Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 08-09 semestre 1 Feuille 3 Calcul Matriciel Exercice 1 – Soit A = ( 1 0 ?2 4 1 0 ) ? M2,3(Q) et B = ( ?3 1 1 2 0 ?3 ) ? M2,3(Q). 1) Calculer A+ 2B, 3A-B. 2) Trouver X ? M2,3(Q) tel que 3X + A = B. 3) Trouver X, Y ? M2,3(Q) tels que : { X + 2Y = A 2X + Y = B . 4) Ecrire A et B comme combinaison lineaire des six matrices : E1,1 = ( 1 0 0 0 0 0 ) , E2,1 = ( 0 0 0 1 0 0 ) , E1,2 = ( 0 1 0 0 0 0 ) E2,2 = ( 0 0 0 0 1 0 ) , E1,3 = ( 0 0 1 0 0 0 ) , E2,3 = ( 0 0 0 0 0 1 ) Montrer qu'une telle decomposition de A (resp. B) est unique. Exercice 2 – Soit : A = ( 1 0 ?2 4 1 0 ) ? M2,3(Q) , B = ( 1 ?1 ?1 1 ) ? M2(Q

  • coefficients de la matrice

  • ?2?k1 ? ?1?

  • forces verticales

  • ?2 ? ?1

  • unique matrice


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 11
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 6
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Universit´edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge´bre 08-09 semestre1 Feuille 3 Calcul Matriciel  ! ! 1 023 11 Exercice 1SoitA=M2,3(Q) etB=M2,3(Q). 4 10 203 1) Calculer A+ 2B, 3A-B. 2) TrouverXM2,3(Q) tel que 3X+A=B. 3) TrouverX, YM2,3(Q) tels que : ( X+ 2Y=A . 2X+Y=B ´ 4) EcrireAetBederxissrtamseciinmbsoaiinnlai´e:comeomc  ! ! ! 1 0 00 0 00 1 0 E1,1=, E2,1=, E1,2= 0 0 01 0 00 0 0  ! ! ! 0 0 00 0 10 0 0 E2,2=, E1,3=, E2,3= 0 1 00 0 00 0 1 Montrerquunetellede´compositiondeA(resp.B) est unique. Exercice 2Soit :    ! ! 2 1 1 02 11  A=M2,3(Q), B=M2(Q) etC=12M3,2(Q). 4 101 1 1 1 2 1) CalculerBA,CB,AC,CA,B. 2) D’autres produits de deux matrices parmi{A, B, C}lsd´enis?i-tnos 3) Calculer (3B)AetB(2A).   1     Exercice 3SoitC2M3,1(Q) etL= 12 3M1,3(Q) . 2 1) Calculer les produitsLCetCL. 2)D´eterminerlesmatricesXM1,3(Q) tel queXC=I1. 3) Existe-t-ilYM3,1(Q) tel queY L=I3? 4) SoitAM3,1(Q) etBM1,3(Q), que dire des lignes et des colonnes deAB?  ! ! 2 11 1 Exercice 4SoitA∈ ∈M2(Q) etB=M2(Q) . 4 222 2 1) Calculer les produitsAB,BAet (A+B) . 2)D´eduireducalculdeABqueAetBne sont pas inversibles. 3) Expliciter les matricesZM2(Q) tels queAZ= 0. 4) Expliciter les matricesX , YM2(Q) tels queAX=AY.
Exercice 5SoitA, BMm(Ke´seuqiesicrrcaes)dtrmacommutentsediretell,cest`a queAB=BA. 2 22 33 22 3 1) Montrer (A+B) =A+ 2AB+Bet (A+B) =A+ 3A B+ 3AB+B. 2)Montrerparr´ecurrence:  ! n X n n nk k (A+B) =A B. k k=0 SoitAMm(Ku)cirtamenecarr´ee. 2 32 3) Montrer queAIm= (AIm)(A+Im) etAIm= (AIm)(A+A+Im). 4)Montrerparre´currence: n X i n+1 (AIm)(A) =AIm. i=1 n+1 5)End´eduirequesiA= 0, la matriceImA.nvniseernimrosredteeete´nversiblesti  ! ! 0 12 1 Exercice 6SoitJ=M2(K) etA=M2(K)o`uK=Q,RouC. 0 00 2 2n 1) CalculerJetJpour tout entiern´puseirea`ru.2 n 2)D´eterminerApour tout entiern. 1 3) Montrer queAvnitsenirermte´etdeeblsierA. 4) Soitun, vnedse´letnemsd´uiteeuxsdKe´desnirpau0= 1,v0= 1 et la relation :  ! ! unun1 =Apourn1. vnvn1 D´eterminerpourtoutentiern,unetvnen fonction den.    0 1 02 1 0    Exercice 7SoitJ=0 0 1M3(K),A=0 2 1M2(Ku`o)K=Q,Rou 0 0 00 0 2 C. 2 3n 1) CalculerJ,JetJpour tout entiernpusire´`rue.3a n 2)D´eterminerApour tout entiern(on pourra remarquer queA= 2I3+J). 1 3) Montrer queAte´einrmebrlnsvittdieeesreAuortcreveR.tenutilier´esulaogirhtemastnlla du cours.
