Universite de Nice Sophia Antipolis Laboratoire J A Dieudonne UMR

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Universite de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire J.A. Dieudonne - UMR 6621 Memoire d'habilitation a diriger des recherches en mathematiques Sur la dynamique de NLS : regimes en onde longue et ondes progressives. presente par David Chiron et soutenue publiquement le 2 decembre 2011, apres avis de : Mme. Sylvie Benzoni-Gavage (Universite Lyon I) Mr. David Lannes (DMA, ENS Ulm) Mr. Peter Sternberg (Indiana University) et devant le jury compose de : Mr. Fabrice Bethuel (Universite Paris VI) Mr. Yann Brenier (Universite de Nice-Sophia Antipolis) Mr. Boris Buffoni (EPFL, Lausanne) Mr. Patrick Gerard (Universite Paris-Sud Orsay XI) Mr. David Lannes (DMA, ENS Ulm) Mr. Gilles Lebeau (Universite de Nice-Sophia Antipolis) Mr. Jean-Claude Saut (Universite Paris-Sud Orsay XI) 1

  • approximation du systeme de maxwell-bloch

  • systeme d'interaction

  • probleme de cauchy

  • onde progressive

  • questions ouvertes sur l'approximation de schrodinger pour les trains d'onde

  • enveloppe du champ electrique

  • lineaire


Publié le : jeudi 1 décembre 2011
Lecture(s) : 45
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 83
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Universit´edeNice-SophiaAntipolis LaboratoireJ.A.Dieudonne´-UMR6621
M´iredhabilitation`adirigerdesrecherches emo en mathematiques ´
Sur la dynamique de NLS : r´egimesenondelongueetondesprogressives.
pre´sentepar ´ David Chiron
etsoutenuepubliquementle2de´cembre2011,
apre`savisde: Mme. Sylvie Benzoni-Gavage Mr. David Lannes Mr. Peter Sternberg
etdevantlejurycompos´ede: Mr.FabriceB´ethuel Mr. Yann Brenier Mr. Boris Buffoni Mr.PatrickG´erard Mr. David Lannes Mr. Gilles Lebeau Mr. Jean-Claude Saut
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(Universit´eLyonI) (DMA, ENS Ulm) (Indiana University)
(Universite´ParisVI) (Universite´deNice-SophiaAntipolis) (EPFL, Lausanne) (Universite´Paris-SudOrsayXI) (DMA, ENS Ulm) (Universite´deNice-SophiaAntipolis) (Universite´Paris-SudOrsayXI)
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Tabledesmatie`res 1Troisr´egimesenondeslonguespourl´equationdeSchro¨dingernonlin´eaire7 1.1Re´gimeEuler...............................................8 1.1.1 L’approche de E. Grenier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2Lafonctionnelled´energiemodulee...............................11 ´ 1.1.3Notreapproche:line´arisationautourdunesolutionapproch´ee...............13 1.2R´egimeondelineaire...........................................16 ´ 1.3Re´gime(KdV)/(KP-I)..........................................18 1.3.1Lecasint´egrablede(GP)endimension1...........................20 1.3.2R´egime(KdV)danslespaced´energie.............................21 1.3.3Re´gime(KdV)/(KP-I)dansdesnormesr´egulie`res......................23 1.4 Perspectives et travaux en cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Ondes progressives 29 2.1Re´sultatsdexistenceparminimisationsouscontrainte........................31 2.2 Limite transsonique en dimensions 2 et 3 (Γ6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1Caract´erisationsvariationnellesdesgroundstatesde(KP-I)...............36 2.2.2 Convergence vers un “ground state” de (KP-I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3Ondesprogressivespourunenonlin´earit´eg´en´eraleen1d.......................42 2.3.1 Etude d’exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2R´esultatsmathe´matiques....................................50 2.4 Perspectives et travaux en cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Interaction de trains d’ondes 61 3.1Lesyste`medinteractio`troisondes.................................61 n a 3.1.1Re´sultatsdestabilit´e/instabilite´parscatteringinversepourleproble`meline´aris´e.....63 3.1.2R´esultatsdestabilite´/instabilit´edansdesespacesdeSobolevpourleprobl`emelin´earise´.64 3.2Travailencours:lapproximationdeSchro¨dingerpourlestrainsdondes..............68 4 Perspectives de travail 71 4.1 Questions ouvertes sur la dynamique de (NLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2QuestionsouvertessurlapproximationdeSchro¨dingerpourlestrainsdonde...........75 3
