Université de Rouen Mathématiques Géométrie L3 S2 Année

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université de Rouen Mathématiques Géométrie (L3-S2) Année 2008-2009 Fiche n?3. Espaces Euclidiens Exercice 1. Soit E un espace préhilbertien réel. (a) Montrer que toute application f : E ?? E qui conserve le produit scalaire est nécessairement linéaire. (b) Montrer qu'une application f : E ?? E telle que f(0) = 0 et ? ?f(x)? f(y) ? ? = ? ?x? y ? ? conserve le produit scalaire, et donc c'est une isométrie vectorielle. Exercice 2. Soit f un endomorphisme sur un espace euclidien E de dimension n et soit A sa matrice dans une base orthonormale. Montrer que les proprietés suivantes sont équivalentes : (a) f conservve le produit scalaire. (b) f conserve la norme. (c) f transforme une base orthonormale en une base orthonormale. (d) Il existe une base orthonormale que l'application f transforme en une base orthonormale. (e) Les vecteurs colonnes de la matrice A forment une base orthonormale de Rn. (f) tAA = Id. (g) AtA = Id. (h) Les vecteurs lignes de la matrice A forment une base orthonormale de Rn. Exercice 3. Soit ? un endomorphisme affine sur un espace affine E .

• matrice de changement de base


• existence de points fixes


• point fixe de ?


• base orthonormale


• base orthonormale de rn

Sujets

• Base orthonormale

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Extrait

UniversitÉ de Rouen MathÉmatiques GÉomÉtrie (L3-S2) AnnÉe 2008-2009

◦ Fiche n 3. Espaces Euclidiens

Exercice 1. SoitEun espace prÉhilbertien rÉel. (a) Montrer que toute applicationf:E−→Equi conserve le produit scalaire est nÉcessairement linÉaire.   (b) Montrerqu’une applicationf:E−→Etelle quef(0) = 0etf(x)−f(y) =x−yconserve le produit scalaire, et donc c’est une isomÉtrie vectorielle. Exercice 2. Soitfun endomorphisme sur un espace euclidienEde dimensionnet soitAsa matrice dans une base orthonormale. Montrer que les proprietÉs suivantes sont Équivalentes : (a)fconservve le produit scalaire. (b)fconserve la norme. (c)ftransforme une base orthonormale en une base orthonormale. (d) Ilexiste une base orthonormale que l’applicationftransforme en une base orthonormale. n (e) Lesvecteurs colonnes de la matriceAforment une base orthonormale deR. t (f)AA=Id. t (g)A A=Id. n (h) Lesvecteurs lignes de la matriceAforment une base orthonormale deR. Exercice 3. Soitϕun endomorphisme affine sur un espace affineE. (a) SidimE<∞, montrer que les affirmations suivantes sont Équivalentes : -i-ϕest injective. -ii-ϕest surjective. -iii-ϕest bijective. (b) Donnerun exemple qui montre que ces Équivalences sont fausses sidimE=∞. [Suggestion: dÉfinir ~ϕsur un repÈre affine infini dÉnombrable.] Exercice 4. SoitEun espace prÉhilbertien rÉel,Fun sous-espace deEetf:E−→Eune isomÉtrie. (a) Monterque siAetBsont sous-ensembles deE, ⊥ ⊥ -i-A⊂B=⇒A⊃B. ⊥ ⊥ -ii-A⊂(A). ⊥ ⊥ (b) Montrerque sif(F)⊂F, alorsf(F)⊃F. (c) SiEest de dimension finie (c’est-À-direEest un espace euclidien), montrer : ⊥ -i-E=F⊕F. ⊥ ⊥ -ii-(F) =F. ⊥ -iii-Fstable parfimpliqueFstable parf. Exercice 5. SoientM,AetBtrois points d’un espace affine euclidien. (a) Montrer queMappartient au segment[A, B]si, et seulement si,d(A, B) =d(A, M) +d(M, B). [Suggestion :Se rappeler que l’inÉgalitÉ de Cauchy-Schwarz est une ÉgalitÉ ssi les vecteurs sont proportionels.] (b) Cette equivalence n’est pas valable pour des espaces normÉs en gÉnÉral. Essayez de trouver un 3 contre-exemple (Ravec la normekx+k= max i |x i |suffit). Exercice 6. SoitEun espace affine euclidien. (a) Montrerque une applicationϕ:E −→Rest affine si, et seulement si, il existe un vecteur~a∈Etel ~ queϕ(B) =~a∙AB+ϕ(A).

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