Universite Claude Bernard Lyon Preparation Agregation Interne Feuille analyse Annee

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Universite Claude Bernard Lyon 1 Preparation Agregation Interne Feuille 5 (analyse) Annee 2011-12 Series numeriques et series de fonctions. Exercice 1 (Approximation de pi) (a) Etablir que pour tout x ?]? 1, 1[, on a arctanx = +∞∑ k=0 (?1)kx2k+1 2k + 1 . (b) Montrer que la serie ∑ (?1)kx2k+1 2k+1 converge uniformement sur [0, 1]. (c) En deduire que pi 4 = +∞∑ k=0 (?1)k 2k + 1 . (d) Combien faut-il de termes pour obtenir une approximation de pi a 10?6 pres ? (e) Montrer que pi 4 = 4 arctan 1 5 ? arctan 1 239 . Indication : en posant a = arctan 1/5 et b = arctan 1/239, on pourra montrer que tan(2a) = 5/12 puis tan(4a) = tan(pi4 + b). (f) Montrer que si S = 4239 + 16 ∑4 k=0 (?1)k 52k+1(2k+1) , on a ?3? 10?8 ≤ pi ? S ≤ 10?7.

  • interne feuille

  • resultat d'equation diophantienne

  • comparer avec le resultat

  • rn ?

  • sn ?

  • serie ∑

  • posons sn


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Universit´eClaudeBernardLyon1 Feuille 5 (analyse)
Pr´eparation
Agre´gation Anne´e
Se´riesnum´eriquesets´eriesdefonctions.
Exercice1(Approximationdeπ) (a) Etablirque pour toutx]1,1[, on a
Interne 2011-12
+X k2k+1 (1)x arctanx=. 2k+ 1 k=0 Pk2k+1 (1)x (b)Montrerquelase´rieconvergeuniforme´mentsur[0,1]. 2k+1 (c)End´eduireque +k X π(1) =. 4 2k+ 1 k=0 6 (d) Combienfaut-il de termes pour obtenir une approximation deπa`rp?es`01 (e) Montrerque π1 1 = 4arctanarctan. 4 5239 Indication : en posanta= arctan1/5etb= arctan1/239, on pourra montrer π quetan(2a) = 5/12puistan(4a) = tan(+b). 4 Pk 4 4(1) (f) Montrerque siS= +162k+1, on a 239k=0 5(2k+1)
87 3×10πS10.
11 83 7 Indication : on utilisera que11×516×10/3et3×2394×10. (g)Compareravecler´esultatde(d). P n Exercice2(Unth´eor`emedAbel)Soitanzuen´snoy`erederaerieenti n0 de convergenceR= 1. Pour|z|<1, on pose
+X n f(z) =anz . n=0 P Onsupposeaussiquelas´erieanconverge et on noteSsa somme. n
P n (a) PosonsSn=akurpoeD,´qu.oenretmr|x|<mretedeire´sal,1aln´ereg´e k=0 n Snxest convergente et que l’on a ++X X n n f(x) = (1x)Snxetf(x)S= (1x) (SnS)x . n=0n=0 (b) Soitε >eastxilerslonome´D.0iuqrertN0Ntel que pour toutx[0,1[, on ait N0 X n N0+1 |f(x)S| ≤(1x) (SnS)x+εx . n=0 (c)D´emontrerquef(x) tend versSquandx1 . (d)Enutilisantcequipre´c`ede,prouverque ++X X n n1 (1)π(1) = et= log2. 2n4+ 1n n=0n=0 Exercice3(Equivalentdurestedunese´rieconvergente)Soitf:R+−→ 1 Rune fonction de classeCntavri´e + 0 f(x) lim =−∞. x+f(x) (a) SoitA >0. (i) Montrerqu’il existe un entierNtel que, pour toutnNet toutp1, on ait pA f(n+p)f(n)e . P P +(ii)End´eduirequelase´rief(n) converge et que siRn=f(k) est n k=n le reste d’ordrenno,eade´irlesa A e 0Rn+1f(n). A 1e (iii)End´eduirequeRn+1=o(f(n)),n+, puis queRn+f(n). P2 n (b)Enutilisantcequipre´ce`de,montrerquelas´erieeconverge et n +X 2 2 pn ee . p=n Exercice4(Autourdelafonctionze´tadeRiemann)On rappelle que la fonctionze´tadeRiemannestde´niepour<(s)>1 par +X 1 ζ(s) =. s n n=1
2
(a) Montrerque, pour tout entierk2, on a 1 11 ζ(k)1+. k kk1 2 (k2+ 1)2 P (b)End´eduirequelas´erie(ζ(k)1) est convergente et que k2 +X (ζ(k)1) = 1. k=2 (c) Onrappelle que la suite (an)ne´deinrap n X 1 an=log(n) +, n1, k k=1 estconvergenteetsalimite,not´eeγpatse,ocee´lepednttans.SerulEoit δn=anan1,n2. (i) Montrerque +X 1 δn=. k kn k=2 P (ii)Montrerquelas´erieδnconverge et que sa somme estγ1. n (iii)Ende´duireque +X ζ(k)1 = 1γ. k k=2 Exercice5(Unr´esultatd´equationdiophantienne)Soientα1, . . . , αpdes entiers naturels non nuls premiers entre eux dans leur ensemble. Pour toutnN, p on noteSnle nombre de solutions (n1, . . . , np)Nqeauitnodle´α1n1+α2n2+. . . αpnp=n. p1 1n Montrer queSn. α1...αp(p1)! Onpourrainterpre´terSnmmleoccieecoeunesntdtneeire´iuqere`iimprexse simplement en fonction deα1, . . . , αp.
Commentaire:lesre´fe´rencesutilis´eespourcettefeuillesont: e`me 1. X.Gourdon,teˆentsethmaesL,2ipses:llE,noitide´Exercice 2, p. 252. Exercice 3, p. 212.Exercice 4, p. 211.Exercice 5, p. 249. 2. A.Dufetel,ysalAnseurCoe,rga,age´noitCape´es,ernesextcrcietexrrgiseoc interneMath´ematiques, Vuibert-CNED :Exercice 2, p. 310-311.
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