Université d'Orléans Département de Mathématiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Université d'Orléans Département de Mathématiques Master 1 – Semestre 1 Automne 2011 SMO1MA1 – Méthodes hilbertiennes et analyse de Fourier ( 1 Transformation de Fourier La transformation de Fourier sur R est l'analogue des séries de Fourier sur T. R transformation de Fourier ?? T séries de Fourier Définition 1.1. La transformée de Fourier Ff = f? d'une fonction f ?L1(R) est définie par Ff(?) = f?(?) = ∫ R f(x) e?ix? dx ? ?? R. (1) Remarque 1.2. La transformation de Fourier est parfois définie différemment, par exemple f?(?) = 1√ 2pi ∫ R f(x) e?ix? dx ou f?(?) = ∫ R f(x) e?2piix? dx . (2) Quelle que soit la définition choisie, des facteurs pi apparaissent à un moment ou à un autre dans la théorie. Exemple 1.3. Transformée de Fourier de la fonction caractéristique f = 1II d'un intervalle borné I d'extrêmités a

  • e?a

  • terminons avec le théorème d'echantillonnage de shannon

  • transformation de fourier

  • g?p ≤

  • formule sommatoire de poisson

  • formule sommatoire de poisson aux gaussiennes


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Université d’Orléans Département de Mathématiques
Master 1 – Semestre 1 Automne 2011
SMO1MA1 – Méthodes hilbertiennes et analyse de Fourier (www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/MHAF.html)
1 Transformationde Fourier La transformation de Fourier surRest l’analogue des séries de Fourier surT.
R ←→ transformation de Fourier
T séries de Fourier
1 b Définition 1.1.Latransformée de FourierFf=fd’une fonctionfL(R)est définie par Z b i x ξ Ff(ξ) =f(ξ) =f(x)e dxξR.(1) R Remarque 1.2.La transformation de Fourier est parfois définie différemment, par exemple Z Z 1 i x ξ2π i x ξ b b f(ξ) =f(x)e dxouf(ξ) =f(x).e dx(2) 2πR R Quelle que soit la définition choisie, des facteursπapparaissent à un moment ou à un autre dans la théorie. Exemple 1.3.Transformée de Fourier de la fonction caractéristiquef= 1IId’un intervalle bornéId’extrêmitésa < b: (ba sinξ a+b i ξ2 2esiξ6= 0, 2 b ξ f(ξ) = basiξ= 0.   b b 1 Observons quefest une fonction continue, avec une décroissancef(ξ) =Oà l’infini. |ξ| 2 x Exemple 1.4.La gaussiennef(x) =eest, à une constante multiplicative près, sa propre 2 transformée de Fourier: 2 ξ b2 f(ξ2) =π e. b b 1 Lemme 1.5.(a) (Riemann–Lebesgue)SoitfL(R). AlorsfC0(R)aveckfk≤ kfk1. 1 (b)Pour toutf, gL(R), on a Z Z b f(ξ)g(ξ)=f(x)gb(x)dx . R R
Proposition 1.6.Le tableau suivant rassemble quelques propriétés de base de la transformation de Fourier: b f(x)f(ξ) b f(x)f(ξ) 1ξ b f(ax)f( ) |a|a b i b ξ f(x+b)e f(ξ) i b x b e f(x)f(ξb) d b f(x)i ξ f(ξ) dx d b x f(x)i f(ξ) b (fg)(x)f(ξ)bg(ξ) 1 b f(x)g(x) (fgb)(ξ) 2π 2 a(xb) Exemple 1.7.La transformée de Fourier d’une gaussiennef(x) =eest 2 b4a πi b ξf(ξ) =.e e a Les deux dernières points font intervenir le produit de convolution, dont nous rappelons main tenant la définition et les propriétés principales. Définition 1.8.Le produit de convolution surRest défini par Z Z ++(fg)(x) =f(xy)g(y)dy=f(z)g(xz)dy . −∞ −∞ Proposition 1.9.(a)Le produit de convolution est commutatif(lorsqu’il est bien défini) : fg=gf 1p p (b)Soit1p≤ ∞. SifL(R)etgL(R), alorsfgL(R)aveckfgkp≤ kfk1kgkp. N pN (c)Si de plusgC(R)et que ses dérivées appartiennent àL(R), alorsfgC(R)avec (k) (k)p (fg) =fgL(R)1kN . (d)Soit(uj)une unité approchée(généralisée). Alors(fuj)converge versf p p dansLsifL(R)avec1p <, uniformément sifC0(R). Remarque 1.10. On s’intéresse principalement aux casp= 1,p= 2,p=. Le point(b)de la proposition peut être généralisé comme suit(théorème de Young) : 1 1 1rp q Soient1p, q, r≤ ∞tels que+= 1. SifL(R)etgL(R), alorsfgL(R) p q r aveckfgkr≤ kfkpkgkq. 1 Rappelons qu’une unité approchée est une suite(uj)dansL(R)telle que uj0, R +uj= 1, −∞ suppuj[Rj,+Rj]avecRj0, et qu’on parle d’unité approchée généralisée si la troisième condition est remplacée par R R +ε ◦ ∀ε >0,limj+uj(x)dx= 1⇐⇒limj+uj(x)dx= 0. ε|x|