Cadre et motivation pour les chapitres 1 et 2
Onconsid`erel´equationdeSchr¨odingerNonLin´eairedansRd it ΔΨ = ΨΨ +f(|Ψ|2)(NLS) ou`f:R+Raeiril´nnenotsnuee´gtnemevitaleradrenpronlueeqt´uationintervient´nrela.eeCtt´eqesnaded tre`snombreuxmod`elesphysiques:danslath´eoriedeBose-Einsteinpourlescondensatsoulasuperuidit´e(cf. [52],[82],[87],[95],[94]ainsiquelesarticlesderevue[145],[25],[1])ouloptiquenonline´aire(cf.[102], [103]), commeapproximationdusyste`medeMaxwell-Bloch.Pourloptiquenonlin´eaire,Ψestlenveloppeduchamp e´lectrique.Pourlescondensatsoulasuperuidit´e,|Ψ|2t,eatnsdeonecudeoudipuredeseis´tadenntel´eserepr le gradient de la phase est le champ de vitesse. Lanonlin´earit´efage´a`elpertesireupˆet-f(%) =±%usibucregnlpuo,euqondeuati¨odiSchrp´qeuolr ge´n´eralementunefonctionpuissancef(%) =±%σenndtssa,talsoe´hdeirocse.Danf(%) =%1 donne lieu `alac´ele`bree´quationdeGross-Pitaevskii iΨt+ ΔΨ = Ψ(|Ψ|21)(GP) maislemode`leavecf(%) =%2iutilis´estauss(eovri,e.g.,1[90tponE.)]lnoneuqireai´ein,f(%neet´rsealep)r re´ponsedumat´eriau`auneintensite´%csmolpqi´ueeuqleanonlin´earit´eKrerte,utpencdotrˆeluepf(%) =%(cf. [102]) : f(%) =α%ν+β%2νouf(%) =α%1 +γtanh%2σ2%20 pourunmat´eriauavecdesr´eponsesqualitativementdi´erentespour%petit ou%grand, ou encore f(%) =α111(+%%0)νouf(%) = 1exp1%0%pourunparam`etre%0>iqub-uenona´niliraece´tenm`no´ephdetempL.noitarutasedse0,lotnoctneileosruq quintique[11]estaussidusagefr´equent,ellese´crit f(%) =α1α3%+α5%2avecα1,α3etα5strictement positifs et tels quefev.sntposititrictemelee´sselicarrsende`euxdesspo Lorsquecesmode`lessontutilise´spourlacondensationouloptiquenonline´aire,laconditiona`linni naturelle est |Ψ(t x)| →r0|x| →+o`ur0>0 est tel quef(r02) = 0. Le casr0est aussi important. Dans la suite, lorsque= 0 r0>0, on peut normaliserr0=1se´´neegnrerdnapsasecil.S´eitaleriiksveatiP-ssorGej`atr`ea´et´ed´,eattnad´stedu´ilans litt´eraturephysiquequemathe´matique,lesexemplesprece´dentssoulignentlimportancedeprendreencompte ´ une nonlinearitefnesnune)SLN(edeuiqamynaddlenirnpucousbea´egern´onnonnulle`alinla.eeCttcenoidit ´ ´ plus riche que lorsquer00=cselettaelletnemsstetien`u,oesceuneetpmldsannoy.mgaqiouvernelringquig Par opposition, lorsquer0>tnseneimuqydanmiseuisoue,qlongondelbistedeselisoptrsveegr´uvrodier0, envisage´sdanslepremierchapitre.Cesr´egimessevoientsurle´criturede(NLS)sousformedunsyst`emehy-drodynamiquevialatransformationdeMadelung,cest-a`-direle´crituredelafonctiondondeΨencoordonnees ´ polaires Ψ =AeesrdecemieLeprlb.eseismorpelcrEudme`estsyduhecorpeme`tsysnuistientain.Onob regimesestler´egimeEulerouWKB,lesecondestler´egimeondeline´aire,etletroisie`melere´gimeKorteweg-de ´ Vries/Kadomtsev-Petviashvili.Silepremierapparaˆıtmeˆmesir00,le=stnossertuaxuedsscaauesquiecp´ dnedonn´lle`alinni.Enparticulier,lere´gimeondelin´eairemeten´evidencelavitessedusonqui u ee non nu joueraunroˆlepr´eponde´rant.Onpassedunr´egimeausuivantenconsid´erantdesdonn´eespetites(enunsens quelonpre´cisera)etentravaillantsurdestempspluslongs.Lautreaspectparticipanta`larichessedelady-namiquede(NLS)avecdonne´enonnulle`alinniconcernelexistencedondesprogressives.Cesontdesprols localis´esenespace(ausenso`uleurmoduletendversr0euqs`ssleacionsntiannet)es.tLdoere´lp¸aactna`ivet r0ypenaires(tontiLS(Nep)ns`os0=´l,auqedeonesedontitasspfuas,errteˆ-tueondpasditaiesolne´gde,ear,lnee´ soliton).Enrevanche,ilestattenduque(NLS)avecdonneenonnulle`alinniposse`dedesondessolitairespour ´ 4
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