UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS Faculte des Sciences L3 de Mathematiques Departement de Mathematiques Algebre et Geometrie

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2010/2011 Faculte des Sciences L3 de Mathematiques Departement de Mathematiques Algebre et Geometrie Examen. Duree 2 heures Documents, telephones portables, calculatrices sont interdits. Justifier toute reponse. A moins que l'enonce d'une question ne vous dise le contraire, vous pouvez uti- liser librement les resultats du cours sans les redemontrer. Ces resultats doivent etre citer correctement. Corrige : Exercice 2. 1. Donner une reduction de type Dunford ou Jordan de l'endomorphisme f ? L(R3) dont la matrice dans la base canonique est : A = ? ? ?2 1 0 0 ?1 1 0 0 ?1 ? ? . 2. Quel est le polynome minimal de A ? La decomposition de Dunford est ? ? ?2 1 0 0 ?1 1 0 0 ?1 ? ? = ? ? ?2 1 ?1 0 ?1 0 0 0 ?1 ? ?+ ? ? 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ? ? Dans la base e1, e1 + e2, e2 + e3 la matrice de f est A = ? ? ?2 0 0 0 ?1 1 0 0 ?1 ? ? . Le polynome minimal est (X + 1)2(X + 2) Exercice 1.

• rotation de r2 d'angle pi


• matrice hermitienne


• faculte des sciences l3 de mathematiques departement de mathematiques algebre

Sujets

• Hermitien

Informations

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• Langue: Français

Extrait

´ UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS Faculte´desSciences De´partementdeMathe´matiques

2010/2011 L3deMath´ematiques Alg`ebreetGe´ome´trie Examen.Dure´e2heures

Documents,t´ele´phonesportables,calculatricessontinterdits. ` Justifiertouter´eponse.Amoinsquel’e´nonce´d’unequestionnevousdiselecontraire,vouspouvezuti- liserlibrementlesre´sultatsducourssanslesrede´montrer.Cesr´esultatsdoiventeˆtrecitercorrectement. Corrige´:

Exercice 2. 3 1.Donnerunere´ductiondetypeDunfordouJordandel’endomorphismef∈ L(R) dont la matrice dans la base canonique est :   −02 1   A= 0−1 1. 0 0−1 2.QuelestlepolynˆomeminimaldeA? Lade´compositiondeDunfordest     −2 10−2 1−0 11 0     0−= 01 1−0 11 0+ 0 0 0−1 00−0 01 0 Dans la basee 1 ,e 1 +e 2 ,e 2 +e 3 la matrice defest   −02 0   A = 0−1 1 . 0 0−1 2 Lepolynˆomeminimalest(X(+ 1)X+ 2)

Exercice 1.SoitKun corps commutatif et soitEunK-espace vectoriel de dimension finie. 1.Compl´eterl’enonc´esuivant: (De´compositiondeDunford.)Soitf∈ L(E)nyoˆemacartce´irdontlepol....................tseeuqits surK. Alors il existe un coupled∈ L(E),n∈ L(E)tel que (i)f=d+n (ii)dest ................... etnest ................... (iii)d◦n=∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙. De plus,destnolspˆoynsodentesemnfynˆospoltedeexisems.a`.li.dc,PetQdeK[X]tels que d=P(f)etn=Q(f). 0 00 2. (a)Soientn∈ L(E) etn∈ L(E) deux endomorphismes nilpotents deEtels quen◦n=n◦n. 0 Montrer quen−nest nilpotent. (Indice:formuledubinoˆme) 0 0 (b) Soientd∈ L(E) etd∈ L(E) deux endomorphismes diagonalisables deEtels qued◦d= 0 0 d◦d. Montrer qued−dest diagonalisable.

