Universite d'Orleans Unite 1MT01 Licence L1 SCM1 MT01 Annee Departement de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite d'Orleans Unite 1MT01 Licence L1 SCM1 MT01 Annee 2007-2008 Departement de Mathematiques Corrige du Partiel du samedi 10 novembre 2007 Questions de cours: voir polycopie. Exercice 1 Etude de la suite rn = 1? n ?n2 + 3n? 1 . C'est une forme indeterminee du type ?∞?∞ . Pour lever l'indetermination, on ecrit: rn = ?n(1? 1n) ?n2(1? 3n + 1 n2 ) = ?(1? 1n) ?n(1? 3n + 1 n2 ) . On sait que les suites ( 1n), ( 3 n), ( 1 n2 ) convergent vers 0. En utilisant les regles de calculs, on obtient limn rn = ?1(1?0) ?∞(1?0+0) = 0 (En utilisant la convention 1∞ = 0). Etude de la suite vn = 1n2 sin(pi √ n! + 5) (definie pour n ? N?). On encadre le sinus: ?1 ≤ sin(pi √ n! + 5) ≤ +1 pour tout n ? N. Puis, on divise par la quantite positive n2 pour n non-nul. ? 1 n2 ≤ sin(pi √ n! + 5) n2 ≤ 1 n2 .

  • pi √

  • deduit

  • infinite de solutions avec z ?

