Universite Claude Bernard Lyon Preparation Agregation Interne Feuille niveau analyse Annee

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Universite Claude Bernard Lyon 1 Preparation Agregation Interne Feuille 3 (niveau 1, analyse) Annee 2010-11 Suites numeriques II 1 Suites de Cauchy Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (rn)n?N une suite de nombres reels telle que |rn+1?rn| ≤ ?n, pour tout n ? N, ou ? est un reel strictement compris entre 0 et 1. Montrer que la suite (rn)n?N est de Cauchy. Indication : on pourra ecrire, pour m > n, rm ? rn = ∑m?1 k=n (rk+1 ? rk). (b) Soient (rn)n?N la suite definie par recurrence par r0 = 2 et rn+1 = 1 + 1/rn, n ≥ 0. Montrer que (rn)n≥0 est une suite de Cauchy dans Q qui ne converge pas dans Q. Conclusion ? Exercice 1.2 (Irrationalite de e) Soit (rn)n?N la suite definie par rn = n∑ k=1 1 k! . (a) Montrer que la suite (rn)n?N est a valeurs dans Q. (b) Montrer que, pour tout m > n > 2, on a |rm ? rn| ≤ 1 (n+ 1)! ( 1 + 1 n+ 2 + · · ·+ 1 (n+ 2)m?n?1 ) .

  • suites monotones

  • exponentielle complexe de z

  • valeurs d'adherence

  • rm ?

  • theoreme de cesaro

  • u2n

  • adja- centes

  • reel ?


