Universite de ROUEN Departement des Mathematiques Site du Madrillet Licence de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de ROUEN Departement des Mathematiques Site du Madrillet Licence de Mathematiques 2010-11 L3 – COMPLEMENT D'ALGEBRE FICHE DE TRAVAUX DIRIGES NO 2 : ESPACES EUCLIDIENS I. Produit scalaire. Procede de Gram-Schmidt. Exercice 1. Soit E un espace vectoriel reel de dimension finie n. a - Soit < · , ·> un produit scalaire sur E. On appelle forme quadratique associee au produit scalaire l'application q de E dans R+ definie par q(x) = . Montrer que (i) q(x) = 0 ? x = 0. (ii) En choisissant une base B de E, montrer que si x a pour coordonnees (x1 , · · · , xn) dans B alors q(x) = ∑ 1≤i≤j≤n xixjaij ou aij ? R. (On dit que q est un polynome homogene de degre 2 a n indeterminees x1, · · · , xn). b - Reciproquement, on se donne une application q de E dans R+, verifiant (i) et (ii). Demontrer que l'on peut definir un produit scalaire a partir de q. Exercice 2. Soient (E, < · , ·> ) un espace euclidien reel de dimension n et B = (?1 , · · · , ?n) une base de E.

• ?2 ?2


• produit scalaire


• matrice associee


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• r3 de matrices dans la base canonique

Sujets

• Travail
• Produit scalaire

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Extrait

Universiet¶ Sitedu

de ROUEN Madrillet

De¶partementdesMateh¶matiques LicencedeMateh¶matiques 2010-11

¶ ¶ L3{COMPLEMENTD'ALGEBRE

FCIHEDETRAVAUXDIRIG

¶ O ESN2E:CLIDIENSSPACESEU

Produitscalaire.Proec¶ed¶deGram-Schmidt.

Exercice1.SoitEun espace vectorieler¶el de dimension finien. a -Soit<·,·>un produit scalaire surEappelle forme quadratique assocei¶e au produit scalaire. On l'applicationqdeEdansR + reiap¶efindq(x) =x >< x ,que. Montrer (i)q(x) = 0,x= 0. (i)chEnutenabesioisssnaBdeE, montrer que sixs(ee¶nnodroocruopax 1 ,· · ·, x n ) dansB X alorsq(x) =x i x j a ij o`ua ij 2R. (Ondit queqdene`eog2`¶egrdeaeopyltsnuhemo^nmon 1·i·j·n ined¶termien¶esx 1 ,· · ·, x n ). b -Re¶ciproquement, on se donne une applicationqdeEdansR + tei((t)ifiina¶vrerquentre¶emoi,).D l'onpeuted¶finirunproduitscalairea`partirdeq. Exercice2.Soient (E, <·,·>) un espace euclidiener¶el de dimensionnetB= (² 1 ,· · ·, ² n ) une base deE. Onappelle matrice assocei¶e au produit scalaire<·,·>dans la baseBltamaricesym¶etrique Medetmrgee¶¶nrelam ij =< ² i , ² j >. a -Soitx(resp.y) un vecteur de coordonne¶es (x 1 ,· · ·, x n () (resp.y 1 ,· · ·, y n )dans la baseBetX (resp.Y) la matrice colonne assocei¶e.Montrer que t < x ,y >=X·M·Y :

b -ire¶Dmenortstxineeuquerle'inairalugrtamteciT2GL n (R) telle queM Exercice3. a -De¶terminer la matrice - dans la base canonique - du produit scalaire sur quadratique 2 2 x x 2x xx x 2 2 3 2 3 1 3 q(x) =x+ + +x 1 x 2 + +: 1 3 53 2

·

assocei¶a`laforme

b -ronohtrOr,selima¶eamrlpaacesinon,tdiabalm-rahmScodtheGed.cslaiaereproduitquepourc

1

O ¶ 2FICHEDETRAVAUXDIRIGESN2ESACSP:EEIDILCUESN 2 Exercice4.Soit<·,·>acitppill'anoedR n [X] dansRnfie¶apeird Z 1 1 < P, Q>=P(t)Q(t) p dt : 2 ¡1 1−t a -Montrer que<·,·>est un produit scalaire.