  • unique solution

  • sin

  • methode de l'expression conjuguee

  • i? e?i

  • n2 ≤


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Universit´edOrl´eans Licence L1 SCM1 MT01 D´epartementdeMathe´matiques
Corrige´duPartieldusamedi10novembre2007
Questions de coursrpolycop.e´i:voi
Unite´1MT01 Anne´e2007-2008
Exercice 1 1n Etude de la suitern=. 2 n+ 3n1 −∞ Cestuneformeind´etermine´edutype.Pourleverlind´etermination,on´ecrit:rn= −∞ 1 1 n(1)(1) n n11 3 = .On sait que les suites (),( ),(2) convergent vers 3 13 1n n n 2 n(1+2)n(1+2) n nn n 1(10) 0.Enutilisantlesre`glesdecalculs,onobtientlimnrn0 (En utilisant la= = −∞(10+0) 1 convention =0). 1Etude de la suitevn=2sin(π n! + 5)repoueni(d´nN). n On encadre le sinus:1sin(π n! + 5)+1 pour toutnNon divise par la. Puis, 1 sin(π n! + 5)1 2 quantit´epositivenpournnon-nul.− ≤. Lalimite des suites 2 2 2 n n n 1 1 (2) et (2eme`roe´htelraP.ont,enemdrcaendltmine´ddeiuulleestn)vn= 0.Notons n n quelonnapasbesoinde´tudierlalimitedesin(π n! + 5)(qui d’ailleurs n’existe pas) et que la valeurπ n5+en!uaucojeuatlurustˆonrdalelensesr´vn. √ √ 2 2 Etude de la suiteun= 2n+ 3n+ 1. Linde´terminationestdelaforme∞ − ∞re.ponder´eresdine`xuamsnedmuioaaly.I Premie`reme´thode:largumentusuelparproduitaveclexpressionconjugu´ee. On a √ √√ √ 2 2 2 2 √ √ ( 2n+ 3n2+ 1)(n+ 3 +n+ 1) 2 2 un= 2n+ 3n+ 1 =√ √ 2 2 2n+ 3 +n+ 1 2 22 22 (2n+ 3)(n+ 1)n+ 2n(1 +2) n q q un=√ √=√ √=√ √ 2 22 23 1 2 2 2n+ 3 +n2+ 1n+ 3 +n+ 1 n2 +2+n1 +2 n n 2 22 n(1 +2)n(1 +2) n n q qq q un= = 3 13 1 n+( 22++ 122 +) (2++ 12). n nn n q q 3 1 On note que les deux suitesan+= 22etbn= 1+2su´etla´dtnossaisroecer.Cesnt n n 3 1 est obtenu par composition d’applications.En effet, 2+2et 1+2tesentsaisroecd´ntso n n q q √ √ 3 1 lafonctionracinecarr´eeestcroissante.Ainsi2+2a1et 1+= 52b1= 2. n n
1
q q √ √ 3 1 Dou`2+2++ 122.Pa5+sagerpasnieva`llnisr,ega´et´lihaecedngneseracs n n lesquantit´essontpositives.Ona 1 1 q q≥ √. 3 1 5 +2 ( 2+2+ 1+2) n n 2n n De plusn)(1 +n.Dou`un≥ √.Puisque lim√ √= +iudetno,´dne 2 n+ 25 +2 5 parleth´eor`emedencadrement:limun= +. n Deuxi`emem´ethode(dapparencepluscourte).
On a s ss s √ √√ √ 3 13 1 2 22 2 un= 2n+ 3n+ 1 =n+2 +n=1 +n+ +( 21 +). 2 22 2 n nn n q q √ √ 3 1 On utilise maintenant le fait que lim2 +2et lim= 21 +2Ainsi en= 1.= 1 n n appliquantlesr`eglessurleslimites,limun= ++ 1) = +( 2ler´onnetat.esulrideC.ce √ √ Mais on notera que l’on utilise le fait que lima+cn=apoura >0 lorsquecnest unesuitepositivequitendvers0quisede´montrejustementparlame´thodedelexpression conjugue´e.(Onparlealorsde´eitnocunitaricenacrre´)e.ladencfoonti
1 n n Etude de la suitewn= (3)( ). 4 1n1 Lasuite()estunesuitege´ome´triquederaison| |<Par1 donc elle converge vers 0. 4 4 n contre,parunicite´delalimite,lasuitedn= (3) neconverge pas (en effet, la suite des n n termes pairsd2n= 9tend vers +et la suite des termes impairesd2n+1=39 tendvers −∞enitsulargveoneccnodpesaevsrnu´reel`et elle ne tend ni vers +ni vers−∞). On end´eduitquelasuite(wn:siantesuivrgveonec)nere`inamaledsapewnconvergeait vers 1n n `Ralorsdn=wn() =+ (vers3) convergerait`=+ 0`(On vient de. Contradiction 4 faire un raisonnement par l’absurde).Finalement, la suite (wn) ne converge pas (ni ne tend vers`= +ou`=−∞).
Exercice 2 q √ √√ √1. On au2= 2+u1(= 3),u3+= 3u2(= 3et+ 3),u4+= 4u3(= r q 4 +3 +3). √ √ 2.Abr´egeonsparP(n´)lonenec´nun2n”. Dansce qui suit on utilisera, sans le direexplicitement,lacroissancestrictedelafonctionracinecarre´surR+. √ √ Initialisation :Puisqueu11= 1 et121,P(n) est vraie pourn= 1. H´ere´dite´:SoitnN. Montronsque siP(n) est vraie alorsP(nl’est aussi.+ 1) q Avecun+1= (n+ 1) +uneono`,tneitbdritrapaP(n), que √ √ nun2n √ √ n+ 1 +nn+ 1 +unn2+ 1 +n q q √ √ n+ 1 +nun+1n2+ 1 +n q q q √ √n+ 1n+ 1 +nun+1n+ 1 +2n2(n+ 1) 2
ou`pourvoirladerni`erein´egalite´onobserveque2nn+ 1ou encore que 2n2 22 2 (nfait, on a 2+ 1): enn(nsi et seulement si 0+ 1)(n+ 2n+ 1)2n=n+ 1 cequiestvrai.Leprincipedelar´ecurrencepermetdeconclure. q Dapr`escequivientdˆetremontr´eonaun12(n1) et on obtientun=n+un1r q n+ 2(n1). r q n+ 2(n1) n un 3.Dapr`escequipre´ce`deonalencadrement1=√ ≤√ ≤. n nn r q v s n+ 2(n1)u t2 2 Avec+= 1on obtient facilement (cf. la remarque sur 2 n nn √ √lim 1+cnadn`la(etuiaseledg´riorucun) de l’exercice 1, ici avec|cn| ≤2/ n) r q n+ 2(n1) que lim1=teleth´eor`emedennemerdacdtemrepturclonecueeq n+n un lim= 1. n n+Exercice 3 Dabordonchoisitlapremi`erelignedusyste`mecommelignepivotetoneectuelesope´rations L1L1, L2L2L1, L3L3+ L1ladeisitncho`esoeoncimpmlgeigeinmeleoxvu`tirpa; etoneectuelop´erationL3L3L2:   x+y+z= 1x+y+z= 1   my+mz= 1my+mz= 1     my+m(m3)z= 1m(m4)z= 0. Aucasou`m6= 0 etm6= 4 on am(m4)6= 0 et on obtient la solution uniquez= 0, y= (1mz)/m= 1/metx= 1yz= 1(1/mso`u).Aucam= 0 il n’y a pas desolutioncarladeuxi`emeligneduderniersyste`medevient0=1etaucaso`um= 4 onobtientuneinnit´edesolutionsaveczRarbitraire,y= (14z)/4 = (1/4)zet x= 1yz= 3/4. Exercice 4 1. SoientaAetbBa--`stecerid1< a3 (*) et1b <2 (**).Distinguons les deux cas1< a <0 et 0a3. Aupremier cas on obtient, en multipliant (**) par a, queaab >2a(carac,vuque1atif)donets´nge>aet 2a >2, 1> ab >2. Audeuxi`emecasonobtient,enmultipliant(**)para, queaab <2a(caraest positif) donc, vu que3≤ −aet 2a6,3ab <6. Puisqueles deux cas s’excluent on a2< ab <1 ou3ab <6 donc 3ab <6.(1) Le minorant3 est optimal parce ques3ecmtimroce´3(1) avec 3Aet 1Bpnoiseuqrevresboitvaouil´tdemulpoitamilsutdajorant6urPoirvo. remplacer 6 par un nombremtel que3m <6 on trouverait une contradiction 6 +m6 +m poura0b0=> mo`ua0= 3Aetb0=B. 2 6
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