Université de Rouen Master EFCS Mathématiques

Jean - Baptiste Bardet

Description

Niveau: Supérieur, Master
Université de Rouen Master 1 EFCS - Mathématiques 2011–2012 Algorithmique et logiciels mathématiques 2 TP 7 : Intégration numérique Il est en général impossible de calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle (dès qu'on ne connait pas d'intégrale de la fonction et que les mé- thodes classiques, intégration par parties ou changement de variables, ne s'appliquent pas). Par exemple, on ne peut pas calculer de manière exacte ∫ 1 0 exp(?x 2)dx. C'est pour cela qu'on met en œuvre des méthodes numériques. Plus généra- lement, d'ailleurs, les outils de calcul numérique (calculatrices, ordinateurs) auront forcément recours à ces méthodes numériques. Étant donné une fonction f : [a, b] f : [a,b] ??R assez régulière (au moins continue, voire C 1 ou plus au besoin), on notera I( f )= ∫ b a f (x)dx son intégrale, et on cherche des méthodes permettant d'approcher la valeur de I( f ) à l'aide des valeurs de f en un nombre fini de points a≤ x0 < x1 < ·· · < xn ≤ b. On appelle ces méthodes des méthodes de quadrature, ou d'intégration numérique. La qualité d'une méthode de quadrature se mesure à son degré de précision (ou degré d'exactitude) qui est le degré maximal d'un polynôme pour lequel la méthode de quadrature donne la valeur exacte de l'intégrale.

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• développement de taylor-lagrange au point x0


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Sujets

• Université de Rouen
• Méthode
• Calcul numérique d'une intégrale

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
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• Langue: Français

Extrait

PCSI A 20092010

Informatique

TP 7 : suites récurrentes.

1 Méthodesd’étude d’une suite récurrente.

1.1Positionduproblème

On considère une fonctionf:I→Ret une suite (u n ) n∈N définie par la relation de récurrence :  u 0 ∈I ∀n∈N, u n+1 =f(u n )

Lycée Brizeux

La première chose à faire est de s’assurer quela suite est bien définie. Par exemple, on peut chercher une partieD⊂Itelle quef(D)⊂D. La suite (u n ) n∈N est alors uniquement déterminée paru 0 ∈D. Intéressonsnous à la convergence de la suite.

1.2 Pointfixe

Nous avons le résultat suivant : Proposition. Sif:I→Iest continue et si (u n ) n∈N converge vers un réell∈Ialorslest un point fixe def, i.e. f(l) =l.

Démonstration.Supposons que limu n =l. Commefest continue enl, on a limf(u n ) =f(l). Or limu n+1 = limu n . Ainsi la suite (u n+1 ) = (f(u n )) converge aussi versldonc par unicité de la limitef(l) =l.

Lorsque la suite est convergente, la limite est è chercher parmi les points fixes de la fonction. Il s’agit de maintenant de trouver des critères de convergence

1.3Fonctionsmonotones

1.3.1 Lafonctionfest croissante

Proposition. Soitf:I→Iune fonction croissante. Alors toute suite récurrente (u n ) associée àfest monotone. Ainsi, 1. siu 1 ≥u 0 alors (u n ;) est croissante 2. siu 1 ≤u 0 alors (u n ) est décroissante.

Démonstration.On supposeu 0 ≤u 1 . Si pour un entiern, on au n ≤u n+1 alors commefest croissante f(u n )≤f(u n+1 ) soitu n+1 ≤u n+2 . On a montré par récurrence surnque (u n ) est croissante. La preuve est identique siu 1 ≤u 0 .

Remarques : 1. Sila fonctionfest croissante et l’intervalleIest borné alors (u n ) est une suite monotone bornée, ce qui garantit sa convergence .

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