Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 10-11 semestre 1 Feuille 5 Algorithmes, dimension, somme et intersection Exercices sur algorithmes et dimension Exercice 1 – Soit u = (1, 2) ? R2. 1) Montrer que D =< u > est une droite vectorielle de R2 de base (u). 2) Donner une equation de cette droite D. 3) Soit v = (?17,?34), montrer que v ? D. Quelles sont les coordonnees de v dans la base (u) ? 4) Soit w = (15, 29), montrer que w /? D. Puis, que (u,w) est une base de R2. Exercice 2 – Soit u = (1, 2, 3) ? R3. 1) Montrer que D =< u > est une droite vectorielle de R3 de base (u). 2) Donner un systeme d'equations de cette droite D. 3) Soit v = (?17,?34,?51), montrer que v ? D. Quelles sont les coordonnees de v dans la base (u) ? 4) Soit w = (14, 28, 66), montrer que w /? D. Exercice 3 – Soit u = (1, 2, 3, 4) ? R4.

  • decomposition du vecteur

  • r4

  • base de p1 ?

  • hyperplan vectoriel

  • base canonique de r4


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 27
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 4
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Universit´edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge´bre 10-11 semestre1 Feuille 5 Algorithmes, dimension, somme et intersection Exercices sur algorithmes et dimension 2 Exercice 1Soitu= (1,2)R. 2 1) Montrer queD=< u >est une droite vectorielle deRde base (u). 2)Donnerunee´quationdecettedroiteD. 3) Soitv= (17,34), montrer quevDeelcsoodrno´needs.Quellessontvdans la base (u) ? 2 4) Soitw= (15,29), montrer quew/ D. Puis,que (u, w) est une base deR. 3 Exercice 2Soitu= (1,2,3)R. 3 1) Montrer queD=< u >est une droite vectorielle deRde base (u). 2)Donnerunsyste`med´equationsdecettedroiteD. 3) Soitv= (17,34,51), montrer quevDue.Qtnosselldroocselonn´eesdevdans la base (u) ? 4) Soitw= (14,28,66), montrer quew/ D. 4 Exercice 3Soitu= (1,2,3,4)R. 4 1) Montrer queD=< u >est une droite vectorielle deRde base (u). 2)Donnerunsyst`emede´quationsdecettedroiteD. 3) Soitv= (17,34,51,68), montrer quevDodnnocroede´seelle.Qutlesssonvdans la base (u) ? 4) Soitw= (13,26,39,51), montrer quew /D. 3 Exercice 4Soitu= (1,2,3), v= (2,1,1)R. 3 1) Montrer queP=v >< u,est un plan vectoriel deRde base (u, v). 3 2)Donnerunebase´echelonn´eerelativement`alabasecanoniqueRde< u,v >. 2)Donnerunsyst`emed´equationsdeceplanP. 3) Soitw= (1,8,11), montrer quewPeen´onrdoosclentseoseullQ.edswdans la base (u, v) ? 0 03 4) Montrer quew= (1,8,10)/P. Puis,que (u, v, w) est une base deR. 4 Exercice 5Soitu= (1,2,1,1), v= (2,1,0,1)R. 4 1)Donnerunebase´echelonne´erelativementa`labasecanoniqueRde< u,v >. 4 2)Ende´duirequeP=v >< u,est une plan vectoriel deRde base (u, v). 3)Donnerunsyste`mede´quationsdeceplanP. 4) Montrer quew= (7,8,3,5)Pedsntlescoordonn´eeQ.eullseoswdans la base (u, v) ? 3 Exercice 6Soitu= (1,2,3), v= (1,1,2), w= (4,0,3)R. 1)Donnerchacunedes´etapesdelalgorithmeducoursquipermetdedonnerunebase´echelonne´e 30 parrapporta`labasecanoniquedeRdev, w>< u,. OnnoteBcette base. 3 2)End´eduireque(u, v, wse)esabenuteet´noBdeR. 0 3) En suivant l’algorithme, exprimer les vecteurs deB`alaedideuecexdB. Puis,inversement 0 exprimer les vecteurs deBdxeeceuidedala`B.
4 Exercice 7Soitu1= (1,1,1,4), u2= (1,1,3,2), u3= (2,3,1,1), u4= (1,1,3,8)R. 1)Donnerchacunedes´etapesdelalgorithmeducoursquipermetdedonnerunebasee´chelonne´e 40 parrapporta`labasecanoniquedeRde< u1, u2, u3, u4>note. OnBcette base. 4 2)End´eduireque(u1, u2, u3, u4e)tsnubesaenot´eeBdeR. 0 3) En suivant l’algorithme, exprimer les vecteurs deBdeceaidea`luxdeBinversement. Puis, 0 exprimer les vecteurs deBcededeail`aedxuB.
3 Exercice 8etrusrtiovsced`erelesOnconsia= (1,1, β), b= (1, β,1), c= (β,1,1) deR. De´terminersuivantβla dimension de>b, c< a,et une base de< a,>b, c.