Pour toutX2[−1,1], on pose :T n (X) = cos(narccos(X) 1. Trouverune relation deer¶currence entreT n+1 , T n , T n¡1 . 2. MontrerqueT n edrge¶estunpolyn^omedennani.tonrse±coenciomtd,rpe¶ices 3. MontrerqueT n (cos(t)= cos(nter¶el) pout toutt. 4.Ened¶duirelesracinesdeT n . b -cybevehesdeTch¶polyn^omreuqlese¶DmenortT n de deger¶ au plusnforment une base orthogonale relativementa`<·,·>. c -Nliseormaetafcrtedepeimllynolme^os. II.Transformationsorthogonales. n Exercice5.On munitRde sa structure euclidienne canonique.SoitM2 M n (Rtner,)omsirque n Radmet une base orthonormale de vecteurs propres deM, alorsMe.etsysm¶etriqu

2 Exercice6.msseed'lodomprihierlesenEtudneire¶tidclnoiepaeseuceRde matrices dans la base canonique ( ¶( p ¶ 1 22 1 3 1 ppp A=B= 2 22 21−3 3 Exercice7.mesdel'espaceeucreelesdnmorohpsiidutEidilronetneie¶Rde matrices dans la base canonique 0 p 1 01 1 1 2 2−1 2 1 p p 1    A= −02 2 B 2= 2−1 p 2 3 −1− 1 1 2 −2−2 3 Exercice8.DansReuidcldisnere`,neiocnoonlarotatirreuctveleardontlirne¶tpea'exseote~ 2 ¼ (delabasecanonique),d'angleetlareflexionsdont le plan a poure¶quationy=zla. De¶terminer 3 matricedel'isome¶trief=r◦se¶dasrentisopmoconanncio.ueiqetdon III.Applicationsline¶airessyme¶triques. Exercice9.Soit (E ,<·,·>) un espace euclidien de dimension finie etfun endomorphisme deE. a -msiheodnepromununueiqexilteistnerqr'uDe¶omgtel que 2 8(x, y)2E ,< f(x)>, y=g< x ,(y)> : ? t getdinleppa'sojda'lelfet se notefouf. Ende¶duireunecaracet¶risationdesendomorphismessyme¶triques(onditaussiauto-adjoint.)! b -SoitBune base orthonormale deEetMe`¶eaascecisotairlmafdansBque la matrice. De¶montrer ? t assocei¶e`afdans cette base estM.

¶ ¶ L3{COMPLEMENTD'ALGEBRE Exercice10.Diagonaliser dans une base orthonormale de vecteurs propres, en donnant les matrices depassageainsiqueleursinverses,lesmatriceser¶ellessyme¶triques 0 1 0 1 0 1−3 0 8 4−1 1 0 0−3    C A = 4−7 4 B=:   −0 13 0 −81 4 0−03 1

.IVFormesymplectique n nn Soitnun entier¸1.OnappersuueiqtcelpmysemrofellRune application!:R£R−!Rqui est n n ²Biline¶aire :Pour touty2Re¶xfia'l,ilppitaconx7−!!(x, y) est line¶aire et pour toutx2R fixe¶,l'applicationy!−7!(x, y) est line¶aire. n n Antisyme¶trie:Pourtout(x, y)2R£R,!(x, y) =−!(y, x). n ²rre¶ne¶ge¶d-noNeuctveulseLee:¶exquiev¶rifie¶!(x, y) = 0,pour touty2Rest le vecteur nul. n¤ a. Soit´un endomorphisme deRtel que´=−:´On pose n n (1)8(x, y)2R£R, !(x, y) = (´(x), y):

n Montrer que!rsuestunefroemyspmeltcqieuRsi et seulement si´est inversible. n n b. Soit!suueiqctlempsymerofenurRmsihemorpendoteunexis'ulierqroMtn.´deRtel que la ¤ relation (1) soitev¶rief¶e.Montrer que´=−´et que´est inversible. n c.Montrerques'ilexistesurRlpcesemy,elaituqsorformunenest pair. d. Onsuppose dans cette questionn= 2mpose. On 2m 8x, y2R, ! 0 (x, y) = (J x,y) o`uJest la matrice donne¶e par ( ¶ 0−I m J= I m 0 I m e¶tant la matrice uniet¶. 2m 1) Montrer que! 0 estormeuneftcelpmysruseuqiR. 2m 2) Soit (e k ) 1·k·2m la base canonique deR. Calculer! 0 (e k , e l ),1≤k≤2m,1≤l≤2m: