Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 10-11 semestre 1 Feuille 2 Systemes lineaires Exercice 1 – A) K = Q. On considere le systeme d'equations lineaires a 4 variables u, v, w, t : (S) ? ?? ?? 2u +v +w ?t = 2 (S1) 2u ?v ?w +t = 3 (S2) 4u ?t = 1 (S3) . 1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaire (S) ? Quel est l'ordre des equations S1, S2, S3 ? 2) Donner en suivant avec soin l'algorithme du cours un systeme triangule ayant les memes solutions que (S). 3) Meme question avec la systeme obtenu en changeant l'ordre des variables : (U) ? ?? ?? ?t +w +v +2u = 2 (U1) t ?w ?v +2u = 3 (U2) ?t +4u = 1 (U3) . Exercice 2 – A) K = Q. On considere le systeme d'equations lineaires a 4 variables x, y, z, t : (S) ? ???? ???? x +2y ?3z +t = 4 (S1) 2x ?y +z +t = 2 (S2) 2x +4y ?6z +2t = 8 (S3) x +7y ?10z +2t = 10 (S4) .

  • ordre des variables du systeme lineaire

  • meme question avec la systeme

  • systeme d'equations lineaires

  • combinaison lineaire d'elements r3

  • equation

  • introduire de meme


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 25
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 4
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Universit´edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge´bre 10-11 semestre1 Feuille 2 Syst`emesline´aires Exercice 1A)K=Qitnolsnide´qeaua4variab´eaires`selonnc.Olere`disme`tsyseu, v, w, t: u+v+ ) 2wt(= 2S1 (S) 2uvw+t= 3(S2). 4ut= 1(S3) 1)Quelestlordredesvariablesdusyst`emelin´eaire(Stselrolderde´sequations)ue?Q S1, S2, S3? 2)Donnerensuivantavecsoinlalgorithmeducoursunsyste`metriangule´ayantlesmeˆmes solutions que (S). 3)Mˆemequestionaveclasyste`meobtenuenchangeantlordredesvariables: t+w+v+2u= 2(U1) (U)twv+2u(= 3U2). t+4u(= 1U3) Exercice 2A)K=Qme`estsyatqu´ed´nilsnoia`seriae4variablesocsn.nOereldie`x, y, z, t: x+2y3z+t(= 4S1) 2xy+z+t= 2(S2) (S). 2x+4y6z+2t(= 8S3) x+7y10z+2t= 10(S4) 1)Quelestlordredesvariablesdusyst`emeline´aire(Snoits´sedauqetlordre)?Queles S1, S2, S3, S4? 2)Donnerensuivantavecsoinlalgorithmeducoursunsyste`metriangul´eayantlesmˆemes solutions que (S). 3)Appliquerlalgorithmedetriangulationausyste`mesuivantetindiquersadernie`ree´tape: x+2y3z+t(= 4U1) 2xy+z+t= 2(U2) (U). 2x+4y6z+2t= 17(U3) x+7y10z+2t= 10(U4) 4) Que pouvez vous dire des solutions de (U) ? 2 Exercice 3te´einrmeDeme´dstnelrele´sR: 3 a) 2(1,4) + 5(3,1) ;b) 2(1,2) + 2(2,7)2(1,5) ;c)2(3,0) + 5(0,). 10 4 Exercice 4dstneDe´etrminerles´el´emeR: 1 21 a) 3(1,1, ,)2(2,3,5,) ;b) 7(0,2,1,2)(1,14,2,14) + (0,1,0,1). 3 92
