Universite Claude Bernard–Lyon I Agregation de Mathematiques Algebre geometrie Annee

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Niveau: Supérieur, Bac+8

  • cours - matière potentielle : analyse complexe sur les fonctions elliptiques

  • cours - matière potentielle : arithmetique


Universite Claude Bernard–Lyon I Agregation de Mathematiques : Algebre & geometrie Annee 2005–2006 Utilisation des groupes en geometrie Reference de base : annexe 1 du rapport de la commission de reflexion sur l'enseignement des mathematiques : ups.prepas.org/maths/kahane/geometrie.pdf. I Geometries et groupes 1? Geometries Comme on l'aura compris de la lecture du rapport precedent, on peut considerer differentes geometries, caracterisees par • un ensemble X (les “points”), • un groupe G operant sur X (les “transformations admissibles”), • et, souvent, une famille D de parties de X preservee par G. Dans ce point de vue, une geometrie, c'est l'etude des proprietes preservees par un groupe de transformations “admissibles”, qui laissent invariante une “structure” : alignement, dis- tance, cocyclicite, etc. La famille de parties D, c'est une famille de parties qui se definissent naturellement a l'aide de la structure en question. Exemples : 1. Geometrie affine : X est un espace affine, G est le groupe affine, D est l'ensemble des droites ou, plus generalement, des sous-espaces affines. 2. Geometrie euclidienne : X est un espace affine euclidien, G est le groupe des isometries affines de X, D est l'ensemble des droites ou, plus generalement, des sous-espaces affines, ou alors, l'ensemble des spheres.

