Université Aix Marseille 1 Master 2 de mathématiques Equations ...

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  • corrigé d'exercice
Université Aix Marseille Master 2 de mathématiques Equations aux dérivées partielles Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin 8 février 2012
  • irn par ω avec ω ouvert
  • lien avec la trace classique
  • c∞c
  • espace réflexif
  • structure d'espace vectoriel
  • diu ∈
  • e′
  • dérivées
  • ir
  • théorèmes
  • théorème
Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Université Aix Marseille
Master 2 de mathématiques
Equations aux dérivées partielles
Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin
8 février 2012Table des matières
1 Espaces de Sobolev 4
1.1 Dérivées faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Définition, Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Rappels d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Théorèmes de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 de trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Théorèmes de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Suggestions pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Corrigés d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Problèmes elliptiques linéaires 27
2.1 Formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Le Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Corrigés d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Problèmes elliptiques non linéaires 65
3.1 Méthodes de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Degré topologique et théorème de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Existence avec le théorème de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.3 avec le degré topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Méthodes de monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2 Opérateur de Leray-Lions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Corrigés d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1TABLEDESMATIÈRES TABLEDESMATIÈRES
4 Problèmes paraboliques 107
4.1 Aperçu des méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Intégration à valeur vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Existence Par Faedo-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4 problèmes paraboliques non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Compacité en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.7 Corrigés d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Problèmes hyperboliques 156
5.1 Le cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Bibliography
EDP, Télé-enseignement, M2 2Introduction
Ce cours décrit quelques outils pour l’étude des équations aux dérivées partielles (EDP). Ces outils sont utili-
sés pour obtenir des résultats d’existence (et souvent d’unicité) pour quelques exemples de problèmes d’EDP de
natures diverses (elliptique, parabolique ou hyperbolique) linéaires ou non linéaires.
3Chapitre 1
Espaces de Sobolev
1Les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels (c’est-à-dire constitués de fonctions) dont les puissances et
les dérivées (au sens de la transposition, ou au sens faible, que nous allons préciser) sont intégrables. Tout comme
les espaces de Lebesgue, ces espaces sont des des espaces de Banach (espaces vectoriels normés complets). Le fait
qu’ils soient complets est trés important pour l’étude des équations aux dérivées partielles.
1.1 Dérivées faibles
2La notion de dérivée faible apparaît déjà dans l’article de Jean Leray sur les équations de Navier-Stokes. Dans cet
article, publié en 1934, cette notion s’appelle “quasi-dérivée" ([6] page 205). Cette notion est fondamentale pour
l’étude de l’existence des solutions des équations aux dérivées partielles elliptiques.
N 1Dans toute la suite,
désigne un ouvert de IR ,N 1, et on noteC ( ) l’ensemble des fonctions de classec
1C et à support compact sur
c’est-à-dire
1 1 c
C (( ) = fu2C ( ); 9K
; K compact ;u = 0 surKg:c
1Le lemme suivant est fondamental, car il permet de confondre f 2 L ( ) avec l’application linéaire T deflocR
1C ( ) dans IR définie parT (’) = f(x)’(x) dx.fc

1On rappelle quef 2 L ( ) si, pour tout sous–ensemble compactK de
, la restrictionfj def àK est unKloc
1élément deL (K).
N 1Lemme 1.1 Soit
un ouvert de IR ,N 1, et soientf etg2L ( ) . Alors :loc
Z Z
18’2C ( ) ; f(x)’(x) dx = g(x)’(x) dx () [f =g p.p.]:c

La démonstration de ce lemme se fait par régularisation (on se ramène à des fonctions continues).
1 1On noteD ( ) l’ensemble des formes linéaires surC ( ) : on dit queD ( ) est le dual algébrique deC ( ) .c c
1SiT2D ( ) et’2C ( ) , le réelT (’) s’appelle l’"action deT sur’" et sera notéhT;’i 1 .D ( ) ;C ( )c c
1Le lemme précédent nous permet de définir la dérivée par transposition d’une fonctionL de la manière suivante :loc
1. Sergueé Lvovitch Sobolev, (6 octobre 1908-3 janvier 1989) est un mathématicien et physicien atomique russe de l’époque soviétique.
2. Jean Leray, 1906 -1998, est un mathématicien franéais ; il a travaillé sur les équations aux dérivées partielles et sur la topologie algébrique.
41.2. DÉFINITION,PROPRIÉTÉS CHAPITRE1. ESPACESDESOBOLEV
N 1Définition 1.2 (Dérivée par transposition) Soit
un ouvert de IR , N 1, et soit f 2 L ( ) . On appelleloc
1dérivée par transposition def par rapport à sai-ème variable la forme linéaire surC ( ) , notéeD f, définieic
par : Z
hD f;’i = f@ ’ dxi 1 iD ( ) ;C ( )c

