Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 08-09 semestre 2 Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 08-09 semestre 2 3 Matrices a coefficients dans un corps Soit K un corps. 3.1 Definitions Definition 3.1.1 Soit n et p deux entiers naturels. Une matrice n ? p a coefficients dans K est la donnee d'une famille (ai,j)1≤i≤n,1≤j≤p de np elements de K . Elle est representee par le tableau a n lignes et p colonnes : M = ? ? ? ? ? ? a1,1 . . . a1,p a2,1 . . . a2,p ... . . . ... an,1 . . . an,p ? ? ? ? ? ? . l'element ai,j de K est appele le terme de la i-eme ligne et j-eme colonne. On dit aussi que la matrice M est une matrice a n lignes et p colonnes. Notation 3.1.2 On note Mn,p(K) l'ensemble des matrices a n lignes et p colonnes. Soit a1, . . . , ap ? K, la matrice (a1a2 . . . ap) ?M1,p(K) est appelee matrice ligne. Soit a1, . . . , an ? K, la matrice : ? ? ? ? a1 ... an ? ? ? ? ?Mn,1(K) est appelee matrice colonne.

• combinaison lineaire des matrices m1


• general de la matrice mn


• egalites entre matrices


• universite de nice - sophia-antipolis


• ?mn

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Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-Antipolis 08-09semestre2Universit ´ edeNiceSophia-Antipolis 08-09

3Matricesa`coefficientsdansuncorps Soit K un corps.

L1-MPAlg ´ ebre L1-MPAlg ´ ebre semestre 2

3.1 D´finitions e De´finition3.1.1 Soit n et p deux entiers naturels. Une matrice n × p a`coefficientsdans K estladonn´ee d’une famille ( a i,j ) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p de np ´el´ementsde K . Elleestrepre´sente´eparletableaua` n lignes et p colonnes : ,  a a 1 1 . . . . . . a a 1 ,p  M = 2 , 1 2 ,p .   a n . , 1 . . . . . . a n . ,p   l’e´l´ement a i,j de K estappele´letermedela i -e`meligneet j -`emecolonne.Onditaussiquelamatrice M est unematrice`a n lignes et p colonnes. Notation 3.1.2 On note M n,p ( K ) l’ensembledesmatricesa` n lignes et p colonnes. Soit a 1 , . . . , a p ∈ K , la matrice ( a 1 a 2 . . . a p ) ∈ M 1 ,p ( K )estappel´eematriceligne.  a 1  Soit a 1 , . . . , a n ∈ K , la matrice :   .   ∈ M n, 1 ( K )estappele´ematricecolonne. a n On note 0 la matrice de M n,p ( K ) dont tous les coefficients sont nuls.

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Notation 3.1.3 Lesmatricesa` n lignes et n colonnessontappel´eesmatricescarre´esdetaille n . L’ensemble decesmatricesseranote´ M n ( K ) . Soit M = ( a i,j ) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n ∈ M n ( K ) une matric ´ . Ses co fficients a i,i sontappele´scoefficients e carree e diagonaux.  a 1 , 1 0  La matrice M est dite diagonale si a i,j = 0 pour i 6 = j : M =   . 0 . . a n,n   .  a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 ,n  La matrice M est dite triangulaire superieure si a i,j = 0 pour i > j : M =   0 a 2 , 2 . a 2 ,n   . ´ . . 0 0 a n,n  0 0 a 1 0 , 2 a a 1 ,n  2 , 3 a 2 ,n La matrice M estditetriangulairesup´erieurestrictesi a i,j = 0 pour i ≥ j : M = .  . .  .   0 0 0 0 a n − 0 1 ,n   Enfin, on note I n ∈ M n ( K )lamatricediagonaledontles´ele´mentsdiagonauxsont´egauxa1: `  1 01 00 0 . . . . . . 0 0  I n = 0 .   0 0 . . . .. . 0 0 1 0 0 1   Op´erationssur M n,p ( K ) : Nousallonsde´finirtroisop´erationssurlesmatrices.Soit M = ( a i,j ), N = ( b i,j ) ∈ M n,p ( K ) et λ ∈ K .

