Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 11-12 semestre 1 2 Quelques structures algebriques L'ensemble des nombres rationnels est muni de deux operations ou de deux lois internes : l'addition et la multiplication verifiant des proprietes utilisees usuellement. Dans ce cours, nous rencontrerons de nombreux ensembles munis de lois verifiant des proprietes qui gouvernent les calculs entre leurs elements. Dans ce paragraphe, nous donnons afin de pouvoir s'y referer les definitions de quelques structures algebriques de base : groupes, groupes commutatifs, anneaux, anneaux commutatifs, corps, espaces-vectoriels sur un corps. 2.1 Groupes Groupes : Un ensemble G muni d'une loi de composition interne : G?G ?? G : (x, y) 7?? x ? y est un groupe groupe si les trois proprietes suivantes sont verifiees : i) La loi est associative : ?x, y, z ? G , (x ? y) ? z = x ? (y ? z) . Cet element est alors note x ? y ? z. ii) Existence d'un element neutre : il existe e ? G tel que pour tout x ? G : x ? e = e ? x = x . Cet element est alors unique et est appele l'element neutre du groupe. iii) Existence d'un symetrique : pour tout element x ? G, il existe un element x? ? G tel que x ? x? = x? ? x = e .

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  • loi multiplicative

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Universit´edeNiceSophia-Antipolis 11-12
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Quelques structures
alge´briques
L1-MPAlg´ebre semestre 1
Lensembledesnombresrationnelsestmunidedeuxop´erationsoudedeuxloisinternes:ladditionetla multiplicationve´riantdespropri´etesutilise´esusuellement.Danscecours,nousrencontreronsdenombreux ensemblesmunisdeloisv´eriantdespropri´et´esquigouvernentlescalculsentreleurs´el´ements.Dansce paragraphe,nousdonnonsandepouvoirsyr´ef´ererlesde´nitionsdequelquesstructuresalge´briquesde base : groupes, groupes commutatifs, anneaux, anneaux commutatifs, corps, espaces-vectoriels sur un corps.
2.1 Groupes Groupes: Un ensembleGmuni d’une loi de composition interne :
G×G−→G: (x, y)7xy
est un groupegroupeetnaviusse´te´irs:ee´ri´etvonssproproislestsi
i) La loi est associative : x, y, zG Cet´ele´mentestalorsnot´exyz.
,
(xy)z=x(yz).
ii) Existence d’une´entnl´emeeutrexiste: il eGtel que pour toutxG:
xe=ex=x .
Cete´l´ementestalorsuniqueetestappel´el´ele´mentneutredugroupe.
0 iii) Existence d’uniruq´mteysel´emut´eurto:potnexGnteln´me´eixeluetsi,xGtel que
0 0 xx=xx=e .
1
0 Cete´l´ementxeselI.euqinusrolatelesym´estappel´rtqieuedx. Silaloidungroupeestnote´e.ssnaengisuoqirte´mye´nudeuteneml´lee´l,´entuemtntnotreestles´e1e 1 xdeG´tenostex.
Exemple de base : SiXest un ensemble,S(X) l’ensemble des applications bijectives deXversXmuni de la loi de composition est un groupe.
Groupescommutatifs
: Le groupeGest ditale´bienoucommutatifsi et seulement si :
x, yG
,
xy=yx .
Silaloidungroupecommutatifestnote´e+,l´el´ementneutreestnot´e0,lesym´etriquedune´l´ementx deGnot´eetsxet pour toutx, yG, nous notonsx+ (y) =xy.
Exemple de base : L’ensembleZdes entiers relatifs muni de la loi d’addition est un groupe commutatif note´(Z,+).
Sous-groupes: SoitGun groupe pour la loietHun sous-ensemble deGsupposons que. Nous H ve´rielestroispropri´et´es:
i)x, yxH , yH . ii) Le neutre deGest dansH. 0 iii) Pour toutxHtriquesel,e´myxdexest dansH.
Alors la loiinduit surHune loi de composition interne qui munitHd’une structure de groupe. Nous disons alors queHestun sous-groupedeG.
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Exemple de base : L’ensembleZdes entiers relatifs multiple de 17 est muni de la loi d’addition est un sous-groupe du groupeZ,+.
Morphismesdegroupes: cation entre deux groupes qui sontdeuxgroupesde´l´ements de groupe lorsque :
Unmorphisme de groupes ou homomorphisme de groupesest une appli-0 respectelesstructuresdesgroupes.Pluspr´ecis´ement,si(G,) et (G , ?) 0 0 neutres respectifseete, une applicationf:GGest un morphisme
x, yG
,
f(xy) =f(x)? f(y).