où@ ’ désigne la dérivée partielle classique de’ par rapport à sai-ème variable. On voit donc queD f2D ( )i i
1 Noter que sif2 C ( ) , alorsD f n’est autre que@ f car on confond@ f etT (qui est l’élément deD ( )i i i @ fi
induit par@ f). Il s’agit donc bien d’une généralisation de la notion de dérivée.i
Si la forme linéaireD f peut étre confondue avec une fonction localement intégrable au sens du lemme 1.1, on diti
quef admet une dérivée faible.
?On peut aussi définirD T pourT2D ( ) par la formulei
hD T;’i ? 1 = h T;@ ’i ? 1 ;i iD ( ) ;C ( ) D ( ) ;C ( )c c
1pour tout’2C ( ) .c
La notion de dérivée au sens des distributions est un peu plus délicate à définir car elle demande la définition d’une
1topologie surC ( ) . Nous n’en aurons pas besoin dans le cadre de ce cours.c
3Voici un exemple de dérivée par transposition. La fonction de Heaviside , définie par H(x) = 1 si x 0 et
H(x) = 0 sinon, est localement intégarble. Elle admet donc une dérivée par transposition. Pour calculer cette
1dérivée, notéeDH, on remarque, pour’2C (IR), on a :c
Z Z +1
0 0H(x)’ (x) dx = ’ (x) dx =’(0)
IR 0
et donc DH est la forme linéaire qui à ’ associe sa valeur en 0, qu’on appelle aussi “mesure de Dirac en 0" :
DH = . Par contre, cette dérivée n’est pas une dérivée faible, car ne peut pas étre assimilée à une fonction de0 0 R
1 1 1L , au sens où il n’existe pas de fonctiong2L (IR) telle que (’) = g’ dx pour tout’2C (IR) (voir0 cloc loc IR
exercice 1.1).
1 ?La définition 1.2 permet de définir des dérivées par transposition d’une fonctionL (ou d’un élément deD ( ) )loc
1 ?à tous les ordres. Par l’identification d’une fonction L avec l’élément deD ( ) qu’elle représente, on peutloc
N
aussi définir la notion de dérivée faible à tous les ordres. Plus précisément, pour = ( ;::: )2 IN , et1 N
N N1 1 N 1u2L (IR ), on définit la dérivée faibleD :::D u2L (IR ), si elle existe, parloc 1 N loc
Z Z
jj 1 N1 N 1 ND :::D u(x)’(x) dx = ( 1) u(x)@ :::@ ’(x) dx;8’2C (IR );c1 N 1 N
N NIR IR
ioùjj = +::: + et@ ’ désigne la dérivée partielle (classique) d’ordre par rapport à lai-ème variable.1 N ii
1.2 Définition, Propriétés
NDéfinition 1.3 Soit
un ouvert de IR ,N 1. On définit les espaces de Sobolev suivants :
1 2 21. H ( ) = fu2L ( ) t.q.D u2L ( ) ; pour touti = 1;:::;Ng.i
2Dans cette définition, lorsqu’on ditD u2L ( ) , on sous-entendi
3. Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte.
EDP, Télé-enseignement, M2 51.2. DÉFINITION,PROPRIÉTÉS CHAPITRE1. ESPACESDESOBOLEV
Z
2 1“il existe une fonctiong2L ( ) telle quehD f;’i = g’ dx pour tout’2C ( ) :” 1i D ( ) ;C ( ) cc