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Addition sur M n,p ( K ) : La somme de M et N est la matrice de M n,p ( K )determege´n´eral( a i,j + b i,j ) :   a a 1 n , , 1 1 . . . . . . a a 1 n , , p p    +    b 1 , 1 . . . bb n 1 , , p p    =    a a 1 n , , 1 1 + + b b 1 n , , 1 1 . . . . . .a a 1 n , , p p + + b b 1 n , , p p    .  b n, 1 . . . b Multiplicationparun´ele´mentdeK: Soit λ ∈ K , le produit de M par λ est la matrice de M n,p ( K ) determeg´en´eral( λa i,j ) : λ    a a 1 n , , 1 1 . . . . . .a a n 1 , , p p    =    λ λ a a 1 n , , 1 1 . . . . . . λ λ a a n 1 , , p p    . Nous noterons − M lamatricedetermeg´en´eral( − a i,j ) : − a 1 , 1 . . . − a 1 ,p  − M = ( − 1) M =    − a n, 1 . . . − a n,  . p Cesdeuxop´erationsmunissent M n,p ( K ) d’une structure de K -espacevectoriel,c’esta`direve´rifient:

1. L’addition est une loi de groupe commutatif sur M n,p ( K ) : pour tout M, N, P ∈ M n,p ( K ) : ( M + N ) + P = ( M + N ) + P associativite´ , M + N = N + P commutativit´e , M + 0 = 0 + M = M 0este´l´ementneutre , M + ( − M ) = ( − M ) + M = 0 existence d 0 unoppose´ .

2. Pour tout λ, µ ∈ K :

λ ( µM ) = ( λµ ) M , λ ( M + N ) = λM + λN , ( λ + µ ) M = λM + νM , 1 .M = M .

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Nous noterons M − N = M + ( − N ).

Si M 1 , . . . , M l ∈ M n,p ( K ), λ 1 , . . . , λ l ∈ K , la matrice λ 1 M 1 + λ 2 M 2 + ∙ ∙ ∙ + λ l M l est dite une combinaison lin´eairedesmatrices M 1 , . . . , M l . Produit lignes-colonnes : Nousallonsde´finiruneope´rationditeproduitquiassociera`a M ∈ M n,p ( K ), N ∈ M p,q ( K )unematricenote´e M N ∈ M n,q ( K )etappel´eeproduitde M par N ou encore une application : M n,p ( K ) × M p,q ( K ) − n,q ( K ) ; ( M, N ) 7→ M N . → M Commen¸conspard´efinirceproduitdanslecasduproduitd’unematriceligneparunematricecolonne, c’esta`dired’unematricede M 1 ,p ( K ) par une matrice M p, 1 ( K ) : M 1 ,p ( K ) × M p, 1 ( K ) −→M 1 , 1 ( K ) = K ,  b 1  b L = ( a 1 a 2 . . . a p ) , C =   b . 2 p   7−→ LC = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ∙ ∙ ∙ + a p b p . ` Apartirdela`,leproduitd’unematricede M n,p ( K ) par une matrice de M p,q ( K )estalorsd´efiniepar: 1 . . . a 1 ,p M =    a 1 , n,p    , N =    b b n 1 , , 1 1 . . . . . . b b 1 n, , p p    7−→ M N =    L L L 2 1 n C C C 1 1 1 . . . . . . . . . L L L 1 n 2 C C C q q q    . a n, 1 . . . a M et C j =  b b 1 , , j j  est la j -e`mecolonnede N . Ainsi, le terme ou` L i = ( a i, 1 a i, 2 . . . a i,p ) est la i -e`melignede  2 .   b p,j  k = p ge´ne´raldelamatrice M N ∈ M n,q ( K ) est : L i C j = X a i,k b k,j . k =1 4

