Universite de Rouen Master MFA Outils informatiques pour les mathmatiques

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Universite de Rouen Master 2, MFA 2010–2011 Outils informatiques pour les mathmatiques Initiation Scilab 1. Resolution d'equations ou de systemes d'equations non lineaires Scilab possede un solveur approche de resolution de systemes d'equations non lineaires du type f(x) = 0 nomme fsolve prenant en argument d'entree un point initial et une fonction (definie separement dans un script de type fonction ou avec l'instruction deff). a) Sur l'exemple de la recherche de la solution de l'equation cos(x) = x, comparer, en nombre d'evaluations et en temps de calcul, la vitesse des methodes de dichotomie et du point fixe pour obtenir un resultat a la precision 10?15. b) Comparer avec le resultat donne par fsolve (on pourra utiliser l'instruction format pour afficher le resultat du calcul avec un grand nombre de decimales.) 2. Resolution d'equations ou de systemes d'equations differentielles L'instruction ode permet la resolution approchee de tout probleme de Cauchy sur un intervalle donne. Le second membre de l'EDO y? = f(t, y) est en particulier rentre comme argument sous la forme d'une fonction ayant toujours deux variables — meme quand l'equation est autonome — t (variable reelle) et y (vecteur) : function [f]= MonSecondMembre (t,u) Ici, le code donnant les composantes de f en fonction de t et de u.

  • variable aleatoire

  • points fixes du systeme et de determiner

  • vitesse des methodes de dichotomie et du point fixe

  • systeme dynamique

  • van der

  • vitesse y?