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Introduisons l’espace de Schwartz, qui fournit un cadre idéal pour l’analyse de Fourier surR. Définition 1.11.L’espace de SchwartzS(R)est constitué des fonctionsfC(R)vérifiant les conditions équivalentes suivantes: (k)m (a)k, mN,C0,|f(x)| ≤C(1+|x|), m(k) (b)k, mN,sup|x f(x)|<+, xR  k  d m   (c)k, mN,supx f(x)<+. xR dx 2 2 a(xb)a(xb) Exemple 1.12.Les produitsf(x) =p(x)ede polynômesp(x)et de gaussiennese, a >0etbR, sont des fonctions de Schwartz. Proposition 1.13. p L’espace de SchwartzS(R)est dense dansL(R), pour tout1p <, ainsi que dansC0(R). Proposition 1.14.L’espace de Schwartz est préservé par les opérations suivantes:  k d dérivation:f∈ S(R) =f∈ S(R)kN, dx m multiplication par les polynômes:f∈ S(R) =x f∈ S(R)mN, multiplication ponctuelle:f, g∈ S(R) =f g∈ S(R), produit de convolution:f, g∈ S(R) =fg∈ S(R), b transformation de Fourier:f∈ S(R) =f∈ S(R). Théorème 1.15.(a)La transformation de Fourier Z b i x ξ Ff(ξ) =f(ξ) =f(x)e dx(2) R est un isomorphisme de l’espace de Schwartz sur luimême. (b)Pour toutf∈ S(R), on a 2Ff= 2.π f En d’autres termes, la transformation de Fourier inverse est donnée par Z 1 11i x ξ Fg(x) =gb(x) =g(ξ).e dξ(3) 2π2π R 1 Corollaire 1.16.La transformation de Fourier est injective surL(R). Théorème 1.17(Plancherel).(a)Pour toutf∈ S(R), on a b kfk2= 2πkfk2. 1 2 b (b)L’applicationf7fse prolonge en une isométrie de l’espaceL(R)sur lui–même. 2π
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L’analyse de Fourier est un outil important en mathématiques. Elle permet notamment de ré soudre des équations différentielles, par exemple l’équation de la chaleur ( 2 ∂ ∂ u(x, t) =2u(x, t)xR,t >0, ∂t ∂x (4) u(x,0) =f(x)xR. Par transformation de Fourier spatiale, l’équation (4) devient en effet ( 2 ub(ξ, t) =ξbu(ξ, t)ξR,t >0, ∂t b bu(ξ,0) =f(ξ)ξR. Pourξfixé, il s’agit d’une équation différentielle ent, qui est élémentaire à résoudre : 2 t ξ bu(ξ, t) =f(x)e . Par transformation de Fourier inverse, on obtient la solution suivante de (4) : u(x, t) = (fgt)(x), 2 1x /4t gt(x) =e 4π t est le noyau de la chaleur surR. En physique, le principe d’incertitude de Heisenberg stipule qu’on ne peut préciser simultané ment la position et la vitesse d’une particule. Mathématiquement, ce principe se traduit par l’impossibilité de cerner simultanément une fonction et sa transformée de Fourier. En voici deux formulations quantitatives. Théorème 1.18(principe d’incertitude 1). 1 b SoitfL(R)telle quesuppfetsuppfsont compacts. Alorsf= 0. Théorème 1.19(principe d’incertitude 2).Pour toutf∈ S(R)et pour toutx0, ξ0R, on a Z ZZ Z ++ ++2 22 22 2 b b |f(x)|dx|f(ξ)|4 (xx0)|f(x)|dx(ξξ0)|f(ξ)|dξ . −∞ −∞−∞ −∞ t2 12 x2πξ 2b2t De plus, six0=ξ0= 0, on a égalité pour les gaussiennesf(x) =ei.e.f(ξ) =e. t
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Passons à la formule sommatoire de Poisson (Siméon Denis Poisson, né le 21 juin 1781 à Pithi viers), qui est un outil important en théorie analytique des nombres. Théorème 1.20(Formule sommatoire de Poisson).Pour toutf∈ S(R), on a P P b f(n) = 2π f(2π n). nZnZ Exemple 1.21(Fonctions thêta et zêta).En appliquant la formule sommatoire de Poisson aux gaussiennes, on obtient la relation fonctionnelle 1 − −1 θ(t) =t θ(t)t >0 2 pour la fonction thêta P2 n t θ(t) =e . nZ On en déduit le prolongement analytique de la fonction zêta P +s ζ(s) =nRes >1 n=1 àCr{1}et la relation fonctionnelle s 1 Γ( ) s2 ζ(1s) =π1sζ(s). 2 Γ( ) 2 Plus précisément, la fonction s 2 π ξ(s) =sζ(s) Γ( ) 2 sécrit Z +s1sθ(t)1 dt1 1 ξ(s) =t+t− − 2 2 t2s1s 1 et vérifie l’équation fonctionnelleξ(1s) =ξ(s). Terminons avec le théorème d’echantillonnage de Shannon, qui est un outil fondamental en traitement du signal. b 2 Théorème 1.22(Shannon).SoitfL(R)telle quesuppf[π,+π]. Alors P sinπ(xn) f(x) =f(n). nZπ(xn) n Remarque finale :La plupart des définitions et résultats de ce chapitre se généralisent àR.
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