qui ont tous les trois acceptés de juger mon travail en étant rapporteur, et Marc PRAT
pour avoir présidé mon jury de thèse. Je voudrais également remercier Fabrice
GOLFIER pour avoir participé à mon jury, car mon travail repose pour beaucoup sur
sa thèse et pour cette raison sa présence à ma soutenance m’était indispensable.

Je voudrais également remercier Brigitte BAZIN, qui m’a apporté bien plus que
son expertise de l’acidification. Son enthousiasme sans faille pour ce sujet m’a été d’un
grand soutien tout au long de cette thèse, en particuliers dans les moments de doute.

Je remercie Patrick LEMONNIER pour m’avoir accueilli dans son
département et pour avoir été mon chef de projet. Je lui suis reconnaissant de la
confiance qu’il m’a portée tout au long de ces trois années.

Je voudrais remercier Pierre BONNEAU qui a bien voulu sacrifier un peu de
son temps, toujours très précieux pour un doctorant en fin de thèse, afin d’optimiser le
solveur et le préconditionnement dans mes codes numériques. Son aide m’a permis de
franchir un cap décisif dans mon travail.

Je remercie également mes deux correcteurs de choc, Alexandre RIEL et
Julienne TSANG, qui ont essuyé les plâtres de mon désamour pour l’orthographe.

Je tiens à remercier tous les thèsards, apprentis et ingénieurs que j’ai côtoyés au
cours de ces trois années, et grâce à qui je me suis senti chez moi à l’IFP. Ils ont le
mérite de m’avoir supporté, parfois dans ma mauvaise humeur (le matin), et parfois




dans mon humour douteux (après déjeuner). Je retiendrais les nombreuses discussions
passionnée autour d’un café et nos petits craquages collectifs : Céline, Alexandre (X3),
Isa, Benoit (X2), Gerard, Yann, Françoise, Remy (X2), Philippe, Mathieu (X2), Paul,
Thomas, Carine, Ludo, Virginie, Pierre-Edouard, Pavel, Tatiana, Amir, Hamid,
Magnolia, Samir, Nicolas, Guillaume (X2), Patrice, Pauline, Dorothée, Cédric, Daniel,
Sylvie, Hélène, Catherine, Véronique, Emilie, Michael, Arnaud, Caroline, André et
Sébastien. Merci à tous, vous me faîtes déjà regretter mes années IFP.

Je tiens enfin à remercier Carla qui par son soutien et son affection, m’a permis
d’aborder cette soutenance dans les meilleures conditions.


Paris, le 12 Décembre 2007.












A mes parents, à mon frère.












« Comment dans cette vie brève, hâtive, qu’accompagne sans cesse un
bourdonnement impatient, descendre un escalier ? C’est impossible ! Le temps qui t’est
mesuré est si court qu’en perdant une seule seconde, tu as déjà perdu ta vie entière, car
elle n’est pas plus longue, elle ne dure justement que le temps que tu perds ! T’es-tu
ainsi engagé dans un chemin, persévère à tout prix, tu ne peux qu’y gagner, tu ne cours
aucun risque ; peut-être qu’au bout t’attend la catastrophe, mais si dès les premiers pas
tu avais fait demi-tour et si tu avais redescendu l’escalier, tu aurais failli dès le début,
c’est plus que probable, c’est même certain. Ainsi ne trouves-tu rien derrière ces portes,
rien n’est perdu, élance-toi vers d’autres escaliers ! Tant que tu ne cesseras de monter,
les marches ne cesseront pas ; sous tes pieds qui montent, elles se multiplieront à
l’infini ! »
Franz Kafka