3 Exercice 9Soitu= (1,2,3), v= (2,1,1), w= (4,7,9)R. 3 1)Donnerunebasee´chelonn´eerelativementa`labasecanoniquedeRde>v, w< u,. 3 2)End´eduireque< u,v, w>est un plan vectoriel deR´toneP. 3)Donnerune´equationdeceplanvectorielP. 4) Montrer que (u, v) est une base dePdseeellseQ.eulescsontonn´oordwdans cette base ?
4 Exercice 10Soitu1= (1,2,1,1), u2= (2,1,0,1), u3= (1,2,2,1), u4= (4,1,2,1)R. 4 1)Donnerunebase´echelonn´eerelativementa`labasecanoniquedeRde< u1, u2, u3, u4>. 4 2)Ende´duireque< u1, u2, u3, u4>nhyperplestueinltoe´naevtcroHdeR. 3)Donnerunee´quationdecethyperplanvectorielH. 4) Montrer que (u1, u2, u3) est une base deHesdeolsstenololcesunQo.dree´nu4dans cette base ?
Exercices sur les sommes et les intersections de sous-espaces vectoriels
0 Exercice 11eronsid´sousslesCnoslctveieorsp-eesacD=<(1,1)>etD=<(1,4)>de 2 R. 0 1)Donnerdese´quationsd´enissantlessous-espacesvectorielsDetD. 02 2) Montrer queDetDoossstunedxucasee-psorievectppl´lssuriatnemeedseR. 3)Expliciterlad´ecompositionduvecteur(1,0) comme somme d’un vecteur deDet d’un 0 vecteur deD. Faireun dessin. 2 4)Plusge´ne´ralement,soitu= (x, y)Rositiondad´ecompelreticilpxE.ucomme somme 0 d’un vecteur deDet d’un vecteur deD.
3 Exercice 12Csonre´disnoPle sous-espace vectoriel deRatio´equdnx+y+ 3z= 0 et les 03 sous-espaces vectorielsD=<(1,1,2)>etD=<(1,1,3)>deR. 3 1) Montrer quePetDevsecapse-suosxudentsoedriseneatl´emsuppielsctorR. 0 2)Donnerdes´equationsd´enissantlessous-espacesvectorielsDetDet une base deP. 3)Expliciterlade´compositionduvecteur(1,0,0) comme somme d’un vecteur deDet d’un vecteur deP. 3 4)Plusge´ne´ralement,soitu= (x, y, z)R.Expliciterlade´ocpmsotioidneucomme somme d’un vecteur dePet d’un vecteur deD. 0 00 4)Pr´eciserDDebunerinestdeeasoitauqe´snetmrD.e´D+D, puis deP(D+D).
2
3 Exercice 13onsd´ernoisCPle sous-espace vectoriel deRdqu´eioatnxy+z= 0, u= (5,4,1) etv= (1,1,1) etF=< u,v >. 3 1) Le sous-espace vectorielFest-il un plan, une droite deRuqseeˆemontMi?urpoP. 2)De´terminerFP. 4 Exercice 14consid`eerOnHle sous-espace vectoriel deRd´equationx+y+ 2z+ 2t= 0 4 etDle sous-espace vectoriel des multiples du vecteur (1,1,1,1)R. 1) Expliciter une base deH. 4 2) Montrer queHetDntmereaiesd-sseapecsspulpe´sontdeuxsouR. 3)Expliciterlade´compositionduvecteur(1,0,0,0) comme somme d’un vecteur deDet d’un vecteur deH. ´ 4 4)Plusge´n´eralement,soit(x, y, z, t)R. Ecrireexplicitement ce vecteur comme somme d’un vecteur deHet d’un vecteur deD. 4 5) Soitu= (a, b, c, d) un vecteur deRonn´ecessaireetsuastnseru,nnodnurenoceitida, b, c, d pour queHet< u >.iressoppustneiatneme´l 4 Exercice 15sndinOoce´erP1le sous-espace vectoriel deRquatd´e:snoi ( xy+z+t= 0 P1: x+ 2y2z+ 4t= 0. et le sous espaceP2=<(1,0,1,0),(0,2,0,1)>. 1) Expliciter une base deP1etP2. 4 2) Montrer queP1etP2ostnossuedxuseriatneedesacsp-eeml´ppsuR. 3)Donnerunsyst`emed´equationsdeP2. ´ 4 4) Soit (x, y, z, t)Rexplicitement ce vecteur comme somme d’un vecteur de. EcrireP1et d’un vecteur deP2. 04 5)Onconside`rePle sous-espace vectoriel deRe´uqtaoins:d 2 ( 0x+ 2y2z+ 4t= 0 P: 2 x+ 3yz+ 5t= 0 0 00 e +P. DonnerP+P 6)De´terminerunebasedeP1P2t deP1 21pansrut`ysedemqe´itau.sno 2 Exercices sur d’autres exemples Exercice 16SoitSleR-paesevecrotcdleiusseitesdenombresr´ele.soSti: F={(un)nN;n2 :un=un1+un2} ⊂S 1) Montrer queFest un sous-espace vectoriel deS. 2)Montrerquilexistedeuxr´eelsdistinctsquelond´etermineraλ1, λ2tels que les suites : n n s= (λ() =λ) 1 1nNets2 2nN appartiennenta`F. 3) Montrer que (s1, s2) est une base deF. 4) Soitu= (un)nNla suite deFe´deinrapu0= 0 etu1lrseimenodnnocro=eter1.D´dees´e udans la base (s1, s2eerssoidnrileepx)ude´dnE.unen fonction den. 3
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