Universite Claude Bernard Lyon Annee UE Math2 Analyse L1 Fiche

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite Claude Bernard (Lyon 1) Annee 2006-2007 UE Math2 Analyse L1 Fiche 1 Calcul vectoriel et matriciel *Exercice 1 On considere l'espace a trois dimensions muni d'un repere orthonorme (O,~i,~j,~k) et les trois vecteurs ~u =~i+ 2~j + 3~k ~v = 4~i + 5~j + 6~k ~w = 7~i + 8~j + 9~k. Calculer ~u ? ~v, ~v ? ~u, ~u.~v, ~u.(~u ? ~v), ?~u?, ?~u + ~v?, (~u ? ~v) ? ~w, ~u ? (~v ? ~w). *Exercice 2 L'espace a trois dimensions R3 est muni d'un repere orthonorme (O,~i,~j,~k). On donne les vecteurs ~u = (1/2)~i + ( √ 3/2)~k ~v = ( √ 3/2)~i ? (1/2)~k ~w = ?~j. 1. Montrer que (~u,~v, ~w) est une base de l'espace.

  • angle ? entre les vecteurs

  • calcul composante par composante

  • p2 ?

  • passant par p0

  • ?sin ?


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Universit´eClaudeBernard(Lyon1) UE Math2 Analyse L1
Calcul vectoriel et matriciel
Annee 2006-2007 ´ Fiche 1
*Exercice 1 Onconside`relespacea`troisdimensionsmunidunrep`ereorthonorme´( O~ij~~k ) et les trois vecteurs ~ ~ ~ ~u = i + 2 j + 3 k ~ ~ ~ v~ = 4 i + 5 j + 6 k ~ ~ ~ w~ = 7 i + 8 j + 9 k Calculer ~u ~ ~ u~~u~v~u( ~u v~ ) k u~ k k ~u + v~ k ( ~u ~v ) ~w~u ( ~v w~ ) v v *Exercice 2 Lespace`atroisdimensions R 3 estmunidunrepe`reorthonorme´( O~ij~~k ). On donne les vecteurs ~ u = (1 2) ~i + ( 3 2) k ~ ~ v~ = ( 3 2) ~i (1 2) k ~ ~w = j 1. Montrer que ( u~~vw~ ) est une base de l’espace. 2. Calculer les normes de ~u~v et ~w , puis les produits scalaires ~uv~~uw~v~~w . *Exercice 3 Dans R 3 ,onconsid`erelesvecteurs v 1 = (1 2 0) et v 2 = ( 6 0 2). – Montrer que { v 1  v 2 } est libre. – Trouver v 3 R tel que B = { v 1  v 2  v 3 } est libre. – Montrer que B est une base de R 3 . Exercice 4 Lespacea`troisdimensions R 3 estmunidunrepe`reorthonorme´( O~ij~~k ). Etablir lidentit´e: u~ ( v w ) = ( ~u~w ) ~v ( ~uv~ ) w~~ ~ Indication : effectuer un calcul composante par composante. *Exercice 5 Soient A et B deux points de R 2 . mble des points M R 2 t s que ~ ~ 1.D´eterminerlenseel AM AB = 0. ~ 2.D´eterminerlensembledespoints M R 2 tels que AMB~M = 0. (Indication : introduire le point I milieu de [ AB ].) 3.Repr´esentercesdeuxensemblessurundessin. 4.Conside´rerlemeˆmesquestionsdans R 3 *Exercice 6 Soient A et B deux points de R 3 . 1.D´eterminerlensembledespoints M R 3 tels que A~M A~B = ~ 0. e des poin 3 ~ ~ ~ 2.De´terminerlensemblts M R tels que AM BM = 0. ~ ~ *Exercice 7 Soient U et V deuxvecteursdelespace`atroisdimensions. 1.Etablirlidentite´ k U~ + V~ k 2 + k ~V~ k 2 = 2( k ~U k 2 + k V~ k 2 ) U ~ ~ 2. Montrer que pour que U et V soient orthogonaux, il faut et il suffit que ~ ~ 2 ~ k U + V k = k U~ k 2 + k V k 2
