Universite de Nice Sophia Antipolis

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice-Sophia-Antipolis Licence MP semestre 3 - Algebre Feuille 1 - Espaces, sous-espaces, familles generatrices, familles libres, supplementaires Objectifs. 1- Rappeler quelles sont les proprietes des lois + et · qui conferent a un ensemble E une structure d'espace vectoriel (E, +, ·) (Exercices 1 a 9). 2- Identifier des sous-ensembles de certains espaces comme des sous-espaces, ce qui est plus economique que de verifier tous les axiomes d'espace vectoriel (Exercices 3 a 9). 3- Travailler sur la notion de “familles generatrices” pour comprendre ce qu'est une combinaison lineaire et ce que signifie “engendrer” (Exercices 10 a 19). 4- Travailler sur la notion de “familles libres” et d'unicite d'ecriture d'un vecteur sur une telle famille (Ex- ercices 15 a 22). 5- Comprendre la notion de sous-espaces supplementaires en relation avec la notion de decomposition unique (Exer- cices 15 a 22).

• universite de nice - sophia-antipolis


• famille libre


• famille de reels


• lois usuelles sur les espaces

Sujets

• Indépendance linéaire

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• Langue: Français

Extrait

Universit´edeNiceSophiaAntipolis LicenceMPsemestre3Alge`bre

Feuille1Espaces,sousespaces,famillesge´n´eratrices, familleslibres,supple´mentaires

Objectifs.

1teio+sedls-Raellenossleppuqre´eriest´estloppr∙qui conf`erent`aunensembleEune structure d’espace vectoriel (E,+,∙1sec)9a`.Ex)(cier 2- Identifier des sous-ensembles de certains espaces commedessous-espaces,cequiestplus´economiqueque deve´rifiertouslesaxiomesd’espacevectoriel(Exercices3 `a9). 3”esictrra´eeng´sellimaf“ednoitoersurlanTravaill- pourcomprendrecequ’estunecombinaisonlin´eaireetce quesignifie“engendrer”(Exercices10a`19). 4- Travailler sur la notion de “familles libres” et d’unicit´ed’´ecritured’unvecteursurunetellefamille(Ex- ercices15a`22). 5nerpmoC-ouesndiootaneldrsspulpe´-sseapecsmentaire enrelationaveclanotionded´ecompositionunique(Exer- cices15a`22).

EspacesSousespaces (objectifs 1 et 2)

Exercice 1. — aLes ensemblesN,Z,Qavec leurs lois usuelles + et∙sont-ils des espaces vecoriels surR, surQ? bRappeler quelles sont les lois usuelles sur les espaces n vectorielsre´elsR, n≥1. cQest-il un espace vectoriel surR?Rest-il un espace vectoriel surQ? dOn note|x|rembnodure`etientreialaplee´rxet on pose∀x∈R,∀q∈Q,xq=|x| ∙q, avec∙la multiplication usuelle dansR. (Q,+,) est-il un espace vectoriel surR?

Exercice 2. —On noteSllsetemesne’lsuesedbleer´esit Feinfirussle’snmelbedesfonctionsd´eRrseunsda`telava R. Soientu, v∈ S,f, g∈ F,λ∈Rsens donnez-vous. Quel habituellementauxe´crituressuivantes:u+v,λ∙u,f+g etλ∙f? (S,+,∙) et (F,+,∙) sont-il des espaces vectoriels surR?

Exercice 3. —soit B unEn s’inspirant de l’exercice 2 : espace vectoriel surRet soit E l’ensemble des applications de´finiessurunensembleAet`avaleursdansB.Montrer queEest un espace vectoriel surRen le munissant de lois quel’onpre´cisera.Montrer`anouveauquel’ensembledes suitesaveclesloisdonn´eesdansl’exercice2estunespace vectoriel.

Exercice 4. —SoitFl’ensemble des fonctions (resp.C l’ensemble des fonctions continues) deRdansR. a.Montrer queCest un espace vectoriel surR. b.L’e.bvl.eedns.emstsemeˆonslu-i-titcnofsenylopsno deF, deC? c.Lsedecnofsne’lbmeellespaitionsr´eaprise)er(suomi est-il un espace vectoriel ?

Exercice 5. —SoitEl’e.v. surRdes applications de  RdansRitleelioS.´’ltuaeqontiff´dienerf =−f. Montrer que l’ensembleFssesedsnoituloesniefid´rsuRest un s.e.v. de E.

Exercice 6. —SoitEseeellesr´suit’eednessembll (u n ) n∈N telles queu n+1 =u n +u n−1 . Montrer queEest un espace vectoriel.

