Universite de Nice Sophia Antipolis Annee Universitaire L2 MI Statistique TD de Statistique

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Universite de Nice Sophia-Antipolis Annee Universitaire 2010/2011 L2 MI Statistique TD de Statistique Correction du TD no 3 Partie commune Exercice 1 : 1. La fonction de repartition de X est donnee par F (x) = P (X ≤ x) = P (X < x) = ∫ x ?∞ f(y) dy. Cas 1 : si x < 0, F (x) = ∫ x ?∞ 0 dy = 0. Cas 2 : si 0 ≤ x < 1, F (x) = ∫ 0 ?∞ f(y) dy + ∫ x 0 f(y) dy = ∫ 0 ?∞ 0 dy + ∫ x 0 y dy = [ y2 2 ]x 0 = x2 2 Cas 3 : si 1 ≤ x < 2, F (x) = ∫ 0 ?∞ f(y) dy + ∫ 1 0 f(y) dy + ∫ x 1 f(y) dy = ∫ 0 ?∞ 0 dy + ∫ 1 0 y dy + ∫ x 1 2? y dy = [ y2 2 ]1 0 + [ 2y ? y2 2 ]x 1 = 1 2 + 2x? x2 2 ? 2 + 1 2 = ? x2 2 + 2x? 1 Cas 4 : si x ≥ 2,

  • calcul tres similaire aux precedents

  • ?4 ?