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*Exercice 8 Trouver l’angle θ entrelesvecteursjoignant(dansunrep`ereorthonorm´e)lorigineaux points P 1 (1 2 3) et P 2 (2 3 1). *Exercice 9 Onconside`redansunrepe`reorthonorme´lestroispoints P 1 (1 1 1), P 2 (1 2 3) et ~ ~ P 3 (0 0 2).Calculerlevolumeduparalle´lepipe`deengendr´eparlestroisvecteurs u~ = OP 1 , ~v = OP 2 ´ ~ et w~ = OP 3 . ~ ~ ~ *Exercice 10 Ecrireles´equationsdeladroitepassantpar P 0 (1 2 3)etparalle`lea` ~a = 2 i j 4 k . Soient A (3 1 1) et B (1 2 9 4 4).Lequeldecespointsestsitue´surladroite? *Exercice 11 Soient P 0 et P 1 deux points de l’espace R n . Montrer qu’un point P appartient au segment P 0 P 1 si et seulement si il existe t [0 1] tel que : O P = ( t O P 0 + tO −− P 1 . 1 ) Trouver une expression pour l’ensemble des points appartenant au segment de R 2 entre P 0 (1 2) et P 1 (3 5). *Exercice 12 Soit P 0 (1 2 3).Ecrirele´quationduplan ~ ~ ~ 1. passant par P 0 etorthogonala` ~u = 4 i + 5 j + 6 k . 2. passant par P 0 etparall`ele`a3 x 2 y + 4 z 5 = 0 3. passant par P 0 , P 1 (3 2 1) et P 2 (5 0 4). Exercice 13 Mo ~ ~~b Trouv ntrer que le module de la projection de b sur ~a este´gale`a a |a | . er la plus courte distance d s´eparantlepoint P 0 (1 2 3)etleplande´quation3 x 2 y + 5 z 10 = 0 *Exercice 14 Onconside`relesmatricessuivantes: A = 1 2 3  B = 12  C = 213210  D = 5205  E = 0112153 4 0 – Quels sont les produits matriciels possibles ? En calculer au moins cinq. – Parmi les matrices A B C D E et leurs produits, lesquelles sont ´ et lesquelles sont carrees syme´triques? *Exercice 15 D´eterminersilesmatricessuivantessontinversibles,etcalculerlinverselorsquil existe. A = 100210 123  B = 121 221031  C = 021073 15 9
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Universit´eClaudeBernard(Lyon1) UE Math2 Analyse L1
Fonctions de plusieurs variables
1 Lignes de niveau et fonctions partielles
Ann´ee2006-2007 Fiche 2
*Exercice 16 Soit k R ; et f unefonctiondedeuxvariables,d´eniesurunensemble D f R 2 . On rappelle que l’ensemble { ( x y ) ∈ D f ; tel que f ( x y ) = k } est la ligne de niveau k de la fonction f . 1. Trouver les lignes de niveaux 0, 1, 1, 2 et 3 de la fonction fonction f ( x y ) = x 2 + y 2 et les repr´esentergraphiquement.Meˆmequestionavec f ( x y ) = x 2 + y 2 et f ( x y ) 2 y . = x 2. Pour la fonction f ( x y ) = x y −| x y | tracer les lignes de niveau pour k R traiterse´pare´ment les cas k = 0 et k > 0 et k < 0. *Exercice 17 Soit F une fonction de D R 2 dans R et A = ( a b )unpointint´erieurde D Les fonctions : x 7→ f ( x b ) et y 7→ f ( a y ) de´niessurunintervalleouvertcontenantrespectivement a et b sontappel´eeslesfonctionspartielles associ´ees`a f au point A Trouver les fonctions partielles aux points (0 0) et (1 2) de g 1 ( x y ) = p x 2 + y 2  g 2 = xy et de g 3 ( x y ) = x 2 y 1
2 Limites de fonctions de deux variables
