Universite de Nice SL2M Algebre

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Universite de Nice SL2M 2011-12 Algebre 2 Partiel : elements de correction. Exercice 1. Dans R3, muni du produit scalaire usuel, on considere les trois vecteurs ~u = (3, 0,?3), ~v = (0, 2,?2) et ~w = (1,?1, 0). On designe par E le sous-espace vectoriel engendre par la famille (~u,~v, ~w). 1.1. Est-ce que la famille (~u,~v, ~w) est libre ? Quelle est la dimension du sous-espace E ? On echelonne la matrice M := ? ? 3 0 1 0 2 ?1 ?3 ?2 0 ? ? . Les etapes successives sont les suivantes : par l'operation C3 ? C3 ? (1/3)C1 on obtient ? ? 3 0 0 0 2 ?1 ?3 ?2 1 ? ? puis par l'operation C3 ? C3 ? (1/2)C2 on obtient ? ? 3 0 0 0 2 0 3 ?2 0 ? ? . On en conclut que la famille (~u,~v, ~w) est liee, qu'une base de E est (~u,~v), que E est de donc dimension 2.

  • elements de correction

  • famille

  • u? ?

  • resultats des questions precedentes

  • algorithme de gram-schmidt

  • solution dans r3


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Universit´edeNice 2011-12
Partiel:´ele´mentsdecorrection.
SL2M Alg`ebre2
3 Exercice 1.DansRetrusrtiovsce,umrpdoinudlacatsuielsueuirisnocno,selere`d ~u= (3,0,3),~v= (0,2,2) etw~= (1,1,0). Onde´signeparEvecepscasue-elosr´epgendelentori(ellimafalra~,u~~wv,).
1.1.Est-ce que la famille (~,v~wu,~) est libre? Quelle est la dimension du sous-espaceE? On´echelonnelamatrice   3 0 1   M2:= 01. 32 0 Les´etapessuccessivessontlessuivantes:parlop´erationC3C3(1/3)C1on obtient   3 0 0   0 21 32 1 puisparlope´rationC3C3(1/2)C2on obtient   3 00   0 20. 32 0 On en conclut que la famille (u~w~~,,ve,´elistbaneuquedese)Eest (v~,u~), queEest de donc dimension 2. 1.2.igespanernO´dFlpaesedeclossoituudsnaeriil´ne`emystse 3x1+x3= 0 2x2x3= 0 3x12x2= 0. ´ Enoncerunth´eor`emequirelieladimensiondeEet la dimension deFete´nimrD.ionsnlaermedi deFet en donner une base. Lamatricedusyst`emeestlamatriceMiuseq,na2gdtreagnaemrleuqaet.Leoh´emr`ured dimension de l’espaceFdseosulitnodssuecirtamedeme`tsyMmbnoaulega´estesbaelavirered diminue´durangdelamatriceM, autrement dit dimF= 3dimE. L’espaceFest une droite vectorielle. Une base deFestlanotsti´uafimllceesesctvepaeendrusrue non nul, par exemple (2,3,6). 1.3.aprgien´dsenOGrteoacsp-eussolea`lanogohF. Quelle est la dimension deG?D´eterminer une base deG. Unedescons´equencesdeGram-SchmidtestdimG= 3dimF. L’espaceGest de dimension 2. Un vecteur est dansGohtranoglisotseleeuntmestsiel`a(2,3,6). L’espaceGest l’ensemble dessolutionsdele´quation2x1+ 3x2+ 6x3= 0. Une base en est ((3,2,0),(3,0,1)).
2 1.4.ndOraepgnsi´eAla matrice suivante   0 0 1   011. 323 Est-ce que3 est valeur propre de la matriceAe´icossaerSi?reimenlruo,i´dtepacepropesous-es a`3. 3 est valeur propre de la matriceAsi et seulement si la matriceA(3)I3n’est pas de rang maximum. On constate queA+ 3I3´tsea`elageMqui est de rang 2. Donc3 est valeur propre deAecirtamedeme`tsdusyionsolutdessbmelneestsl´ieecapsorpeaerpcoss.DluepeslM. C’est l’espaceF. 4 Exercice 2.DansRsursvleteecidnsre`e,leuocnoialasuerroduitsc,munidup ~u= (1,1,1,1),v~= (3,1,1,3) etw~= (5,0,2,3). On noteEossuelcaeee-psenng´edrrlpaamafelli (,u~~,v~w) etEl’orthogonal deE. 4 Ond´esignepar(e~1e~,2e~,3e~,4) labase canoniquedeR(par exemple,~e3est le vecteur (0,0,1,0)). 