Proposition 3.1.4 De`squ’ellesontunsens,nousavonslese´galite´sentrematrices: ( M N ) P = M ( N P )note´: M N P , M ( N + P ) = M N + M P , ( λM ) N = M ( λN ) = λ ( M N )note´: λM N , ( M + N ) P = M P + N P , I n M = M I p = M ∀ M ∈ M n,p ( K ) . L’anneau M n ( K ) desmatricescarre´es: En particulier, M n ( K )estmunidedeuxope´rations: addition : M n ( K ) × M n ( K ) −→M n ( K ) , ( M, N ) −→ M + N , multiplication : M n ( K ) × M n ( K ) −→M n ( K ) , ( M, N ) 7 −→ M N . Muni de l’addition, nous avons vu que M n ( K ) est un groupe commutatif. Mais, on a de plus : a) La multiplication est associatice : ∀ M, N, P ∈ M n ( K ) ( M N ) P = M ( N P ) , b)Elleestdistributiveparrapporta`l’addition: ∀ M, N, P ∈ M n ( K ) M ( N + P ) = M N + M P et ( M + N ) P = M P + N P , c) La multiplication admet I n comme´ele´mentneutre: ∀ M ∈ M n ( K ) I n M = M I n = M . Onr´esumetoutescesproprie´te´sendisantque M n ( K )estunanneauunitaire.Onnoteraqu’eng´ene´ral si M et N sont deux matrices de M n ( K ) : M N 6 = N M .

Notation 3.1.5 Si M ∈ M n ( K ) , on note M M = M 2 , M M M = M 3 et pour tout entier n , M n le produit n fois de M parellemˆeme.

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De´finition3.1.6 Une matrice M ∈ M n ( K ) est dite inversible, s’il existe N ∈ M n ( K ) tel que M N = N M = I n . La matrice N estalorsunique,appel´eeinversede M etnote´e M − 1 . Nous notons Gl n ( K ) l’ensemble des matrices inversibles de M n ( K ) . Proposition 3.1.7 La matrice I n est inversible, si M et M sontdeuxmatricescarr´eesinversibles,lesma- trices produits M N et N M sont inversibles. De plus : ( M N ) − 1 = N − 1 M − 1 et ( N M ) − 1 = M − 1 N − 1 . Si M estunematricecarr´eeinversible,soninverse M − 1 est inversible et ( M − 1 ) − 1 = M Remarque 3.1.8 En fait, muni du produit matriciel, Gl n ( K ) est un groupe. Nousmontrerons(proposition3.3.4)quesiunematricecarre´e M ∈ M n ( K )admetuninversea`gauche M ,c’est`adires’ilexiste N ∈ M n ( K ) telle que N M = I n , alors M est inversible et M − 1 = N .Demeˆme,si M ∈ M n ( K )admetuninversea`droite M ,c’est`adires’ilexiste N ∈ M n ( K ) telle que M N = I n , alors M est inversible M est inversible et M − 1 = N .

Transposition : C’estuneapplicationqui`a M ∈ M n,p ( K )associeunematricenot´ee t M ∈ M p,n ( K ) et appele´elatranspos´eede M de´finiepar: M n,p ( K ) −→M p,n ( K ) , M = ( a i,j ) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p 7−→ t M = ( b i,j ) 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n ou´ b i,j = a j,i . Autrement dit, la i -e`melignede t M est la i -`emecolonnede M et la j -e`mecolonnede t M est la j -`emeligne de M .Ouencore,l’applicationtranspose´e´echangeleslignesetlescolonnesd’unematrice.

Soit λ ∈ K , M, N ∈ M n,p ( K ),de`squ’elleontunsens,onales´egalit´es: t ( M + N ) = t M + t N , t ( λM ) = λ ( t M ) , t ( M N ) = t N t M , t ( t M ) = M . 4 − 1  5 2 Exemple : t
− 4 12 5 1 2 1 1 ! =    2 1 1 1   .

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