  • correction du td no

  • statistique td de statistique

  • methode de calcul habituelle


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 32
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 6
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Universit´edeNiceSophia-Antipolis L2 MI TD de Statistique
Anne´eUniversitaire2010/2011 Statistique
o Correction du TD n3 Partiecommune
Exercice 1 : 1.Lafonctionder´epartitiondeXpee´ratsennod Z x F(x) =P(Xx) =P(X < x) =f(y) dy. −∞ R x Cas 1 :six <0,F(x0 d) =y= 0. −∞ Cas 2 :si 0x <1, Z Z 0x F(x) =f(y) dy+f(y) dy −∞0 Z Z 0x = 0dy+ydy −∞0  x 2 y = 2 0 2 x = 2 Cas 3 :si 1x <2, Z ZZ 0 1x F(x) =f(y) dy+f(y) dy+f(y) dy −∞0 1 Z ZZ 0 1x = 0dy+ydy+ 2ydy −∞0 1    1x 2 2 y y = +2y2 2 0 1 2 1x1 = +2x− −2 + 2 22 2 x =+ 2x1 2 Cas 4 :six2,F(x) = 1 Autrement dit, 0 six <0 2 x si 0x <1 2 F(x) =2 x + 2x11 six <2 2 1 six2
1
1 2.Unem´edianemsatisfailage´lte´tiF(mapD.=scleesr`)ec´enpr´e,dentsledlauctcoiales 2 1 F(m) =m= 1. 2 3.Lesp´erancedeXtsodearep´enn Z +E[X] =yf(y) dy −∞ Z ZZ Z 0 12 +=yf(y) dy+yf(y) dy+yf(y) dy+yf(y) dy −∞0 1 2 Z Z ZZ 0 1 2+2 2 = 0dy+ydy+ 2yydyd+ 0y −∞0 12  1 2 3 3 y y 2 = +y3 3 0 1 1 8 1 = +4− −1 + 3 3 3 = 1 2 Lespe´rancedeXno´neeaprtdes Z +  2 2 EX=y f(y) dy −∞ Z ZZ Z 0 12 +2 2 22 =y f(y) dy+y f(y) dy+y f(y) dy+y f(y) dy −∞0 1 2 Z Z ZZ 0 1 2+3 23 = 0dy+ydy+ 2yydy+ 0dy −∞0 12  1 2 4 34 y2y y = +4 34 0 1 1 162 1 = +4+ 4 33 4 7 = 6 Lavarianceestdonn´eepar   1 2 2 V(X) =EXE[X] = 6 4.Oncommenceparremarquerle´quivalencesuivante 1 13 |X1|<< X <. 2 22 Onsesertalorsdelafonctionder´epartitionpourcalculerlaprobabilit´edecette´ev`enement.      1 1 33 1 P|X1|<=P< X <=FF 2 2 22 2 9 1 =+ 318 8 3 = 4
2
Remarque.Ons.beamnjeeisemegide´rcaLe`rtt´dseluclnosssdanscetetaill´eecoprunuetxereic plus vite dans la suite sauf les questions nouvelles.
Exercice 2 :
1. Pourrappel,festeise´stnemeluituesenofcnitnoededsnit´edeprobabilit Z +f0, f(x) dx= 1. −∞ Commen¸consparcalculerlint´egraledefsurRpourλquelconque. Z +Z1 10 0 λ λ f(x) dy= dy=2 −∞1x x 1 9λ = 10 Parconditionn´ecessaire,sifseutenlae´srodedeitnsncfoonti Z +10 f(x) dx= 1λ=. −∞9 10 Re´proquement,siλ= ,alors 9 10 2si 1x10 9x f(x) = 0 ailleurs R +Doncf0 (etf(x) dx=1).Onendude´tifioctedndsienedt´enutsnofee −∞ 10 probabilite´sietseulementsiλ= . 9 2. Z Z +10 10 E[X] =xf(x) dx= dx 9x −∞1  10 10 = ln(x) 9 1 10 ln(10) =. 9 Z Z +10   10 2 2 EX=x f(x) dx= dx 9 −∞1   10 10 =y 9 1 = 10.   2   210 ln(10) 2 V(X) =EXE[X10] =9
3
3.
4.
Exercice 4 :
Z t0 R t 10 101 F(t) =f(x) dx=2dx= 11 9x9t −∞ 1
sit <1 si 1t <10 sit10
7 P(X >3) = 1P(X3) = 1F(3) = 27 4 P(X >2) = 1P(X2) = 1F(2) = 9
1. OnnoteXsen)ehru(sneetpmlehcam.enirapealreporer´urce´eaisse´c,etsl´enoncDapr`es 1 unevariableal´eatoirecontinuedeloiE( ). 2 (a) Z x 2e 2 P(X >2) = 1P(X2) = 1dx 02 x2 = 1− −e 2 0 1 =e 1 (b)Dapre`slecours,E[X.] = 2 2.(a)Commenconsparcalculerlaprobabilite´queT70 pourλ >0 quelconque. Z 70  70 λxλx P(T70) =λedx=e 0 0 70λ = 1e Alors ln(0.95) P(T70) = 0.05λ=70 Notez qu’on a bienλ >0 puisque ln(0.95)<0. (b)Paruncalcultre`ssimilaireauxpr´ec´edents, 3 ln(0.95) P(T >30) = 1P(T30) =e 7 Exercice 5 :
1.Commenconsparcalculerlint´egralesurRde la fonctionfpourθquelconque. Z ZZ θ +∞ −θ x1x1 2 f(y) dy=− −dy+dy −∞ −θθ2θ2 θ 2   θ θ 222 x xx x =− −+2θ2 2θ2θ θ 2 θ = 4
4
Uneautreme´thodeplusge´om´etriqueconsiste`atracerlacourbedefet calculer l’aire entrecelle-cietlaxedesabscisses.Celarevient`afairelasommedelairededeuxtriangles identiques. Parconditionne´cessaire,sifae´tsroltsnuectioefonensinded Z +f(y) dy= 1θ= 4. −∞ R´eciproquement,siθ= 4, alors x1 − −si4< x <2 4 2 x1 f(x) =si 2< x <4 4 2 0 ailleurs Onend´eduitf0. Doncf´eitprdedeonnsdeise´estebabotiliiulementsnotcnufeets θ= 4. 2.0 six <4 R2 t x1x x − −dx=− −si4x <2 2 84 42 R 2 x1 1 F(t) =− −dx= si4x <2 2 24 4 R R2 2t x1x1x x − −dx+dx=si 2+ 1x <4 8 24 22 24 4 1 six4 3. Z +E[X] =xf(x) dx −∞ Z Z 2 24 2 x xx x =− −dx+dx 4 24 2 4 2
Ilyadeuxm´ethodespourcalculercettesomme.Lam´ethodedecalculhabituelleviades primitives, ou plus astucieusement, en effectuant le changement de variabley=xdans lunedesint´egrales.Onserame`nealorsa` Z Z 2 24 2 (y)y xx E[X] =− −(dy) +dx 4 24 2 4 2 Z Z 4 24 2 y yx x =− −dy+dx 24 224 2 = 0
2 Lesp´erancedeX´etantnulle,onaV(X) =E[X]. Z +  2 2 EX=x f(x) dx −∞ Z Z 3 22 42 3 x xx x =− −dx+dx 44 224 2
Ilyadeuxme´thodespourcalculercettequantit´e.Lam´ethodedecalculhabituelleviades primitives, ou plus astucieusement, en effectuant le changement de variabley=xdans
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