(c) Montrerque sig∈ L(E) est diagonalisable et nilpotent alorsg= 0. 0 0 (d)(Unicit´edelad´ecompositiondeDunford).Soitf=d+n=d+nsotioisn´exdmpcoeud 0 0 de Dunford defeuq)c(te)b(,)aduirede(.D´ed=detn=n, ”scind´e”,”diagonalisable”,”nilpotent”,d◦n=n◦d. N0N SoitN= dimE. Alorsn= 0etn= 0et 2N   X 2N 02N2N−i i02N−i (n−n) =(−1)n(n) i i=o est nul puisque soiti≥Nsoit2N−i≥N 0 Parunre´sultatducoursonpeutdiagonaliserdetdxeuededcnereffidalteesabˆemeslamdan matrices diagonales est une matrice diagonale. N NN g(λ On peut supposergdiagonale :g=Diag(λ 1 , . . . , λ N ). Alors0 =g=Dia 1 , . . . , λ).D’o`uλ i = 0 N pour touti. 0 00 0 Sid+n=d+nalorsd−d=n−n. En plus,dcommute avecfet aussi avecdemoˆnuqeitsnuopyl 0 0 enf. Doncd−d=n−nlbeeilasogandsaidoncntetpotetnillun).`rpac(seoiafalt`es

Exercice 2. 3 1.Donneruner´eductiondetypeDunfordouJordandel’endomorphismef∈ L(R) dont la matrice dans la base canonique est :   −02 1   A= 0−1 1. 0 0−1 2.QuelestlepolynˆomeminimaldeA? Lade´compositiondeDunfordest     −02 1−2 1−1 00 1     0−1 1= 0−1 0+ 00 1 0 0−01 0−1 00 0 Dans la basee 1 ,e 1 +e 2 ,e 2 +e 3 la matrice defest   −2 00   A = 0−1 1 . 0 0−1 2 Lepolynˆomeminimalest(X(+ 1)X+ 2)

Exercice 3.onslamatonsid´erCirec   1 0i   A 2 0= 0 ∈ M 3 (C). −i0 1

1.R´epondre(sanscalcul)auxquestionssuivantes: Est-ce que les valeurs propres deA?sons´etrleel −1 Existe-t-il une matrice unitaireUtelle queU AU?est diagonale 2 2.Montrerqu’ilexisteunematricehermitienned´efiniepositiveRtelle queR=A. 2 3. Existe-t-ilune matrice hermitienneStelle queS=−A?

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1. ”oui” et ”oui” puisqueAest hermitienne 2.Ilfautv´erifierqueA.retsveyleSedert`riecitive.Onutiliselets´dfieinpeso 3. Non. Supposons par absurde qu’une telleSexiste. Les valeurs propres de−A´rtneleeosmentsstricte n´egativesetcellesdeSe.saMsiopre´leeleurproprurunvectvdeSde valeur propreλ∈R: 2 2 −Av=S v=λ v L’absurde.

Exercice 4.naviussnoitisopoceertronemd´s,teesprrmilPaellesquisontvraieesdtnoenurcnnort exemple pour celles qui sont fausses. 1. SoitKun corps commutatif et soitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Soitf∈GL(E) −1 un endomorphisme inversible. Alorsfynˆomeenestunpolfmeˆoynolnpeutsixeli.d.a`.c, −1 P∈K[X] tel quef=P(f). 2. SoitEun espace euclidien etf∈ L(E) tel que pour toutx∈El’on ait hf(x)|xi= 0. Alorsfest nul. 3.Toutematricesyme´triquere´elledonttouslescoefficientssontstrictementpositifsestd´efinie positive. 4.Toutematriceorthogonaleettriangulairesupe´rieureestdiagonale. n n−1 1. Oui. Soitχ f (X) =X+a 1 x+∙ ∙ ∙+a n ynˆoepolractmecatsqie´lireuedf,a n 6= 0puisque0n’est pas une valeur propre def. Alors −1 n−1n−2 I E =f(f+a 1 f+∙ ∙ ∙a 2 ). a n 2 2. NON. Nous pouvons prendre comme exemple la rotation deRd’angleπ/2.   1 2 3.NON.Parexemple,dontlede´terminantestne´gative. 2 1 −1t 4. OUI. SiAnagohortsoralleieureetoresup´eraignluiaetsrtAirttserialugna´eriesupeteureAest −1t t triangulaireinf´erieure.MaisA=A, doncAtiodˆetrediagonale.

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