Exercice 7. —SoientEun espace vectoriel surR, et Fun s.e.v. deEental´emireocpm.eLE\FdeFdansE est-il un s.e.v. deE? 2 Exercice 8. —DansRiondedeuxdroitesmrof-elrae´nu t-elleuns.e.v.?Defac¸ong´ene´rale,siFetGsont deux sev d’un evEnditneconeru,donertessiae´ecoinnffissutean pour queF∪Gsoit un sev deE.

Famillesg´ene´ratrices(objectifs3) 3 Exercice 9. —DansR , les vecteurs (−1,−2,1), (3,0,2) et (1,2,lidsno-t3s)enng.e.v.eesslanellimafalrape´rd ((1,0,1),(1,1,0)).

Exercice 10. —oTilamg´leeruvefundeciue´nertarR- e.v.Rmifaessleng´esllnoD.etuotrenrtcie´arseedRen 2 tant qu’e.v. surRec.MemeˆeuqsoitsvasnR .

Exercice 11. — a.“il existeQue signifie la proposition : unefamillefiniedere´elsquiengendreRen tant qu’espace vectoriel surQ” ? Cette proposition est-elle vraie ? b.SoitCfiietinnoscesunsoidetusnesoef´cdnl’espacr [0,avaleurssnad1],`Rsignifie la proposition : “il. Que existe une famille finie deCqui engendreCen tant qu’espace vectoriel surRCette proposition est-elle vraie ?” ?

Exercice 12. —

(L)

Soitlesyste`meline´aire:

x+ 2y= 0,

2y+z= 0

Montrer que l’ensemble des solutions de (L) forme un s.e.v 3 deR .ec.´nretairllmi´eegnu-efaneoDzenn 3  Exercice 13. —Soitkle vecteur (1,1,1) deE=R. a.Montrer que l’ensembleFdes vecteurs (x, y, z) de Eerv´anifitx+y+z= 0 est un s.e.v. deE.

b.Donneruneie´rpretn´gnoitatrietm´eoeedquF  l’aide du vecteurk. c.Donnefamerunra´eictrleileng´edeF.

`a

FamilleslibresSuppl´ementaires(objectifs4et5)

Exercice 14. —Soientn, p∈N\ {0}etEl’espace vectorieldesmatrices`anlignes etpcolonnes. Trouver unefamillege´n´eratricedeE. Peut-on dire queEpso`sdee unefamilleg´en´eratrice“canonique”,unefamillelibreet g´ene´ratricecanonique?

Exercice 15. —ele´rudserutirce´surieusplernnDoπ surlafamilledere´els(1,2).a, b, cre,slennodoitr´esr´entta plusieurse´crituresdistinctesdecsur la famille (b, c). En conclure que leR-espaceRopene`ssapedefsdilamlileebr deplusd’un´ele´ment. Soiente i ,i= 1,2,3 les vecteurs (1,0,0), (0,1,0), 3 (0,0,1) deR. aMontrer que les vecteursa= (1,1,0), b= (0,1,1), c= (1,1,os)1irementintlin´eanast(dne´epdni.e. forment une famille libre). 3 bMontrer: (∀x∈R)∃(α, β, γ) : (x=αa+βb+γc). (On pourra commencer par montrer que cela est possible pour lese i ). cPour unxetpls(-tlilpsueirutsirdonn´e,existe-α, β, γ) re´pondanta`laquestionci-dessus?

Exercice 16. —On reprend les notations de l’exercice 3  13. On noteKle s.e.v. deR neegrlevecteundr´epark. a- DonnerF∩K. b- Peut-on trouver une familleFe´´ndegriceeratF, une 3 familleKirecedg´en´eratK, telles queKF ∪ engendreR ?  c- Peut-on trouver une familleFnee´te´gciearrtibrel  deF, une familleK´gteerbirtare´necildeeK, telles que 3 F ∪ Knefamillsoituictreedne´gare´bileteerR ?

Exercice 17. —Soient U etVdeux s.e.v. de E. aMontrer queU∪V⊂U+V⊂E. bOn suppose queE=U+V.Montrer que pour tout x∈Empos´econitiodalx=u+vou`x∈Uet y∈Vest unique si et seulement siU∩V={0 E }.On dit alors que U et V sont en somme directe. 2 Exercice 18. —On se place dansRmuni de la base canonique. 2 SoitDla droite vectorielle deR2ondeq’´tiuax+ ynenufemaD.noen-z´eratricilleg´enouvee=.0Trrun 2 supple´mentairedeDdansR et donnez-en une famille ge´ne´ratrice.Cesuppl´ementaireest-ilunique?Sinon combien y en a-t-il ?

3 Exercice 19. —DansRmuni de la base canonique, la droited’e´quation{3x+y−z= 0, x+2y+z= 0}, et le plan d’´equationx+y−2zaints?replupme´esli-ssed0=tnos