Université de Nice Sophia Antipolis Année Universitaire L2 MI Statistique TD de Statistique

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 2011/2012 L2 MI Statistique TD de Statistique Feuille de TD n˚ 3 Mme Malot Variables aléatoires continues Durée : 1 à 2 semaines Remarque 1 En raison de la diversité des parcours au sein de la filière, cette feuille et toutes les suivantes seront organisées de la façon suivante : • Une première partie sera commune à tous. • Une seconde partie sera spécifique aux étudiants ayant 3h de TD par semaine. 1 Partie commune Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité est donnée par : f(x) = ? ?? ?? x si x ? [0, 1] 2? x si x ? [1, 2] 0 ailleurs 1. Déterminer la fonction de répartition F de X. Tracer son graphe ainsi que celui de f . 2. Déterminer la médiane de X. 3. Calculer son espérance et sa variance. 4. CalculerP (|X ? 1| < 1/2). Exercice 2 : On considère une variable aléatoire X réelle dont la densité de probabilité est définie par : f(x) = { ?x?2 si x ? [1, 10] 0 ailleurs 1. Pour quelle valeur de K la fonction f est bien une densité de probabilité? 2.

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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UniversitÉ de Nice Sophia-Antipolis L2 MI TD de Statistique
AnnÉe Universitaire 2011/2012 Statistique
Feuille de TD n˚3 Mme Malot Variables alÉatoires continues DurÉe :1 À 2 semaines
Remarque 1 En raison de la diversitÉ des parcours au sein de la filiÈre, cette feuille et toutes les suivantes seront organisÉes de la faÇon suivante :
Une premiÈre partie sera commune À tous.
Une seconde partie sera spÉcifique aux Étudiants ayant 3h de TD par semaine.
1 Partiecommune Exercice 1 : SoitXune variable alÉatoire dont la fonction de densitÉ est donnÉe par : xsix[0,1] f(x) =2xsix[1,2] 0ailleurs 1. DÉterminerla fonction de rÉpartitionFdeXson graphe ainsi que celui de. Tracerf. 2. DÉterminerla mÉdiane deX. 3. Calculerson espÉrance et sa variance. 4. CalculerP(|X1|<1/2). Exercice 2 : On considÈre une variable alÉatoireXrÉelle dont la densitÉ de probabilitÉ est dÉfinie par : ( 2 λxsix[1,10] f(x) = 0ailleurs 1. Pourquelle valeur deKla fonctionfest bien une densitÉ de probabilitÉ? 2. DÉterminerl’espÉrance et la variance.
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3. DÉterminerla fonction de rÉpartition. 4. CalculerP(X >3)etP(X >2). Exercice 3 : SoitXune variable alÉatoire rÉelle dont la fonction de rÉpartition est donnÉe par : 0six <2 1 ax+bsi2< x <1 4 F(x) = 2 cx+si1< x <2 3 1si2< x 1. DÉterminera,betcpour queFsoit bien une fonction de rÉpartition. 2. CalculerP(3/2< X <0). 3. DÉterminerla mÉdiane et l’espÉrance deX. Exercice 4 :
1. Le temps, mesurÉ en heures, nÉcessaire pour rÉparer une certaine machine suit la loi exponentielle de paramÈtreλ= 1/2. (a) Quelleest la probabilitÉ que le temps de rÉparation excÈde deux heures? (b) Calculerle temps moyen d’attente. 2. SoitTune variable de loi exponentielle de paramÈtreλ >0. (a) Trouverle paramÈtreλde cette loi sachant queP(T70) = 0.05. (b) DÉduisez-enP(T >30). Exercice 5 : On considÈre la fonctionfdÉfinie par : x 1/2siθ < x≤ −θ/2 θ x f(x) =1/2siθ/2< xθ θ 0ailleurs θest un rÉel positif. 1. DÉterminerθpour quefsoit une fonction de densitÉ. 2. DÉterminerla fonction de rÉpartitionFassociÉe À cette densitÉ. 3. CalculerE(X)etV(X), oÙXest une variable alÉatoire de densitÉf. Exercice 6 : SoitXune variable alÉatoire de loi normale centrÉe rÉduite. Calculer les probabilitÉs suivantes : P(0< X <1), P(1< X <1), P(2< X <1), P(0.7< X <0.3), P(1< X <2).
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Exercice 7 : SoitXune variable alÉatoire de loi normale d’espÉrance2et de variance4. Calculer les probabilitÉs suivantes : P(0< X <1), P(0< X <0.5), P(1< X <1), P(2< X <1), P(0.7< X <0.3), P(1< X <2). Exercice 8 : SoitXune variable alÉatoire de loi normale centrÉe rÉduite. Calculer pour chacune des probabilitÉs ci-aprÈs, la valeur du paramÈtrea: P(0< X < a) = 95%, P(a < X < a) = 96%, P(a < X) = 5%, P(a <|X|) = 2%. Exercice 9 : Dans une riviÈre,2%des poissons sont rouges.On pÈche150la probabilitÉpoissons. Calculer de prendre plus de3poissons rouges.