2.1.La famille (~vu,w,,~e~~3) est-elle libre? Quelle est la dimension deE? deE? En´echelonnantlamatricedontlesvecteurscolonnessont(e~w,~,~v,~u3), on constate que la famille (w,,~~vu,~e~3iov(erbiltse)ion1.1pourlesd´eerexcrci1eq,euts.n)liatredsade´oitc Une sous-famille d’une famille libre est libre. La famille (u~w~,v~,) est donc une base deEqui est de dimension 3. L’orthogonalEest de dimension 4dimEsoit 1. 2.2.orlgaelqulippnamhcS-marGedemhtile(amilalafidt`O~e~~,,w,uv~3use´tatlutseafenllmiel:re) ~ (t~ur,,~,~s). Que peut-on dire ~ (1) dela famille (s~,r~,u~t,) ? 4 C’est une famille orthogonale qui est donc une base orthogonale deR. (2) dusous-espace Vect(~,us,~~r) ? Dapr`esGram-Schmidt,lafamilledesvecteurs(s~,ur~~,)neegdneuqealeeemacspntremˆle famille (w~~u,~,v). On a donc Vect(~u,~r,~s) =E. ~ (3) dusous-espace Vect(t) ? 4 ~ Comme la famille (,tu~~,,rs~) est une base orthogonale deRet Vect(,~~u~sr,) une base or-~ thogonale deE, le vecteurtengendre l’orthogonalE. Justierlesr´eponsesdonn´ees. ~ 2.3.Expliciter l’algorithme et calculer les vecteurs,s~,r~t. LalgorithmedeGram-Schmidt,appliqu´e`alafamille(,w~,e~u,~v~3tn:)uof,tinrr´leuleststavaui ((1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1/4)(1,1,1,1)). On note que la famille ((1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,nutnemele1)´ega)est 4 base orthogonale deR. 2.4.d`erelevOnconsiceetru~x= (3,5,7,mierrlne).3etD´onoiohtrorpatcejledegona~xsurEet surE. Puisque (u~~sr,,~) est une base orthogonale deE, la projection orthogonale de~xsurEtsodnne´ee par la formule suivante h~x|~ui h~x|r~i h~x|s~i pr (~x) =~u+~r+~s. E 2 22 k~uk kr~k ks~k
3
Le calcul donne (2,4,8,2). ´ Mˆemequestionpourlesprojectionsorthogonalesdesvecteurse~1e~,2e,~3e,~4surEet surE. Ecrire la matrice de la projection orthogonale surEdans la base canonique. Demanie`reanalogue,oncalculelesprojectionsrespectivesdesvecteurs~e1,~e2,~e3~,e4surE. La matrice de la projection orthogonale surEdans la base canonique estla matrice dont les vecteurs colonnes sont les projections orthogonales surEdes vecteurs~e1,~e2,~e3,~e4ex-prime´esdanscettemˆemebasecanonique. On trouve :  31 1 1 11 3 1 1   P:=   4 11 31 1 11 3
2.5.viuseme`tsyseler`eidnscoOn(tnaqe´4itau`snoina3nncos(uea, b, c)) : a+ 3b+ 5c= 3 a+b= 5 (S) a+b+ 2c= 7 a+ 3b+ 3c=3 3 Lesyst`emeSa-t-il des solutions dansR? On a vu que le vecteur~xiondansıno¨deciecnorpatcejasapscevE.Ilnappnopcsaa`raitnedtE. 3 Lesyst`emeSn’a donc pas de solution dansR. 2.6.Qu’appelle-t-onr´eslmonituooisencsradnerdusymest`eS? Unesolutionenmoindrescarre´srendminimalelafonctionsuivante 3 f:R−→R 2 (a, b, c)k7u~a+vb~+cw~~xk 3 de´niesurR. 2.7.e´uselrsastnitilEnud,setnede´ce´rpsontiesquessdatltnoneomnielosuliterunetel´eterminesdr carr´es. La projection orthogonale de~xsur l’espaceElielfama(enngerlpa´edrwv~~,~,umumi´eal),reminisel de la fonction g:E−→R 2 ~vk7~v~xk de´niesurE. Ilrestedonc`aexprimerlaprojectionorthogonalepr(~xinaicombomme)ced(iaernie´osln~~vu,w,~). E Onade´ja`vua`laquestion2.4que h~x|~ui h~x|r~i h~x|~si pr (~x) =~u+r~+~s= 3~u3r~+ 2.s~ E 2 22 k~uk kr~k k~sk On utilise ensuite les calculs faits pour l’algorithme de Gram-Schmidt :r~=v~2~uets~= ~w(5/2)~u(3/2)~r=~w(3/2)v~+ (1/2)~upour trouver pr (~x) = 3~u3(~v2~u) + 2(w~(3/2)~v+ (1/2)~u) = 10~u6~v+ 2.w~ E Lasolutionenmoindrescarre´sdusyst`eme(S)estdonc(10,6,2).
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