xy y 2 *Exercice 18 Soit f lafonctionde´niepar f ( x y ) = 2 x 2 + y 2 Etudier la limite pour ( x y ) (0 0) de la restriction de f auxdroitesd´equation y = mx , avec m R .Ende´duireque f n’a pas de limite a`lorigine. Exercice 19 Soit f lafonctiond´eniepar f ( x y ) = x 4 2 xx 22 yy + 3 y 2 si ( x y ) 6 = 0 0 si ( x y ) = 0 1. Etudier la limite pour ( x y ) (0 0) de la restriction de f auxdroitesde´quation y = mx , m R donne. ´ 2.Calculerlalimitea`loriginedelarestrictionde f a`laparaboledequation y = x 2 3. Montrer que f napasdelimitea`lorigine. Exercice 20 Pourunefonctiondedeuxvariablesonconsid`eretroistypesdelimites: ( A ) ( xy l ) i m ( ab ) f ( x y ); ( B ) l x i m a (lim b f ( x y )); ( C ) l y i m b ( l x i m a f ( x y )) y Onconsid`erelesfonctionssuivantes: f 1 ( x y ) = xx 22 + yy 22  f 2 ( x y ) = x 2 x + yy 2  f 3 ( x y ) = si y n xf 4 ( x y ) = sin xyD´emontrerquen(0 0)
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Deuxdecestroislimitespeuventexistersansquelatroisie`meexiste. – Une de ces trois limites peut exister sans les deux autres existent. (B)et(C)peuventexistersanseˆtree´gales. Si(A)et(B)existentalorsellessont´egales. *Exercice 21 E´tudierlalimite`aloriginedelafonctionde´niepar f ( x y ) = sin( xy ) xy Exercice 22 Calculer, si elles existent, les limites des fonctions suivantes pour ( x y ) (0 0) et ( x y )appartenant`alensembledede´nition: f ( x y ) = | x || + xy || y |  f ( x y ) = x 2 x 2 + yy 2  f ( x y ) = x 2 + yx 21 3 + y | 2 x y | f ( x y ) = cos x ( 2 x + y ) y 2 1  f ( x y ) = y ln( yx 2 x 2 )  f ( x y ) = x y 2.1Utilisationdescoordonne´espolaires RAPPEL Soit g : R + × [0 2 π [ R . Supposons que ´ lim 0 + g ( ρ θ ) = ` (independante de θ ) ρ On dit que la limite est uniforme en θ si : il existe G : R + R telle que ( | li g (m ρ ρ θ 0 ) + G` ( | ρ ) = G (0 ρ) ρ > 0 Cette condition assure que, si f ( x y ) = g ( ρ θ ) (avec x = ρ cos θ et y = ρ sin θ ), alors lim ( xy ) (0 0) f ( x y ) = `
Exercice 23 Pour chacune des fonctions g : R + × [0 2 π [ R suivantes, calculer lim ρ 0 + g ( ρ θ ). Onprecise´rasi: ´ 1.Lalimiteestinde´pendentede θ 2. La limite est uniforme pour θ [0 2 π [ ρ ln( ρ sin( θ )) si θ ]0  π [ g ( ρ θ )=sin θρ + 3  g ( ρ θ ) = ( 0 sinon De´duiredecequipr´ece`delalimitepour( x y ) (0 0) de la fonction f ( x y )de´niepar f ( x y ) = g ( ρ θ ). *Exercice 24 Calculerleslimites`aloriginedesfonctionssuivantes,`alaidedunpassageaux coordonnees polaires. ´ x 2 3 f ( x y ) = x 2 y + 3 y 2  f ( x y ) = x 4 + x 2 yy 2 + y 4 Exercice 25 Calculer les limites pour ( x y ) → ∞ des fonctions suivantes 2 + y 4 f ( x y ) = xx 2 a+rc y t 2 an+ y 1  f ( x y ) = xx 4 + y 2 f ( x y ) = (1 + | x | + | y | ) sin( y 2 )  f ( x y ) = ye x + ln | y |
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