Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 09-10 semestre 1 2 Quelques structures algebriques L'ensemble des nombres rationnels est muni de deux operations ou de deux lois internes : l'addition et la multiplication verifiant des proprietes utilisees usuellement. Dans ce cours, nous rencontrerons de nombreux ensembles munis de lois verifiant des proprietes qui gouvernent les caculs entre leurs elements. Dans ce paragraphe, nous donnons afin de pouvoir s'y referer les definitions de quelques structures algebriques de base : groupes, groupes commutatifs, anneaux, anneaux commutatifs, corps, espaces-vectoriels sur un corps. 2.1 Groupes Groupes : Un ensemble G muni d'une loi de composition interne : G?G ?? G : (x, y) 7?? x ? y est un groupe groupe si les trois proprietes suivantes sont verifiees : i) La loi est associative : ?x, y, z ? G , (x ? y) ? z = x ? (y ? z) . Cet element est alors note x ? y ? z. ii) Existence d'un element neutre : il existe e ? G tel que pour tout x ? G : x ? e = e ? x = x . Cet element est alors unique et est appele l'element neutre du groupe. iii) Existence d'un symetrique : pour tout element x ? G, il existe un element x? ? G tel que x ? x? = x? ? x = e .

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  • morphismes de groupes

  • loi multiplicative

  • morphisme de groupes


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Universit´edeNiceSophia-Antipolis 09-10
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Quelques structures
alge´briques
L1-MPAlg´ebre semestre 1
Lensembledesnombresrationnelsestmunidedeuxop´erationsoudedeuxloisinternes:ladditionetla multiplicationve´riantdespropri´etesutilise´esusuellement.Danscecours,nousrencontreronsdenombreux ensemblesmunisdeloisv´eriantdespropri´et´esquigouvernentlescaculsentreleurse´l´ements.Dansce paragraphe,nousdonnonsandepouvoirsyr´efe´rerlesde´nitionsdequelquesstructuresalge´briquesde base : groupes, groupes commutatifs, anneaux, anneaux commutatifs, corps, espaces-vectoriels sur un corps.
2.1 Groupes Groupes: Un ensembleGmuni d’une loi de composition interne :
G×G−→G: (x, y)7xy
est un groupegroupesetnaviusse´te´i:es´eierv´ntsoroproispestrsil
i) La loi est associative : x, y, zG Cete´l´ementestalorsnote´xyz.
,
(xy)z=x(yz).
ii) Existence d’unntne´emele´utre: il existeeGtel que pour toutxG:
xe=ex=x .
Cet´ele´mentestalorsuniqueetestappele´le´l´ementneutredugroupe.
0 iii) Existence d’unqieue´rtsmy´emet´elrtou:poutnxGtl´´eenemsixenuetli,xGtel que
0 0 xx=xx=e .
1
0 Cet´ele´mentxsteselI.euqinusrolalesym´ettappel´eiruqdeex. Silaloidungroupeestnote´e.issn,engasuouqirte´mle´nudentme´e´lmele´uertnentnot´eestlesye1et 1 xdeGe´ottnesx.
Exemple de base : SiXest un ensemble,S(X) l’ensemble des applications bijectives deXversXmuni de la loi de composition est un groupe.
Groupescommutatifs
: Le groupeGest ditbaile´enoucommutatifsi et seulement si :
x, yG
,
xy=yx .
Silaloidungroupecommutatifestnote´e+,l´el´ementneutreestnote´0,lesym´etriquedune´le´mentx deGot´esentxet pour toutx, yG, nous notonsx+ (y) =xy.
Exemple de base : L’ensembleZdes entiers relatifs muni de la loi d’addition est un groupe commutatif note´(Z,+).
Sous-groupes: SoitGun groupe pour la loietHun sous-ensemble deGsupposons que. Nous H ve´rielestroisproprie´t´es:
i)x, yH , xyH . ii) Le neutre deGest dansH. 0 iii) Pour toutxHrique,yselte´mxdexest dansH.
Alors la loiinduit surHune loi de composition interne qui munitHd’une structure de groupe. Nous disons alors queHestun sous-groupedeG.
2
Exemple de base : L’ensembleZdes entiers relatifs multiple de 17 est muni de la loi d’addition est un sous-groupe du groupeZ,+.
Morphismesdegroupes: cation entre deux groupes qui sontdeuxgroupesd´ele´ments de groupe lorsque :