3 Exercice 5Pourx1, x2Rla`rdiaede,´eprsecix1, x2dseemtnlee´el´sR: 1 a) (1,2,3) +x1(3,0,1) +x2(0,1,2) ;b)x1(1, ,3) +x2(1,1,1), 2 1 1 c) (7,0,4) +x1(1,1,0)x2(, ,2) ;d) 5((x1,2,3)(1, x2,4)), 3 4 e) 2(3(4,1, x1)) ;f) 92(17,5x1,607) + 8(17,5x1,607). Exercice 6SoitxRedcombinaisonlin´eiaerde´´lmenest,dco´eosmposreofsudemrenu3 Rtnadnepe´dniesdx: 1 14 a+ 3) (2x,1 +x,17) ;b) (74x,+x,2x) + (3 + 4x,4,2x). 2 35 Exercice 7Soitx1, x2Rsuofmrdenpemsstoreosidn´aeils´oenmliunn´eecaoimrbe,dco´e 3 R´dpeneadnisdntex1etx2: 1 11 1 a) (2x1+x2,5 + 3x17x2, x1) ;b) (4x2,1 +x2+x1,217x1+x2), 2 32 2 c) (2x2, x1+x2,x1) ;d) (12x2+x1, x1, x2). Exercice 8Soitx1, x2, x3Rd´eaireentsl´emniiaocbmnie´oslnsoerfousedrmneud,oce´sopm 3 Rpe´dniedstnadnex1, x2, x3: a)(1 +x1+ 2x2x3,17 + 2x1x2+x3,1x1+x2x3), 1 11 b)(1 +x2+ 2x1x3x1,17 + 2x3x2+x1+x3,1x2+x3x1x2), 2 32 1 c)(x2, x3,75x1+x2x3) + (0,4x21,2x3), 3 d)(x2+ 2x1x3,17 + 2x3x2+x1,x2+x3x1) + (x3,x1,7x2). 3 Exercice 9Expliciter dansRem:stse`ltilusoessyessdon ( n x12x2+x3= 0 (S1) :et (S2) :2x28x3= 0. 2x28x3= 0 Interpre´terge´ome´triquementlessolutionsdecesdeuxsyst`emes. 3 Expliciter dansRe`ts:emnsiosydussleutol x12x2+x3= 0 (S12) :x28x3= 0 4x1+ 5x2+ 9x3=9. Querepre´senteg´eom´etriquementcetensembledesolutions? Exercice 10K=Ravec soin l’algorithme de Gauss de triangulation d’un. Appliquer syst`emedonn´edanslecourspourtriangulerlesdeuxsyst`emes:   x24x3= 3x24x= 17,17 3   (S1) :2x13x2+ 2x3= 1et (S22) :x13x2+ 2x3= 1     5x18x2+ 7x35= 1x18x2+ 7x3= 1. Ende´duirelessolutionsdecessyst`emes. MˆemesquestionsavecK=Q,K=C. 2
Exercice 11K=Q.nOconsid`erelesyste´deme`snoitauqirean´li:es 2x1x3= 0 3x1x4= 0 (S) : 2x23x32x4= 0 x23x3= 0. AppliqueravecsoinlalgorithmedeGaussdetriangulationdunsyst`emepourtriangulerce syste`me. Expliciterlessolutionsdusyst`eme(S). Quellessontlessolutionsde(S)forme´sdequadrupletsdentiers? Exercice 12l´equationchimi:euqqEiuilrbre B2S3+H20−→H3B03+H2S . Introduiredemˆemeunsyste`meline´airepour´equilibrerle´quationchimique: P bN6+CrM n2O8−→P b3O4+Cr2O3+M nO2+.N O Expliciterlessolutionsdecesyste`meline´aire.Puis,ende´duirel´equation´equilibr´ee. Exercice 13K=QO.nocn`dislereysesemt`´eduaeqitnolsnie´iaer:s ( x1+ 2x2+ 3x3+x4x5= 1 (E) : 3x1x2+x3+x4+x5= 3. AppliqueravecsoinlalgorithmedeGaussdetriangulationdunsyste`mepourtriangulerce syst`eme. Expliciterlessolutionsdusyst`eme(Eaidedesv)`alrbil.seairaselb Mˆemesquestionsenconside´rantcommeordredesvariables:x5d’ordre 1,x4d’ordre 2,x3 d’ordre 3,x2d’ordre 4,x1dodrer,5cse`tiradeselt`yse:em ( 0x5+x4+ 3x3+ 2x2+x1= 1 (E) : x5+x4+x3x2+ 3x1= 3. Exercice 14uqe´lernilnoitaOn`eidnscoiae´(erE) : 2x1+ 3x2= 7 . Expliciterlessolutionsdecette´equationlorsquelecorpsKest respectivementQ,R C. De´terminerlescouplesdentiersrelatifs(x1, x2on(E).)lusonoitledsqe´itau Mˆemeexerciceavecl´equation:2x1+ 3x2+ 5x3= 17. Exercice 15d`eronsiequael´il´nitno`ecaaericnOes:lpxecsmoeitneoc(E+) : (1i)x1ix2= 3. Expliciterlessolutionscomplexesdecette´equation. D´eterminerlescouplesdere´elssolutionsdelequation(E).
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