2 PartiespÉcifique
Exercice 1 : On considÈre une variable alÉatoire rÉelleXdont la densitÉ de probabilitÉ est dÉfinie par : ( 1 six[0,4] 4 f(x) = 0ailleurs 1. DÉterminerla loi de la variableY=4X+ 3. 2 2. DÉterminerla loi de la variableZ=X. Exercice 2 : Soit une variable alÉatoireXdont la densitÉ est : ( x2 2 2exp(x /(2α))six0 α f(x) = 0ailleurs 2 2 1. Montrerque la fonction de rÉpartition deXestFX(x) = 1expx /(2α). 2. DÉterminerune expression pour le p-iÈme percentile. 3. Montrerpar le calcul que : 0.5 2 E(X) =α(π/2)V(X) =α(4π)/2 Exercice 3 : Soitα >2et soitfla fonction dÉfinie par : ( α1 cxsix[1,+[ f(x) = 0ailleurs 1. DÉterminercen fonction deαpour quefsoit une fonction de densitÉ.
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2. On choisit dÉsormaisccomme ci-dessus.SoitXune variable alÉatoire de densitÉf. DÉterminer la fonction de rÉpartition deX. 3. SoitYune variable alÉatoire de mme loi queXet indÉpendante deXla. DÉterminer fonction de rÉpartition et la densitÉ de la variableZ=min(X, Y). 4. Calculer,en fonction deα, l’espÉrance et la variance deX. 5. DÉterminerαlorsqueE(X) = 4/3. Exercice 4 : SoitXune variable alÉatoire de loi exponentielle de paramÈtreλ >0. 1. Onnote[x]la partie entiÈre du nombre rÉelxet l’on poseT= [X] + 1sont les. Quelles λλ valeurs prises parTen fonction de? DÉterminerp= 1eetq=ela loi deT. 2. SoitYune variable alÉatoire indÉpendante deXet de mme loi queXla loi. DÉterminer demin(X, Y)et demax(X, Y). Exercice 5 : SoitXune variable alÉatoire de densitÉfcontinue et strictement positive, de fonction de rÉpartitionF. Exprimer À l’aide defetF, la densitÉ et la fonction de rÉpartition des variables alÉatoires suivantes : 1.Y=aX+b,aRetbR 2.Z=|X| 3.T=ln(|X|) 4.U=F(X) 5.V= [X] Exercice 6 : SoitXune variable alÉatoire de loi normale d’espÉrance1et de variance25. Calculer pour chacune des probabilitÉs ci-aprÈs, la valeur du paramÈtrea: P(1< X < a) = 90%, P(a+ 1< X < a+ 1) = 95%, P(a+ 1< X) = 2%, P(a <|X1|) = 5%. Exercice 7 : Un marchand vend des sacs de50graines qui ont chacune une probabilitÉ de germer Égale À 99%. Ilpromet de remplacer tout sac dont au moins trois graines n’ont pas germÉ.S’il vend 1100sacs, quelle est la probabilitÉ qu’il remplace40sacs?
Exercice 8 : La probabilitÉ pour qu’une place rÉservÉe dans un avion soit effectivement occupÉe par la client qui l’a rÉservÉe est de80%. Quelest le nombre maximum de rÉservations que l’on peut accepter dans un avion de 400 places pour que la probabilitÉ de sur-rÉservation soit infÉrieure À5%?
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Exercice 9 : On reprend l’exercice3de la partie spÉcifique de la feuille de TD prÉcÉdente. A l’aide de l’inÉgalitÉ de BienaymÉ Tchebichev, dÉterminer unε >0tel que P(|X4/3|> ε)1%et ceci pour la valeur deαqui avait ÉtÉ dÉterminÉe prÉcÉdemment.
Exercice 10 : Il a ÉtÉ Établi que la durÉeXd’un appareil suit une distribution gamma dont la fonction de densitÉ est : f(x) =xexp (x)x >0 On considÈre un Échantillon alÉatoire de49de ces appareils. P 49 ¯ 1. Quelleest la loi de probabilitÉ approximative deX=xi/49? i=1 ¯ 2. CalculerP(1.8X2.1). Exercice 11 : Dans un contrÔle de qualitÉ en cours de rÉception on doit prÉlever un Échantillon de taillen d’un lot contenant 10% de dÉfectueux.Calculer la taille nÉcessaire afin que P(0.05X/n0.15) = 0.95 XreprÉsente le nombre de dÉfectueux dans l’Échantillon.
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