Unmorphisme de groupes ou homomorphisme de groupesest une appli-0 respectelesstructuresdesgroupes.Pluspre´cis´ement,si(G,) et (G , ?) 0 0 neutres respectifseete, une applicationf:GGest un morphisme
x, yG
,
f(xy) =f(x)? f(y).
Lesdeuxpropri´et´essuivantessontdescons´equencesimme´diatesdelade´nition:
0 f(e) =e
et
11 xG, f(x) = [f(x)].
Exemple de base : L’application de multiplication par 17 :
estunmorphismedugroupe(Z,+).
2.2
Anneaux
Anneaux
ZZ:m7→17m
: Un ensembleAmuni de deux lois de composition interne :
A×A−→A: (x, y)7x+ydite additive
A×A−→A: (x, y)7xydite multiplicative est unanneauatquprreriopt´´esselitvonssteanivsues:see´ire´
i) La loi additive est une loi de groupe commutatif.
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ii) La loi multiplicative est associative :
x, y, zA
,
(xy)z=x(yz).
iii)Laloimultiplicativeestdistributiveparrapporta`laddition,cest-`a-dire:
x, y, zA
,
x(y+z) =x y+x z
et
(y+z)x=y x+z x .
iv)Laloimultiplicativeaune´l´ementneutre:ilexisteeAtel que pour toutxA:
Cet´el´ementestalorsuniqueetnot´e1.
xe=ex=x .
Lesdeuxproprie´te´ssuivantessontdescons´equencesimm´ediatesdelad´enition:
x, y, zA,
0x= 0
,
x(yz) =x yx z
et
(yz)x=y xz x .
Exemple de base : Soitnun entier, l’ensembleMn(R) des matricesn×n`aecoencir´tseeslumined sa loi d’addition et de produit est un anneau.
Anneaux cest`adire
commutatifs :
: L’anneauAest ditcommutatifsi la loi multiplicative est commutative,
x, yA
,
xy=yx .
Exemple de base : L’ensembleZdes entiers relatifs munis des lois d’addition et de multiplication.
´ El´ementsinversiblesdunanneau 0 aAtel que
:Un´el´ementad’un anneauAest ditinversible, s’il existe
0 0 aa=a a= 1.
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1 Cet´ele´mentestalorsunique,note´apatevnie´lepdeerseaernvblsidesun´sleeledtnise´em.sembLen anneauAroftnemrolaioumitlpcitavi.eseuCnrggurooeuppseepnotutrolea´lA.
Sous-anneaux: SoitAun anneau etBun sous-ensemble deAsupposons que. Nous Bv´erxuesdeiel proprie´te´s:
i)Best un sous-groupe deAdaiditev`tlalaioativemenderelA. ii)x, yB , xyB . iii) 1B .
alors, les lois additive et multiplicative deAedsnoitcirtserraapntseisn´ediolstnisenreedsBqui munissentBNous disons alors qued’une structure d’anneau. Best unsous-anneaudeA.
Exemple de base : Soitnun entier, le sous-ensemble des matrices diagonales est un sous-anneau de Mn(R).
Morphismes d’anneaux: Unmorphisme d’anneaux ou homomorphisme tion entre deux anneaux qui respecte les structures d’anneaux. Ainsi, siA 0 une applicationf:AAest un morphisme d’anneaux si :
x, yA , x, yA , f(1) = 1.
f(x+y) =f(x) +f(y) f(xy) =f(x)f(y).
.
11 Ilenre´sultequesiaAest inversible :f(a) = [f(a)] .
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d’anneaux 0 etAsont
est une applica-deux anneaux ,
2.3
Corps
Corps: Un ensembleKmuni de deux lois de composition interne :
K×K−→A: (x, y)7x+ydite additive
K×K−→A: (x, y)7x ydite multiplicative est uncorps´et´opriivanessunovtetss´ee:es´irrpselis
i) Muni de la loi additive,Kest un groupe commutatif. ii) Muni de la loi multiplicative,K− {0}est un groupe commutatif. iii)Laloimultiplicativeestdistributiveparrapport`aladdition,cest-`a-dire:
x, y, zK
,
x(y+z) =x y+x z
et
(y+z)x=y x+z x .
Autrement dit un corpsKtiuda`no´enr{0}eme´le´tuottnoduernvtiesulnnnontoaenuuiaselnbn encore un anneau tel queK=K− {0}.
Exempledebase:Munisdesop´erationsusuellesdadditionetdemultiplication,lensembleRdes nombresr´eelsouCdes nombres complexes est un corps.
Sous-corps: SoitKun corps etLun sous-ensemble deKsupposons :. Nous
i)Lest pour la loi additive un sous-groupe deK, ∗ ∗ ii)Lest pour la loi multiplicative un sous-groupe deK.
alors les lois additive et multiplicative deKinduisent par restrictions des lois internes surLqui munis-sentLd’une sructure de corps. Nous disons alors queLest unsous-corpsdeK.
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