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Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Universit´eClaudeBernardLyonI Agr´egationdeMathe´matiques:Alge`bre&g´eom´etrie Anne´e20052006
Utilisation des groupes enge´ome´trie
R´efe´rencedebase:emtngiennees1durappoannexesimmnoisedtrocalnsiolurr´deexedesmathe´matiques:ups.prepas.org/maths/kahane/geometrie.pdf. IG´eom´etriesetgroupes 1G´eom´etries Commeonlauracomprisdelalecturedurapportpre´ce´dent,onpeutconsid´ererdie´rentes g´eome´tries,caracte´ris´eespar un ensembleX(les “points”), un groupeGruostnare´pX(les “transformations admissibles”), et, souvent, une familleDde parties deXesvrrpe´rae´peG. Danscepointdevue,unege´ome´trie,cestl´etudedesproprie´t´espre´serv´eesparungroupe de transformations “admissibles”, qui laissent invariante une “structure” : alignement, dis tance,cocyclicit´e,etc.LafamilledepartiesD,mifaedllescnetutnessinestiarep´eedisqu naturellement`alaidedelastructureenquestion. Exemples :
1.Ge´ome´trieane:Xest un espace affine,Gest le groupe affine,Dest l’ensemble des droitesou,plusge´n´eralement,dessousespacesanes.
2.Ge´ome´trieeuclidienne:Xest un espace affine euclidien,Gsoems´teltergiroupedesise affines deX,Dsous,desmentrale,saencaseepsseltesedoidrnseblem´gsue´neosetlp,u oualors,lensembledessphe`res.
3.G´eom´etrieprojective:Xest un espace projectif,Gest le groupe projectif,Dest l’ensemble des sousespaces projectifs.
1 4.Ge´om´etrieanallagmatique:X=P(CeiRennam`hpsdere)elast,Gest le groupe PGL2(C) des homographies ou le groupe modulaire PGL2(C)ohσisarler´epgend,en homographiesetlesinversions(ou`σest la conjugaison complexe),Dest la famille des cerclesdroites.
5.Ge´om´etriehyperbolique(voirVI):X=Hedemee,stlacnadr´eiPopilnG= PGL2(R) estlegroupedeshomographiesr´eelles,Dimafaltsemicercllledesdenoua`xaserohtgo laxere´el(ycomprislesdemidroitesorthogonales`alaxer´eel).
2 Reconstruction Danscequipr´ece`de,onamisene´videnceunestructuresurunensembleX(terme un peu vague),puisonaexhibe´dunepartlegroupeGne,tesvrrpe´iualonsqmatisfortransededettrau partlafamilleprivile´gi´eeDerpe´esvrrtiesquedepaG(l’image d’une partie deDest encore dansD). Or,ilarrivequeladonn´eedeXetDsut´acisererp(esqser`)euracaG. Exemples(pouvantdonnerlieu`ad´eveloppement?): 0 1.Th´eore`mefondamentaldelag´eom´etrieane:siEetEsont deux espaces affines de 0 meˆmedimension2, et siϕ:EEorsement,alleailngrpe´esvrejibenutiuqnoitcesϕ est affine.:.fe´RI.ce(l66Ex],cierA[nidus`acencef´ersr´esnelsoad´mreseuntnoservile peuteˆtreunpeufaux).
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2.The´ore`medeLiouville(r´einterpr´ete´):siPest un plan affine euclidien, siϕ:PPest 1 une bijection de classeColsrsea,nalgleseservpr´equiϕEn effet,est une similitude. lhypoth`eseexprimequeladi´erentielledeϕcseodcntereslevengsas,lenetuotniop´rpt une similitude, doncϕslanmuiuepsetdhndlaemeˆte,etre`etiivctjebihpromolonecnod,e onpeutend´eduirequeϕest affine.:Re´.f[Audin], Remarque II.3.10 et Exercice III.69.
3.Touteapplicationbijectivedelasph`eredeRiemanndansellemˆemequipr´eserve l’ensemble des cercles et des droites est dans le groupe modulaire. Ce dernier est le groupeengendr´eparleshomographiesetlaconjugaisoncomplexe:cestleproduitsemidirect PGL2(C)o Z/2Z.´Rfe:.duni,]hTA[.7VI2..1or´eme`e II Invariants 1Ide´e:Si le groupeGagitnfois transitivement surX´eidnscoesrlresrola,Gorbites de (npletsd´el´ementeds+)1uXruninvniiaardentmrepedtee´dG. Exemples :
1. Angles en dimension 2 et(sp´oupeLegr3.nolahtgo)lroceaitisimeveitagantrustnalr sphe`reunit´e,maispasdeuxfoistransitivement.Onsinte´resseauxorbitesdecouplesde vecteurs unitaires, qu’on appelle angles. Lasituationestplusinte´ressanteendimension2,carlactiondugroupespe´cialorthogonal yestsimplementtransitive:parsuite,lesorbitesdescouplesdevecteurssontparame´tre´es,modulolechoixduneoriginesurlecercle,parunpointducercle.Endimension puortroe3gel,meˆemesllteonsste,sessorgsulpsusgrstplnalehogoibetseronolcsod, ilyenamoins:ilyabeaucoupmoinsdanglesquedepointsdelasph`ereunit´e.
1 2. Birapport. Le groupe PGL2(K) agit trois fois transitivement surP(K), mais pas quatre fois;deplus,ilyaexactementunehomographiequitransportetroispointsdonne´ssur troispointsx´esa`lavance.Lebirapportdequatrepoints,cestlimageduquatrie`me point par l’homographie qui envoie les trois premiers sur (,0,umrod(elame´ehcr1).Enf 1 pastre`sconceptuelle!):sia, b, cP(K) sont distincts, l’homographie qui envoieasur ,bsur 0 etcsur 1 est : zb cb g:z7→, za ca et le birapport [a, b, c, d] vaut :g(d).
3.Birapportdequatredroitesdansunfaisceau.Onconsid`erequatredroitesd1, d2, d3, d4 dansunmeˆmefaisceau(i.e.,concourantes)etunedroitedelsrolA.etruaxqauteanecs´ birapport des points d’intersectiondid,acnsullcda´edsednepeeuqd,d´nediet pas de dVI.16 et VI.17.[Audin], Ex. . Voir
2Relationsentreinvariantsetthe´ore`mes LerapportKahanedonneplusieursexemplesdeth´eor`emesdeg´eome´triestandardquid´ecoulent soit de l’existence d’un invariant, soit de l’existence d’une relation entre invariants. Exemple : lalignementducentredegravit´e,delorthocentreetducerclecirconscritnefaitquetraduire, dansunlangageappropri´e,larelationsuivante,ou`uetvsont des vecteurs d’un plan euclidien :
2 2 2 2 hu, vi+||uv||=||u||+||v||.
Autreexemple/d´eveloppement:alofmrludesee´dalceudnoitinapirxbsiAvs.rtpo birapport,celameparaıˆtunsuperbed´eveloppementpourcettepartie.Ontrouvelaformule dessixbirapportsetdesapplicationsdans[Audin],Ex.VI.40(Applications`alage´om´etrie euclidienne).Voiraussiledocumentsurlethe´ore`medeMiquel(paspubli´e).
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