Nm 2 22. Pourm2 IN,H ( ) = fu2L ( ) t.q.D u2L ( ) pour tout2 IN t.q.jjmg.
m;p3. Pour 16p61 etm2 IN, on définit l’espace de SobolevW ( ) par
m;p p p N
W ( ) = fu2L ( ); D u2L ( ) pour tout2 IN t.q.jjm:g
m;p pNoter que pourm = 0, l’espaceW ( ) est l’espace de LebesgueL ( ) .
mProposition 1.4 (Structure d’espace vectoriel) Les espaces H ( ) sont des espaces de Hilbert lorqu’on les
munit du produit scalaire X
(u=v) m = (D u=D v) 2;H L
jj m
Z
2où (=) 2 désigne le produit scalaire dansL ( ) i.e. (u=v) 2 = uv dx.L L

m;2 mNoter queW ( ) = H ( ) .
m;pUne norme naturelle surW ( ) est définie par :
8 !1=p
> P> p< kD uk ; si 16p< +1;pL
kuk m;p = 06jj6mW
> : max kD uk 1; sip = +1;L
06jj6m
poùk:k p désigne la norme dansL ( ) .L
m;pMuni de cette normeW ( ) est un espace de Banach (c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet).
On peut montrer que la norme :
8 P

p> kD uk ; 16p< +1;L<
06jj6m
kuk = Pm;p > 1kD uk ; p = +1:L:
06jj6m
m;pest une norme équivalente à la précédente. L’espace W ( ) a donc les mêmes propriétés quelle que soit la
norme utilisée. Ces normes sont notées indifféremmentk:k ouk:k m;pm;p W
Remarque 1.5 (Espaces de Sobolev et continuité) En dimension 1 d’espace (N = 1), avec a;b2 IR, a < b,
1;p1 p +1, tout élément de W (]a;b[) (qui est donc une classe de fonctions) peut étre assimilé à une
fonction continue, au sens où il existe un représentant de la classe qui est continu (voir à ce propos l’exercice 1.3,
1;pce représentant continu est unique). Ceci tient au fait qu’en dimension 1, toute “fonction" de W (]a;b[) peut
s’écrire comme l’intégrale de sa dérivée.
Z x
1;p pu2W (]a;b[)() 9u~2C([a;b]) etv2L (]a;b[);u =u~ p.p. etu~(x) =u~(a) + v(s)ds :
a
1En dimension strictement supérieure à 1, ceci est faux. En particulierH ( ) 6 C( ) , comme le prouve l’exemple
t 2 1suivant : soit
= fx = (x ;x ) 2 IR ;jxj < ; i = 1; 2g, et u la fonction définie sur
par u(x) =1 2 i 2
1 1( ln(jxj)) , avec 2]0; 1=2[. Alors u2 H ( ) mais u62 L ( ) (voir exercice 1.5), et donc en particulier,
u62C( ) :
EDP, Télé-enseignement, M2 66
6
1.3. RAPPELSD’ANALYSE CHAPITRE1. ESPACESDESOBOLEV
N m;pProposition 1.6 (Séparabilité) Soit
un ouvert de IR (N 1),m2 IN et 1p< +1. L’espaceW ( )
est un espace séparable (c’est-à-dire un espace vectoriel normé qui contient une partie dénombrable dense).
Preuve Voir exercice 1.8.
La notion de séparabilité est importante, car elle permet d’approcher aussi près que l’on veut n’importe quel
élément de l’espace par un élément d’une famille dénombrable : dans le cadre d’un espace de Hilbert, on peut
montrer que cette propriété est équivalente à l’existence d’une base hilbertienne (voir, par exemple, [3]) .
m;pLes espaces de Sobolev W sont réflexifs si p = 1 et p = +1. On commence par rappeler ci-dessous la
définition d’un espace réflexif.
0Définition 1.7 (Espace réflexif) SoitE un espace vectoriel normé réel. On noteE son dual topologique, c’est-