Résumé

Résumé :
L’injection d’acide dans un puits au sein de roches carbonatées permet l'amélioration
de sa productivité, en particulier si celui-ci est endommagé. Cette opération s'appuie sur
un mécanisme instable qui sous certaines conditions produit de longues percées
appelées "wormholes". L'objectif pour l'opérateur est d'utiliser cette instabilité afin de
reconnecter le puits au réservoir en minimisant le temps du traitement et la quantité
d'acide nécessaire. Les travaux présentés dans cette thèse ont pour objectif d’améliorer
la compréhension des mécanismes de l’instabilité et optimiser le traitement acide. Dans
une première partie nous réalisons une série d’études de stabilité linéaire du front de
dissolution d’un milieu poreux. Les résultats expliquent les rôles des nombres
adimensionnels dans les transitions entre les différents régimes de dissolution et
permettent de prédire ces transitions. Nous utilisons ensuite des simulations
d’acidification de carottes pour étudier la densité de wormholes, les mécanismes de la
compétition entre wormholes ainsi que l’effet du confinement des carottes sur les
figures de dissolution dans des géométries 2D et 3D, cartésiennes et radiales. Dans une
dernière partie nous proposons une modélisation à grande échelle de la dissolution
basée sur une approche double milieux. Ce modèle est présenté avec un exemple de
simulation de traitement acide d’un puits. Enfin, ce simulateur est inclus dans une
boucle d’inversion permettant d’optimiser les paramètres du traitement en fonction de
la production d’huile du puits.




Abstract:
Matrix acidizing of a well in a carbonate reservoir improves its productivity, especially
when the well is damaged. This stimulation technique relies on an unstable process
which creates, under specific conditions, empty channels called “wormholes”. The
objective of the operator is to use this instability to reconnect the well to the reservoir
while minimizing the duration of the treatment and the volume of acid injected. The
aim of the present thesis is to improve the understanding of the mechanisms of
instability and to optimize the acid treatment. In the first part we present a series of
linear stability analysis of the dissolution front in a porous media. Results explain the
role of dimensionless numbers in transitions between the different dissolution regimes
and serve to predict these transitions. We also use simulations of core acidizing to study
the wormhole density, the mechanism of wormhole competition and the effect of
confinement induced by the core boundaries on dissolution patterns in 2D and 3D, in
linear and radial geometries. Then, in the second part, we propose a large scale model
to simulate full acid treatments, based on a dual porosity approach. An example of
simulation of a full acid treatment illustrates the model. Finally, we link this acidizing
simulator to a reservoir simulator and an inversion software in order to optimise the
treatment parameters, as a function of the oil production.


Table des matières .


Table des matières


Chapitre 1 : Introduction____________________________________________ 12
1. Présentation du problème ________________________________________________ 12
2. Généralités sur la stimulation acide des puits carbonatés ________________________ 16
2.1. Les roches carbonatées______________________________________________ 16
2.2. L’endommagement ________________________________________________ 17
2.3. Le « skin » _______________________________________________________ 18
2.4. Les différents acides ________________________________________________ 20
2.5. Les techniques d’acidification ________________________________________ 21
2.6. Emplacement du traitement et méthode de déviation_______________________ 22
3. Etude bibliographique sur l’acidification ____________________________________ 23
3.1. Études expérimentales ______________________________________________ 23
3.2. Modélisation______________________________________________________ 27
Etude de la dissolution des roches carbonatées à l’échelle de la carotte ____ 35
Chapitre 2 : Etude de la stabilité du front de dissolution d’un milieu poreux _ 36
1. Introduction __________________________________________________________ 36
2. Description de la stabilité d’un front de dissolution ____________________________ 37
3. Bibliographie sur l’étude de stabilité linéaire d’un front de dissolution dans un milieu
poreux_______________________________________________________________________ 40
4. Stabilité d’un front de dissolution compacte__________________________________ 41
4.1. Calcul de l’état de base autonome _____________________________________ 43
4.2. Perturbation du front de dissolution compacte ____________________________ 44
4.3. Résultats _________________________________________________________ 48
5. Influence de l’épaisseur du front de dissolution _______________________________ 53
5.1. Calcul de l’état de base autonome _____________________________________ 54
5.2. Introduction d’une perturbation _______________________________________ 56
5.3. Résultats _________________________________________________________ 57
6. Influence de la croissance de l’épaisseur du front sur la croissance de l’instabilité ____ 61
6.1. Calcul de l’état de base non autonome __________________________________ 62
6.2. Introduction d’une perturbation _______________________________________ 63
6.3. Résultats _________________________________________________________ 64
-8-
Table des matières
7. Critère de transition entre les différents régimes de dissolution ___________________ 66
7.1. Transition entre le régime compact et le régime de wormholing ______________ 66
7.2. Transition du régime de wormholes dominants vers le régime de wormholes
ramifiés ___________________________________________________________________ 67
7.3. Transition entre le régime de wormholes ramifiés et le régime de dissolution
uniforme. __________________________________________________________________ 69
7.4. Influence des nombres de Péclet et de Damköhler sur la transition entre les différents
régimes de dissolutions _______________________________________________________ 70
8. Conclusions __________________________________________________________ 71
Chapitre 3 : Mécanismes de la compétition entre wormholes ______________ 73
1. Modèle physique et numérique____________________________________________ 73
2. Densité de wormholes __________________________________________________ 76
2.1. Effet du transport diffusif ____________________________________________ 79
2.2. Les effets hydrodynamiques__________________________________________ 83
3. Conclusion ___________________________________________________________ 84
Chapitre 4 : Transition de l’échelle de la carotte à l’échelle de la section : effets
de confinement. _________________________________________________________ 86
1. L’effet de confinement sur les expériences antérieures _________________________ 86
2. Effet de confinement et dynamique du wormholing ___________________________ 89
3. Effet de confinement et figures de dissolution ________________________________ 92
4. Effet de confinement et conditions optimales d’injection________________________ 95
5. Mise à l’échelle du laboratoire au puits _____________________________________ 98
6. Nombre de Damköhler optimal __________________________________________ 100
7. Le wormholing dans des géométries 3D ___________________________________ 103
8. Dissolution en géométrie radiale _________________________________________ 108
Modélisation de la dissolution à l’échelle de la section et optimisation de la
stimulation acide à l’échelle du réservoir ________________________________ 114
Chapitre 5 : Modélisation de la dissolution à l’échelle de la section_________ 115
1. Modélisation double milieux à l’échelle de la section _________________________ 115
2. Prise de moyenne volumique des équations à l’échelle de la carotte ______________ 119
3. Relations perméabilité-porosité __________________________________________ 123
4. Terme d’échange entre les deux milieux ___________________________________ 127
5. Fonction de flux fractionnaire____________________________________________ 132
6. Terme de dissolution __________________________________________________ 134
6.1. Modèle linéarisé __________________________________________________ 135
-9-
Table des matières .