  • instruction graphique

  • points de la grille sur lequels


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : univ-rouen.fr
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Universit´edeRouen Master 2, MFA 2010–2011 Outils informatiques pour les mathmatiques
Initiation Scilab
1.auitnonsemds´qeiresonlin´eaRtiluso´equ´edonuosnoitae`tsysed Scilabposse`deunsolveurapproch´eder´esolutiondesyst`emesd´equationsnonline´airesdu typef(xem´om0n)=fsolveemugdtnrtneuee´repntnaarenenofcnitnonpointinitialetu (de´niese´parementdansunscriptdetypefonctionouaveclinstructiondeff). adehesolaecarrchelpmelederuS)xelioncos(le´uqtaulitnoedx) =x, comparer, en nombrede´valuationsetentempsdecalcul,lavitessedesm´ethodesdedichotomieet 15 dupointxepourobtenirunr´esultata`lapre´cision10. bepn´ar)Compareravceel´rseluatdtnofsolve(on pourra utiliser l’instructionformatpour acherler´esultatducalculavecungrandnombreded´ecimales.)
2.tiener´sleelsyseme`tnoitduosioatdinsdesqu´e´Rnd´equaesolutio L’instructionodeco´hparpottueeedar´emetltionsolureprusyninuvretellaobpreml`eCedchau 0 donn´e.LesecondmembredelEDOy=f(t, ytmuneaegrmmco´etrenrrieulcitrapnetse) souslaformedunefonctionayanttoujoursdeuxvariablesmeˆmequandle´quationest autonome —t´eelle)(evariablerty(vecteur) : function [f]= MonSecondMembre (t,u) Ici, le code donnant les composantes de f en fonction de t etde u. endfunction
Avanttoutee´tudede´quationdi´erentielle,ilestcependantprudentdesassurerdubon conditionnementduprobe`medeCauchydunpointdevuecontinuounum´erique.Les exemplesci-dessoussoulignentlinte´rˆetdunetellepr´ecaution. aohte´malresilitU)naptnotsapcseta`licirexpEulededsuDOanivs:terruoose´erduEsel 0 y= 3y1, y(0) = 1/3 sur [0,de30] partanty0= 0.3333333333 puis 0 y=150y+ 30, y(0) = 1/5 sur [0,1]. bdevaercelreCnoumap´seosbtulletsarttcseesaxelr)useavyitemr´xteal`ellavretnilede´. 3.L’oscillateur de Van Der Pol
´ actonnsioreriefuntnaneselalicnodb)cEodelleierdembmocdnle´erediondquatrenti´e 2, dite de Van Der Pol : 0020 y= 0.4(1y)yy. bla commande) Utiliserodeop´rruuoseeldreq´tiuasuon0r[,russee´nnodetdanrtpaen2] 0 l’inconnuey´eritsade´veeytsnalnita`t= 0.
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4.Espace de phase Lespacedephaseestunsyste`medecoordonn´ees`adeuxdimensionsquisontlaltitudeyet 0 la vitesseysesesahp,nalpnuteulo`asesedacsplsceD.nadie´deleaonpeutobtenirune dynamique en dessinant simplement le champ de vecteurs dans un rectangle [xmin, xmax]× [ymin, ymax] avec l’instruction graphiquefchampdont la syntaxe est : fchamp(MonsecondMembre,t,x,y) ou`MonsecondMembreestlenomdelafonctionScilabdusecondmembredelEDO,Test l’instant pour lequel on veut dessiner le champ, etx,ya`sengiostnedvsceetrulsnxetny composantes,donnantlespointsdelagrillesurlequelsserontdessine´sles`echesrepr´esentant le champ de vecteurs aauitnoeddule´qeatceeurrlsiescshampde)vTerclnDVaPoer b) L’instructionportraitnorpcnitalofemtniquentunrena(reperbmeMdnoecnSMoteenedc´´e enargument)permetpoursapartdetracerleportraitdephasedunsyste`medynamique plan.
5.Equations de Lokta-Volterra
al’aide de l’instruction) Aode[0uroru´es,esdr,5]2demuqe´ysele`tstdeLoktaationsdi-Volterra intervenant en dynamique des populations (x(t,sdensnelaesig)d´etrue´adedrptie´ y(t) celle de proies) : 0 x(t) =xy/2x/2 0 y(t) =xy+y avecx(0) =y(0) = 2.
base`rpA)rperrioverntse´equhiapgrltsemeneitnoosuleris,v´m´erernu-irinclespmentique palespropri´et´esqualitativesdecelles-ci(solutionsborn´ees,strictementpositives,...).
cededyseclerute´ep)Rndrecurtsninoitriaba2vavecllesaemydtse`uq`eanimportraitafin demettreen´evidencelespointsxesdusyst`emeetdede´terminerleurstabilit´e. 2 6.Test d’ajustementχ m Soitx= (x1, . . . , xmntilecha)un´yhoptiltEosol.n`ethseHeslrivasous-:otaeserielba´las jacentes (X1, . . . , Xm) suivent la loiLyhopteetessehte`tU.itseuqenestdesonicrsoiav r´ealiste.Surcete´chantillon,onpeutcalculerlesstatistiques´ele´mentaires(moyenneet´ecart typeempirique)etsicelles-cisembleraisonnablementprochesdelesp´eranceetdel´ecart 2 type deL, on peut alors mettre en œuvre un test statistique. Le testχs’applique sur une loidiscr`eteprenantunnombrenidevaleurs.ParexemplesupposonsquelaloideLest donne´epar{(vi, pi),1in}qaautntie´:stsiace`cualrlleL.setenoct P n 2 (oimpi) i=1 y= mpi o`uoitaulesr´tseltseederbmonxixua`ga´evivaleerlatenuurobtepmraa`oceylui`aseun yseuilate´latnel,tsetifsiorsposityyseuil. Exemple.nOnettimeraafseptsilvoirutsaonvete6a`1ede´tore´mnu´enduedosspdi e´quilibre´,cest-`a-diresilaprobabilite´dobtenirchaquenum´eroesteectivement1/6 : ici 0 Xnnainecoe(on´ed´ibilorabelpsptsaest´lavariablee´laiotaocerserrndpotaan´eudsspo th´eoriquesdapparitiondechaquenum´ero)etXestlavariablede´nieparP(X=i) = 1/6 0 pouri= 1, . . . ,a6`ehccrneOh.isriovasXrlouapedllceoietoirraaileva´laelbaeX. Onaeectue´200foislexpe´riencesuivanteaveclemˆemede´:onlejetteautantdefoisquil lefautjusqua`obtenirun1(maisonarrˆetelorsquele1nestpassortiauboutde10lance´s). Onaobtenulesr´esultatssuivants: nombre de jets1 2 3 4 5 67 8 9 1011 nombredexp´eriences362526271212878930
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