0à-dire l’ensemble des formes linéaires continues deE dans IR muni de sa norme naturelle (E est un espace de
0 0Banach). Pour toutx2E, on définit l’applicationJ deE dans IR parJ (T ) =T (x) pour toutT2E . On ax x
0jJ (T )j =jT (x)jkTk kxkx E E
0 00 00et doncJ est une forme linéaire continue surE , ce qu’on noteJ 2E oùE est le bidual deE, c’est-à-dire lex x
0dual topologique deE . On peut montrer par le théorème de de Hahn-Banach, quekJ k 00 =kxk :x E E
00L’applicationJ, définie deE dansE parJ(x) =J pour toutx2E, est donc une isométrie linéaire deE surx
00son image, notée Im(J), et on a évidemment Im(J)E .
00On dit queE est un espace réflexif si Im(J) =E , ce qui revient à dire queJ est surjective.
Notons que tout espace réflexifE est forcément complet puisque le dual d’un espace vectoriel normé quelconque
est toujours complet.
N
Proposition 1.8 (Réflexivité) Soit
un ouvert de IR , N 1, et m 2 N. Pour tout p 2]1; +1[, l’espace
m;pW ( ) est un espace réflexif.
Preuve Voir exercice 1.9.
1.3 Rappels d’analyse fonctionnelle
Un théorème fondamental :
Théorème 1.9 (Hahn Banach) SoitE un espace vectoriel sur IR etp une fonction convexe définie surE et qui
ne prend que des valeurs finies. SoitF un sous-espace vectoriel deE, etT une forme linéaire surF qui vérifie
T (x) p(x) pour toutx2 F . Il existe alors un prolongement deT en une forme linéaire sur l’espaceE tout
entier, vérifiant encore la condition :T (x)p(x) pour toutx2E.
et surtout son corollaire :
Corollaire 1.10 SoitE un espace normé,F un sous-espace deE etT une forme linéaire continue surF . On peut
alors prolongerT en une application continue définie surE, de même norme queT .
Théorème 1.11 (CNS sur la dimension) Un espace de Banach E est de dimension finie si et seulement si sa
boule unité fermée est compacte.
Définition 1.12 (Convergence faible et faible *) SoitE un espace de Banach
1. Convergence faible Soient (u ) E etu2E. On dit queu !u faiblement dansE lorsquen!1n n2IN n
0siT (u )!T (u) pour toutT2E .n
EDP, Télé-enseignement, M2 71.4. THÉORÈMESDEDENSITÉ CHAPITRE1. ESPACESDESOBOLEV
0 0 02. Convergence faible * Soient (T ) E etu2 E . On dit queT ! T dansE faible * siT (x)!n n2IN n n
T (x) pour toutx2E.
Théorème 1.13 (Compacité faible * des bornés du dual d’un espace séparable) Soit E un espace de Banach
0séparable, et soit (T ) une suite bornée deE (c’est-à-dire telle qu’il existeC2 IR t.q. (kT k 0C pourn n2IN + n E
0 0toutn2 IN). Alors il existe une sous-suite, encore notée (T ) , etT2E telle queT !T dansE faible *.n n2IN n
NUne application importante de ce théorème est la suivante : si
est un ouvert de IR et (u ) est une suiten n2INR
1 1bornée de L ( ) , alors il existe une sous-suite encore notée (u ) et u2 L ( ) tels que u ’ dx!n n2IN n
R
1 1u’ dx pour tout’2 L ( ) . Cerci découle du fait qu’il existe une isométrie naturelle entreL ( ) et le dual