6.2. Modèle de bilan de flux d’acide ______________________________________ 135
7. Détermination des paramètres ___________________________________________ 142
Chapitre 6 : Simulation et optimisation de la stimulation acide____________ 148
1. Application du modèle à l’échelle de la section à un cas synthétique______________ 148
1.1. Puits producteur n°1 du réservoir PUNQ _______________________________ 148
1.2. Simulation de l’injection d’acide dans le puits producteur n°1_______________ 150
2. Optimisation de la stimulation acide_______________________________________ 155
3. Conclusion __________________________________________________________ 160
Chapitre 7 : Conclusion ____________________________________________ 161
Nomenclature, Annexes et Bibliographie ___________________________ 164
Nomenclature ____________________________________________________ 165
Annexe A : Stabilité d’un front de dissolution compacte _________________ 170
1. Cas stationnaire_______________________________________________________ 171
1.1. Calcul de la pression et de la concentration en régime stationnaire ___________ 172
2. Introduction d’une perturbation __________________________________________ 173
2.1. Perturbation du champ de pression____________________________________ 174
2.2. Perturbation du champ de concentration _______________________________ 175
2.3. Condition limite à l’interface ________________________________________ 178
Annexe B : Etude de stabilité linéaire considérant un état de base autonome et le
couplage entre la porosité et la concentration ________________________________ 181
1. Etude de l’état de base autonome _________________________________________ 182
2. Introduction d’une perturbation __________________________________________ 183
Annexe C : Etude de stabilité linéaire considérant un état de base non autonome
et le couplage entre la porosité et la concentration ____________________________ 190
1. Etude de l’état de base non autonome______________________________________ 191
2. Perturbation de l’état de base ____________________________________________ 194
Annexe D : Influence des hétérogénéités à l’échelle de la section___________ 201
3. Injections linéaires ____________________________________________________ 201
4. Injections radiales _____________________________________________________ 204
Annexe E : Discrétisation du modèle double milieux sur un maillage 3D radial
______________________________________________________________________ 207
1. Système d'équation du modèle à grande échelle______________________________ 207
2. Maillage 3D radial ____________________________________________________ 209
-10-

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