Universite d'Orleans Deug MASS MIAS et SM

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Universite d'Orleans Deug MASS, MIAS et SM Unite MA 3.03 Probabilites et Graphes Devoir en temps libre A rendre dans la semaine du 6 au 10 octobre 2003 Montrons d'abord par recurrence sur n la propriete (Hn) : ?k ? N ?i impair positifn = 2ki. (H1) est vraie car 1 = 20 ? 1 et 1 est impair. Pour n ≥ 2, montrons maintenant (Hk)1≤k

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Publié le : mercredi 1 octobre 2003
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Source : iecn.u-nancy.fr
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UniversitedOrleans
UniteMA3.03
ProbabilitesetGraphes
Devoir en temps libre
A rendre dans la semaine du 6 au 10 octobre 2003 Montronsdabordparrecurrencesurnetlaporpeir k (Hn) :kNiimpair positifn= 2i. 0 (H1) est vraie car 1 = 21 et 1 est impair. Pourn2, montrons maintenant (Hk)1k<n=(Hn). Sinest impair, il 0 nyarienademontrer,carn= 2n. Sinircetueerstenp,oirpan= 2m, avecmEvidemmententier naturel non nul.m < n, doncHmest vraie:il existe k k+1 knaturel etiimpair avecm= 2imaintenant. Maisn= 2m= 2i, ce qui montre que (Hneereitsve) k l Resteavoirlunicite.Supposonsn= 2i= 2j, aveck, lentiers naturels rt kl i, jOn peut supposer quepositifs impairs.kla alors 2: oni=j. Pour que le produit de deux nombres entiers soit impair, il faut que les deux nombres kl soientimpairs,ainsi2doiteˆtreimpair,cequiimposek=lnoldedd,uotui i=j. 1.Laquestionpreliminaireamontrequelesensembles i {(2k+ 1)2;i0} formaient une partition deNevcrsintersectionsadnenudeuqtiuele.O Iforment une partition deI. 2.Akmiereprequedetrioemetgsaiudslemeerstdeermfostemret2ek+ 1 etderaison2quisontinferieursausenslargean. Commecette suite est croissante,lundesestermesestinferieurausenslargeansi et seulement si son premier terme l’est plus,i.e.si et seulement si 2k+ 1n, soit n1 kD.nanstorecasparticuliersec,dtnolcnoneseertie0sda 2
Deug MASS, MIAS
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