Lesdeuxproprie´t´essuivantessontdesconse´quencesimm´ediatesdelad´enition:
0 f(e) =e
et
11 xG, f(x) = [f(x)].
Exemple de base : L’application de multiplication par 17 :
estunmorphismedugroupe(Z,+).
2.2
Anneaux
Anneaux
ZZ:m7→17m
: Un ensembleAmuni de deux lois de composition interne :
A×A−→A: (x, y)7x+ydite additive
A×A−→A: (x, y)7xydite multiplicative est unanneauuasqeptrprroeti´elisntsoesntvauiss´e:see´ire´v
i) La loi additive est une loi de groupe commutatif.
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ii) La loi multiplicative est associative :
x, y, zA
,
(xy)z=x(yz).
iii)Laloimultiplicativeestdistributiveparrapporta`laddition,cest-a`-dire:
x, y, zA
,
x(y+z) =x y+x z
et
(y+z)x=y x+z x .
iv)Laloimultiplicativeaun´el´ementneutre:ilexisteeAtel que pour toutxA:
Cete´l´ementestalorsuniqueetnote´1.
xe=ex=x .
Lesdeuxproprie´te´ssuivantessontdescons´equencesimme´diatesdelade´nition:
x, y, zA,
0x= 0
,
x(yz) =x yx z
et
(yz)x=y xz x .
Exemple de base : Soitnun entier, l’ensembleMn(R) des matricesn×n`oeaciecsrnte´lemsnudie sa loi d’addition et de produit est un anneau.
Anneaux cest`adire
commutatifs :
: L’anneauAest ditcommutatifsi la loi multiplicative est commutative,
x, yA
,
xy=yx .
Exemple de base : L’ensembleZdes entiers relatifs munis des lois d’addition et de multiplication.
´ El´ementsinversiblesdunanneau 0 aAtel que
:Un´ele´mentad’un anneauAest ditinversible, s’il existe
0 0 aa=a a= 1.
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1 Cet´el´ementestalorsunique,note´aatenie´leppedeversaveinibrssdlenusee´lbdenest´lmensem.Le anneauAofnemrolateolmitupiilacitevrCs.ugnegorrpouuepeetpsoounr´ltaA.
Sous-anneaux: SoitAun anneau etBun sous-ensemble deA. Nous supposons queBv´exuelesdrie proprie´te´s:
i)Best un sous-groupe deAaiddtivitna`alollativemeeedreA. ii)x, yxyB , B . iii) 1B .
alors, les lois additive et multiplicative deAdsnoitcirtserraptaenssnied´olsenisinretedseBqui munissentBd’une structure d’anneau. Nous disons alors queBest unsous-anneaudeA.
Exemple de base : Soitnun entier, le sous-ensemble des matrices diagonales est un sous-anneau de Mn(R).
Morphismes d’anneaux: Unmorphisme d’anneaux ou homomorphisme tion entre deux anneaux qui respecte les structures d’anneaux. Ainsi, siA 0 une applicationf:AAest un morphisme d’anneaux si :
x, yA , x, yA , f(1) = 1.
f(x+y) =f(x) +f(y) f(xy) =f(x)f(y).
.
11 Ilenr´esultequesiaAest inversible :f(a) = [f(a)] .
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d’anneaux 0 etAsont
est une applica-deux anneaux ,
2.3
Corps
Corpsensemble: Un Kmuni de deux lois de composition interne :
K×K−→A: (x, y)7x+ydite additive
K×K−→A: (x, y)7x ydite multiplicative est uncorpsi´etropruiva´essostntnseie´s´evr:epselis
i) Muni de la loi additive,Kest un groupe commutatif. ii) Muni de la loi multiplicative,K− {0}est un groupe commutatif. iii)Laloimultiplicativeestdistributiveparrapporta`laddition,cest-a`-dire:
x, y, zK
,
x(y+z) =x y+x z
et
(y+z)x=y x+z x .
Autrement dit un corpsKiudea`tnr´on{0}me´le´tuottnoduaveinstlenuontnenenluuosernbnia encore un anneau tel queK=K− {0}.
Exempledebase:Munisdesope´rationsusuellesdadditionetdemultiplication,lensembleRdes nombresr´eelsouCdes nombres complexes est un corps.
Sous-corps: SoitKun corps etLun sous-ensemble deKsupposons :. Nous
i)Lest pour la loi additive un sous-groupe deK, ∗ ∗ ii)Lest pour la loi multiplicative un sous-groupe deK.
alors les lois additive et multiplicative deKinduisent par restrictions des lois internes surLqui munis-sentLNous disons alors qued’une sructure de corps. Lest unsous-corpsdeK.
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