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
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TDEquationsDi´erentiellesn3
Syst`emesdi´erentielsautonomes
Portraits de phase Exercice 1.SoitAM2(Rtidspeahseoptrarseepns,o)deseporoimrete´dlsuotren 2 ˙ associ´esausyste`medie´rentielX(t) =AX(t), X(t)R.
1 i) Montrer qu’il existePGL2(R) tel queR=P APa l’une des formes suivantes:     λ0λ γ R=, λR, R=, γ >0, λR 0λ0λ     λ0α β R=, λ6=µµ, λ, R, R=, β6= 0, α, βR. 0µβ α
˙ ii)Donnerlechangementdevariablequipermetdepasserdusyst`emeX=AXau ˙ syst`emedie´rentielY=RYce`aesi´ocssaesahpedstiartrentsporlesdi´edterssree syst`emedi´erentiel.
˙ iii)End´eduirelesportraitsdephasesassoci´esa`X=AX.
Exercice 2.esDropselresdstiartrenereltis:leephaseassoci´esaxue´uqtaoisnid´
2 x i) ¨x+ sinx= 0, ii) ¨x+x= 0. 2 Danschaquecas,onchercherauneinte´gralepremie`redumouvementi.e.unefonction H:R×RRtel que sixest solution de l’equation (i) ou (ii) alorsH(x,˙x) est une constante.
Lessyst`emes largedesyst`eme
di´erentiels di´erentiels
du type appele´s
x¨ +rxV syste`me
n (x) = 0, xRfont Hamiltoniensd´enis
partie d’une classe plus delamanie`resuivante:
n n SoitH:R×RR,(p, q)7→H(p, qrentiel:medeie´lssesy`titnoral.O)´end
p˙ =rqH(p, q), q˙ =−rH(p, q).
Dans ce cas,HDansent.uvemdumoetsrtselacunntnteiiaivmeleimerere`rge´pela n particulierdusyst`emedie´rentielx¨ +rxV(x) = 0, xR, on peut le mettre sous la 2 |p| formedunsyste`meHamiltonienenposant:p=x, q=x˙, H(p, q+) = V(q). 2
Exercice 3.snOere´tniysuseasseedemt`Lotka Volterra:
ou`>a, b, c, d 0.
x˙ =axbxy=f1(x, y),˙x=cxydy=f2(x, y),
i) Montrer que six(0)>0, y(0)>0 alorsx(t)>0 ety(t)>0 sur tout l’intervalle de de´nitiondelasolutionmaximale.
ii) Dresser dans le plan de phase, l’allure du champ de vecteur (f1, f2) et indiquer ses points critiques.
iii)Mettrelesyste`medi´erentielsousformeHamiltonienneetend´eduireuneinte´grale premi`eredumouvement.
iv)Montrerquetouteslessolutionsdusyst`emedi´erentielavecx(0)>0, y(0)>0 sont globalesetpe´riodiques.Dessinerleportraitdephase.
Exercice 4.0dr(etuuouqae´tnisnOminadyla`aseeser,)0emesyst`desspourleits´idnere quisontdesperturbationsdesyste`meslin´eairesetnotammentlapersistancepourle syst`emenon-lin´eairedecertainesproprie´t´esdusyst`emeline´aire. Onintroduitlesd´enitionssuivantes.Onde´nitlesyst`emedi´erentiel       ˙fx x 1(x, y) =A+,(0.1) y˙y f2(x, y)
1 2 2 ou`AM2(R),f1, f2de classeCetfi(x, y) =O(x+y), i= 1,2.
D´enition1.On dit que le point (0,0) est un attracteur si il existeδ >0 tel que +si|x0, y0|< δroupndioutolasslseyhcuaCedeme`lbsurnietd´elaroR(ouR) et limt→∞(x(t), y(t)) = (0,0) (ou limt→−∞(x(t), y(t)) = (0,0)).
De´nition2.On dit que le point (0,0ripstse)csi´ealttnatuesueerartct
y(t) 1 lim|tan ( )|= +. t→±∞ x(t)
i) A quelle condition sur le spectre deA, (0,opnu,ruetcarttantues0)l´epourintspira lesyst`emelnie´iare? ii)Montrerquilexisteunchangementdevariablequipermetdetransformerlesyste`me die´rentielinitialen       x˙1x1F1(x1, x2) =R+,(0.2) x˙2x2F2(x1, x2)
2 2 ou`Rd´igeslneedunexldeesictrmaeste1ecicreFi=O(x+x). 1 2 iii)Ecrirelenouveausyste`medie´rentieldanslesyste`medecoordonn´eespolaires.
iv)End´eduirealorsquesi(0,ystsruelil´ne`eme,ceairnestue)0tratunstpourteac attracteurpourlesyste`menonlin´eaire.
v) Montrer que si (0,tseopnutni0)estunpointsipar´lpeuolrsesyt`emelin´eaire,c spirale´pourlesyste`menonlin´eaire.
Exercice 5. Pour aller plus loin...Etude de la dynamique autour d’un point selle Onreprendlesnotationsdelexercicepr´ec´edentetone´tudielesyste`medi´erentieldans lescoordonn´ees(x1, x2) etRest la matrice diagonale avec les valeurs propresλ <0< µ. s0 0 Onde´nitlavarie´t´estableaupoint(0,0),W(0) ={(x)/li 1, x2mt→∞(x(t), y(t) = (0,0)}. u Onde´nite´galementlavarie´te´instable`a(0,0), l’ensembleWeˆmarpemirpo´te´e)q(0alui en−∞.
i)Enconside´rantlapartienonlin´eairecommeunsecondmembreetenappliquantla formuledeDuhamel,donnerlaformege´n´eraledessolutionsquirestentborn´eeslorsque t→ ∞. Cessolutionssontenfaitlespointxesdunope´rateurquiagitsurunensemblede fonctionscontinuesa`d´ecroissanceexponentielle. ii)Montrerquelop´erateurtrouv´eeni)estcontractantdansunespacedefonctions bien choisi. s0 iii)Ende´duirequeW(0) est localement un graphex2=ψ(x1) avecψ(0) =ψ(0) = 0. u iv)Montrerunr´esulatanaloguesurW(0) puis dresser le portrait de phase au voisi-nage de (0,0).
Solutionsp´eriodiquesetthe´ore`medePoincare´Bendixson. 2 2 1 Exercice 6.pmedevtcuerOnconsid`ereunchaf:RRde classeCren-trantsurlacouronned´elimite´eparlescerclescentr´esen0etderayon1et2(i.e. p 2 2 2 2 f.ur>0 six+y= 1 etf.ur<0 six+y=2nsratt)eoysnouslesraverse`at de la couronne (i.e.f.uθ6On se propose de montrer qu’il existe une solution= 0). p´eriodiqueausyste`me(˙x, y˙) =f(x, y) (Eea`de)medalsnruocennosnasiluteristhleor´e Poincar´eBendixson.
i)Ecrirelesyst`emedie´rentiel(E)encoordonne´espolaires.
ii)Ond´enitlesapplicationsΘ(t, r0) =θ(t),R(t, r0) =r(t)o`ur, θest solution de (E) 1 avecr(0) =r0,θ(0) = 0. Montrer queR,Θ sont de classeCet que pour toutr0[1,2], il existe un uniqueτ(r0) tel Θ(τ(r0), r0) = 2πofcnitnoseoh´ettlesedemr`nE.nasilitu implicites, montrer queτest continu. iii)Onde´nitlapplicationdepremierretourP(r0) =R(τ(r0), r0que). Montrer P de´nituneapplicationcontinuepre´servantlintervalle[1,eriueuqEn].edd´2Padmet un point fixe. iv)Montrerquilexisteunesolutionp´eriodiquede(E).
Exercice 7.Operndnernselatotnsioldeerexicecrpe´´cdene.tOnnesupposeplus f.uθ6= 0 mais on suppose que la couronne ne contient pas de points critiques: montrer quilexisteunesolutionpe´riodique.
Exercice8.Crite`redeBendixson 2 2 Soitf: ΩRvecteurdnchampdeΩune´rusiRun ouvert simplement con-nexe. En appliquant la formule de Green, montrer que si divfest non nulle et de signe
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