Exercice 8K=Q,RouC. SoitAMn(K´el´deux)etstmeneλ1, λ2Kdistincts. On suppose dans cet exercice que la matriceAie:(´vreAλ1In)(Aλ2In) = 0. 1) Montrer que (Aλ2In)(Aλ1In) = 0. 2)V´erierl´egalit´e:
1 1 In= (Aλ1In) +(Aλ2In) λ2λ1λ1λ2
2
3) Montrer que pour tout entierk: k kk k A(Aλ1In) =λ2(Aλ1In) etA(Aλ2In) =λ1(Aλ2In). 4)Ende´duirepourtoutentierk: k kk k λλ λ2λλ1λ k2 11 2 A=A+In. λ2λ1λ2λ1  ! 1 1 SoitB=M2(R). 1 0 √ √ 1 +5 15 5)V´erierque(BI2)(BI2) = 0. 2 2 k 6)End´eduirelexpressiondeBpourkN. 7)Onconside`relasuitedere´elsd´enieparre´currenceparun=un1+un2pourn2 et u1= 1,u0On pose alors pour= 0.n1,vn=un1que pour tout entier. Montrern1 :  ! ! unun1 =B . vnvn1 8)Ende´duirelexpressiondeun. 9)Probl`emededynamiquedepopulation(Fibonacci):Enfermezuncoupledelapinsdans un enclos.Le premier mois de leur vie, ils n’ont pas d’enfants.Tous les mois suivants, ils enfantentuncoupledelapins.Chaquecouplen´eagitalorsdelamˆemefac¸on:lemoissuivant sa naissance, il ne donne pas d’enfants, mais chaque mois, ensuite, il enfante un couple.Et ainsidesuite.Quelestlenombredecouplesdelapinslen-i`ememois?   a1,1a. . .n,1   Exercice 9SoitA=Mn(K). Onappelle trace deAla somme des . .a1,na. . .n,n e´le´mentsdeladiagonaledeA: tr(A) =a1,1+a2,2+∙ ∙ ∙+an,n. 1)V´erierquepourtoutA, BMn(Ktr () :AB) = tr(BA). 1 2)End´eduirequepourtoutMGln(K) etAMn(K) :tr (P AP) = tr(A). Exercice 10Soit Diagn(K) l’ensemble des matrices diagonales deMn(K).   a1,1. . .0 SoitD=Diagn(K). . .0. . .an,n 1) Montrer queDest inversible si et seulement si pour tout 1in:ai,i6=0.D´etreimenr 1 alorsD. 2) Montrer que le produit de deux matrices diagonales est diagonale.   0a. . .1,n 0 0 SoitD=Mn(K). NotonsDiagn(K) l’ensemble des matrices de cette . .an,1. . .0 3
forme. 0 1) Montrer queDest inversible si et seulement si pour tout 1in:ai,ni6reimenr=0.D´et 0−1 alorsD. 0 2) Que dire du produit de deux matrices de Diagn(K) ? 3)Montrerqueleproduitdedeuxmatricestriangulairessupe´rieuresesttriangulairesup´erieure. 4)Montrerquunematricetriangulairesupe´rieureestinversiblesietseulementsitousses e´l´ementsdiagonauxsontnonnuls.Montreralorsquelinversedunetellematriceesttriangu-lairesup´erieure.   2 00   Exercice 11SoitA=0 11M3(Q). 1 02 1)Pr´eciserlesmatricese´le´mentairesdeGl3(Q) : 1 1 D1( ), T3,1(1), D3( ), T2,3(1). 2 2 .2)De´terminerlesproduits: 1 11 11 1 D1( )I2, T3,1(1)D1( ), D3( )T3,1(1)D1( ), T2,3(1)D3( )T3,1(1)D1( ). 2 22 22 2 3)D´eterminerlesproduits: 1 11 11 1 D1( )A ,T3,1(1)D1( )DA ,3( )T3,1(1)D1( )TA ,2,3(1)D3( )T3,1(1)D1( )A . 2 22 22 2 1 End´eduireA. 1 4)D´etaillerensuitelalgorithmeducoursquipermetded´eterminerAque vous. Constater avezfaitdeuxfoislameˆmechose. 5) EcrireAusfosontme´eels´ceriatmedstiudorpedemruesqreai´epronl.aresic Exercice 121) Montrer qu’il existe une unique matriceS1,2,3tel que pour toutp1 et MM3,p(K), la matrice produitS1,2,3Mengdeilere`imerpruopalime`exieuadelgnM, a pourdeuxi`emelignelatroisie`melignedeMme`irelegienalrpignedetei`iselemouaprortM. 2 32 2)D´eterminer(S1,2,3() etS1,2,3oitacilphcuaga`ntdeetltiulamel)lese.uQepar(S1,2,3) surMM3,p(K) ? 3) EcrireS1,2,3tiudamedcirte´semmcoroep.riseneat´lme Exercice 131) En appliquant avec soin l’algorithme du cours, montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leurs inverses :    ! 1 21 1 3  M=M2(Q) etM=0 12M3(Q). 2 4 0 13 2)Ecrirecesmatricescommeproduitsdematricese´le´mentaires.
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