UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS Faculte des Sciences Preparation a l'agregation Departement de Mathematiques Developpement Resultants

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Niveau: Supérieur, Bac+8
UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2010/2011 Faculte des Sciences Preparation a l'agregation Departement de Mathematiques Developpement : Resultants Definition. Soit A un anneau (commutatif et unitaire) et soient P (T ) = apT P + ap?1T p?1 + · · · a0, Q(T ) = bqT q + bq?1T q?1 + · · ·+ b0 deux polynomes non-nuls de A[X] tel que ap 6= 0, bq 6= 0 et p + q > 0. La matrice de Sylvester associee a P et Q est la matrice carree (p + q)? (p + q) definie ainsi SP,Q = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ap ap?1 ap?2 . . . 0 0 0 0 ap ap?1 . . . 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . a1 a0 0 0 0 0 . . . a2 a1 a0 bq bq?1 bq?2 . . . 0 0 0 0 bq bq?1 . . . 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . b1 b0 0 0 0 0 . . . b2 b1 b0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (Il y a q lignes avec les coefficients de P .

  • bq bq?1

  • a1 a0

  • determinant

  • identite de bezout

  • polynomes unitaires

  • polynome unitaire en ti

  • bq?1 bq?2

  • matrice de sylvester associee


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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´ UNIVERSITE DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS Faculte´desSciences D´epartementdeMath´ematiques
D´enition.SoitAun anneau (commutatif et unitaire) et soient
P p1 P(T) =apT+ap1T+∙ ∙ ∙a0,
Pre´paration`a De´veloppement
2010/2011 lagre´gation :Re´sultants
q q1 Q(T) =bqT+bq1T+∙ ∙ ∙+b0
deuxpolynoˆmesnon-nulsdeA[X]tel queap6= 0,bq6= 0etp+q >0.La matrice de Sylvesterassocie´e`aPetQirtamalte´rracecees(p+q)×(p+q)niisinaed´e  apap1ap2. . .0 0 0 0apap1. . .0 0 0 . ... .. . 0 00a. . .1a00 0 00a. . .2a1a0 SP,Q= bqbq1bq2. . .0 0 0 0bqbq1. . .0 0 0 . .. .. . .   0 00. . .b1b00 0 00. . .b2b1b0
(Il y aqlignes avec les coefficients deP.) Lede´terminantdelamatriceSP,Qatseleppe´e´draltutsnePetQesarteenot´resT(P, Q).
Remarque.tlusereLesomnˆlypoestdannestadsna`oceicint`egreunanneauA, pourrais toujoursˆetrecalcule´danslecorpsdesfractionF r(A) deArbqigle´`o,euedslacudanurealˆot F r(A), puisqueA ⊂F r(A).
Th´eor`eme1.SiAelcsnoiditnossiuestint`egrealorss:teenalviuqe´tnossetnav 1.resT(P, Q) = 0. 2.ilexistedespolynˆomesnon-nulsU, VdeA[T]tels quedegU <q,degV <pet
U(T)P(T) +V(T)Q(T) = 0.
Si, en plus,Actorielaestfassno´tqeolsrleel`aesvauintle 3.deg pgcd(P, Q)>0.
The´ore`me2.SupposonsArpansnoigdtsergeetne`iα1, . . . , αp, resp.β1, . . . , βq, les racines de P, resp.Qenods,danslaclˆrutoglaerbe´euqicodusdrpfrestiacA. Alors p q Y Y q p b(αβ). resT(P, Q) =ap qi j i=1j=1 1
t Notonsquelamatricetranspose´eSP.Qest la matrice du morphisme desA-modules R:Aq[T]× Ap[T]→ Ap+q[T],(U, V)U P+V Q q1q2p1p2p+q1 dans les bases (T ,0),(T ,0), . . . ,(1,0),(0, T),(0, T), . . . ,(0,1) et. . . ,T ,1.
Identit´edeBezout: Dans l’anneauZ[Ap, . . . , A0, Bq, . . . , B0][TerstveyleSedcirtamalsnore´dicons]SP.Qdes po-lynˆomes P p1q q1 P(A, T) =ApT+Ap1T+∙ ∙ ∙A0, Q(T) =BqT+Bq1T+∙ ∙ ∙+B0, o`uAp, . . . , A0, Bq, . . . , B0eterind´ees.min´ecttaDsnirecmetafaonr´itppeaaˆarertıselsedtnos p+qj polynoˆmesPetQdansladernie`erocolnneemnlualtnailpijceme`-rpaneonolTet en lajoutant`aladerni`erecolonne.Onobtient   q1 ApAp1Ap2. . .0 0T P(T) q2 0ApAp1. . .0 0T P(T) . .. ... . 0 00. . .A1A0T P(T) 0 00. . .A2A1P(T) p1 BqBq1Bq2. . .0 0T Q(T) p2 0BqBq1. . .0 0T Q(T) .. . .. ..     0 00B. . .1B0T Q(T) 0 00B. . .2B1Q(T) Ende´veloppantlelongdeladernie`recolonneonobtientunerelation resT(P, Q) =U(A, B, T)P(A, T) +V(A, B, T)Q(B, T), o`uU, VZ[Ap, . . . , A0, Bq, . . . , B0, T].