1 1deL ( ) et queL ( ) est séparable.
Théorème 1.14 (Compacité faible des bornés d’un espace réflexif) SoitE un espace de Banach réflexif, et soit
(u ) une suite bornée deE (c’est-à-dire telle qu’il existeC2 IR t.q. (ku k C pour toutn2 IN). Alorsn n2IN + n E
il existe une sous-suite, encore notée (u ) , etu2E telle queu !u dansE faiblement.n n2IN n
Noter qu’un espace de Hilbert est toujours un espace de Banach réflexif.
1.4 Théorèmes de densité
N
Définition 1.15 (Frontière lipschitzienne) Un ouvert borné
de IR est dit à frontière lipschitzienne s’il existe
N
des ouverts ( ;
;:::;
) de IR et des applications ( ; ;:::; ) telles que :0 1 n 0 1 n
Sn
1.

et

.i 0i=0
N 1
2. :
!B =fx2 IR t.q.jjxjj< 1g est bijective et et sont lipschitziennes,0 0 1;N 0 0
1 N3. Pour touti 1 , :
!B est bijective et et sont lipschitziennes, et ( \ ) = B \IR eti i 1;N i i i 1;Ni +
N 1 ( \@ ) = B \f(0;y);y2 IR g.i i 1;N
Théorème 1.16 Soit
est un ouvert borné à frontière lipschitzienne et 1p +1 alors :
N1 1 1;p1. Sip< +1, l’ensembleC ( ) des restrictions à
des fonctionsC (IR ) est dense dansW ( ) .c
1;p 1;p N2. Il existe une application linéaire continueP :W ( ) !W (IR ) telle que
1;p8u2W ( ) ;P (u) =u p.p. dans
:
m;p 1;pDes résultats analogues sont vrais avecW ( ) (m> 1) au lieu deW ( ) mais demandent plus de régularité
sur
(voir [1]). La démonstration se fait par troncature et régularisation. Un cas particulier fait l’objet de l’exercice
1.15.
N N1 m;pOn peut montrer aussi queC (IR ) est dense dansW (IR ) siN 1,m2N et 1p< +1. Mais, cecic
N
est faux si on remplace IR par
avec
ouvert borné etm> 0. Par exemple, si
est un ouvert borné, l’espace
1 1 1 1C ( ) n’est pas dense dansH ( ) . Son adhérence est un sous espace strict deH ( ) , qu’on noteH ( ) .c 0
N1Définition 1.17 (EspaceH ( ) ) Soit
un ouvert de IR ,N 1.0
1H ( )1 1 1 1 11. On appelleH ( ) l’adhérence deC ( ) dansH ( ) , ce qu’on note aussi :H ( ) = C ( ) .0 c 0 c
m;p m;p2. Pour m > 0 et 1 p < +1, on définit le sous espace W ( ) de W ( ) comme l’adhérence de0
1 m;pC ( ) dansW ( ) :c
m;pW ( )m;p 1W ( ) = C ( ) :0 c
N 1 1Comme cela a été dit précédemment, si
= IR on aH ( ) = H ( ) alors que l’inclusion est stricte si
est0
un ouvert borné.
EDP, Télé-enseignement, M2 81.5. THÉORÈMESDETRACE CHAPITRE1. ESPACESDESOBOLEV
1.5 Théorèmes de trace
N N N 1Théorème 1.18 (Trace) Soit
= IR =f(x;y)2 IR ;x2 IR;x > 0 ety2 IR g: Pour toutp tel que+
N 11;p p1 p < +1, il existe une application linéaire continue deW ( ) dansL (IR ) telle queu = u(0;)
NN 1 1p.p sur IR (au sens de la mesure de LebesgueN 1 dimensionnelle) siu2C (IR ):c +
N
Remarque 1.19 (Lien avec la trace classique.) On suppose que
= IR . Alors :+
11. Siu2H ( ) \C( ) , on a alorsu =u p.p sur@
(au sens de la mesure de LebesgueN 1 dimension-
nelle).
1;p N2. Ker =W (IR ).0 +
Voir à ce propos l’exercice 1.14.
Théorème 1.20 Soit
un ouvert borné à frontière lipschitzienne et 1p< +1. Alors, il existe une application
1;p p définie deW ( ) dansL (@ ) et tel que
1;pu =u p.p. sur@
siu2W ( ) \C( ) :
Ici encore, p.p. est à prendre au sens de la mesure de LebesgueN 1 dimensionnelle sur@
.
1;pDe plus Ker =W ( ) .0
1;pRemarquons que sip >N, on peut montrer (voir théorème 1.24) queW ( ) C( ) etu est alors la valeur
deu au bord au sens classique.
Le théorème suivant généralise la propriété d’intégration par parties des fonctions régulières.
Théorème 1.21 (Intégration par parties)
N Nt Si
= IR (=fx = (x ;:::;x ) 2 IR ;x 0g), alors1 N 1+
Z Z8
1 2><Si 2iN; uD v dx = D uv dx;8(u;v)2 (H ( )) ;i i
Z
Z
Z
> 1 2:Sii = 1; uD v dx = D uv dx + u(y)v(y) d(y);8(u;v)2 (H ( )) ;1 1


@

si
est un ouvert borné à frontière lipschitzienne, alors, pour touti = 1;:::;N,
Z Z Z
1 2uD v dx = D uv dx + u(y)v(y)n (y) d(y);8(u;v)2 (H ( )) ;i i i


@

oùu désigne la trace deu sur la frontière@
et d(y) désigne l’intégration par rapport à la mesure adéquate
sur @
(c’est-à-dire la mesure de Hausdorff sur @
qu’on peut voir comme une mesure de Lebesque (N 1)
tdimensionnelle), etn = (n ;:::;n ) est la normale à@
extérieure à
.1 N
1.6 Théorèmes de compacité
Les théorèmes suivants sont une conséquence du théorème de Kolmogorov (voir [3, Théorème 8.5]).
EDP, Télé-enseignement, M2 9

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