PreuveduTh´eor`eme1.Si resT(P, Qoral=0)noitauqe´lsR(U, V) = 0 admet une solution non-nulle (dansF r(A) et donc dansA). SiU6= 0 alorsV6=.0¸Cmanortqeeu1.donne2. R´eciproquement,siresT(P, Q)6tntiiedeBoze´ed0a=ut,rlparsloPetQsont premiers entre eux dansF r(Aqeaulc´D.no)ontiR(U, V) = 0 n’a pas de solutions non-nulles. L´equivalencede2.et3.dansunanneaufactorielestclassique.
PreuveduThe´ore`me2. Consid´eronslere´sultantdesdeuxpolynˆomesdeZ[Ap, Bq, T1, . . . , Tp, U1, . . . Uq][T] P(T) =Ap(TT1)∙ ∙ ∙(TTp), Q(T) =Bq(TU1)∙ ∙ ∙(TUq). DansZ[Ap, Bq, T1, . . . , Tp, U1, . . . Uqnnea],acnnoleo,otirfucael´enemd`sielert Y q p S=A B(T p qiUj). i,j 2
q pk Nous allet levise chacuneres(P, Q). Le coefficient deT ons montrer queA,BqsTiUjdiT p pk est (1)Apσpk(T1, . . . , Tp). AlorsApdivise chaque terme deqpremiers lignes deSP,Q. Ainsi q AdiviseresT(P, Q). p On diviseresT(P, Q) parTiUjirtanieuomynolepmmoce´re´disnoceenTi. Le reste de la division estlere´sultantdespolynˆomesPestQou on remplaceTiparUilynˆomesuxdeuxpont.uoenC facteurTiUj,nummocpcnodtseAll.sorustlrre´tsunnaet´eorarTh1leu`emeresT(P, Q) est divisible parS: resT(P, Q) =λS Lecalculdedegr´ederesT(P, Q) par rapport auxTi, resp.Ujedenaseppases,tnomuqerdece´rge p q q, resp.p.ˆMuormepeAp, resp.Bq. AlorsλZeplemexne´rP.emmocsnoP= (T+1), Q=T, pour calculer que, en faitλ= 1 : Y q p res(P, Q) =A B T pq(TiUj). i,j
C¸aterminelad´emonstrationduTh´eor`eme2.
R´efe´rences:R.Goblot,Alge`brecommutative.Coursetexercicescorrig´es,Dunod) Le¸consconcern´ees: 117Alge`bredespolynoˆmes`annie´etmrse(´endin2.)nˆomPolym´etessylippticaquri.Aes.sno 123De´terminant.Exemplesetapplications.. 140Syste`mesd´equationsline´aires.Syste´mes´echelonn´es.Re´solution.Exemplesetapplications. 146R´esultantdedeuxpolynˆomes,application`alintrsectiondecourbesoudesurfacesalge´briques.
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Exercice 1. pq 1. Montrerque res(Q, P) = (1) res(P, Q). 2. Calculerres(P, P). 3. Calculerres(Q, Pe´rgededsemoˆlespolyn)pour2. 4.Sousleshypothe`sesduThe´ore`me2montrerque p q Y Y q pqp res (=a Q(α) = (1)b TP, Q)p iqP(βj). i=1j=1
2 2 Exercice 2.estranltClaucellrree´usY(P, Qoˆnylopsde)semP=XXY+Y1 et 2 2 Q= 2X+YYp2ralberraoa`itlaarvpapYltat´esurlerliseU.ittsinopselrevuortruop dintersectiondesellipsesde´quationsP= 0 etQ= 0.
Exercice 3.SoientAetBpouxnˆlydedeomesK[X`u],oKocprtsnurbqi.saFeolnpruuemeˆoyn dont les racines sont les sommes d’une racine deAet d’une racine deB. (Quels sont lesYtels quelesyste`meA(X) =B(YX?)) = 0 ait une solution √ √ Fabriquerunpolynˆome`acoecientsentiersquia2+3pourracine,etunautrequia √ √ 3 2 +7 comme racine.
Exercice 4.SoientKun corps,f, gK[X],α1, ..., αnsoedz´erlesfetβ1, ..., βmszlero´eesd gerz´soos:nton.Curts(erietnesemrder´esultants)unopylˆnmodenoltse 1.αi+βjaveci∈ {1, ..., n}etj∈ {1, ..., m}. 2.αiβjaveci∈ {1, ..., n}etj∈ {1, ..., m}. 3.αiβjaveci∈ {1, ..., n}etj∈ {1, ..., m}. 4.αijaveci∈ {1, ..., n}etj∈ {1, ..., m}(on supposeg(0)6= 0). On dit quezCicartseliseuqirenomnˆlypoundneicneocelua`non-s.tiertsenstalg´ebe Montrerquelesnombresalg´ebriquesformentuncorps.
Exercice 5.ruebaloc´mteapar´equerlondeuatiCemmoaftnqirbrpaeer´x=A(t)/B(t), y= 2 22 F(t)/G(tuo`,)A, B, F, Ges?Exemppolynˆomsnodtse:elx=t+t+ 1, y= (t1)/(t+ 1).
Exercice 6.t]ezouedeB`rme´hoeT[ SoientP, QC[X, YsryelnetuMeoxrq.deumree`netsrteoeiitmaeurqpe]´snP(x, y) = Q(x, y) = 0 admet au plus degPdegQsolutions.
Exercice 7.(Discriminant) Soit P p1 P(T) =apT+ap1T+∙ ∙ ∙a0, ap6= 0, p>1 unpolynoˆme`acoecientsdansuncorpsKca´tceradro.Sez´etiquerisneiotα1, ..., αplesp racines dePceumtlpitpe´sevadansuncolicit´e)sotnlclg´eropms(acuemebriqKcontenantK.
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