Université Henri Poincaré Nancy Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre Arithmétique Feuille

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Université Henri Poincaré, Nancy 1 Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre-Arithmétique 2011–2012 Feuille 04 Arithmétique 1. Montrer 1. 11|2123 + 3121 2. (?n ? N), 11|3n+3 ? 44n+2 3. (?n ? N), 6|n(2n+ 1)(7n+ 1) 4. (?n ? N), 60|n2(n4 ? 1) 5. (?n ? N), 6|(n+ 1)((n+ 1)2 + 5) 6. (?n ? N), 7|42 n + 22 n + 1 7. (?n ? N?), 8|5n + 2(3n?1) + 1 8. (?n ? N), 9|22n + 15n? 1 9. (?n ? N), 169|33n+3 ? 26n? 27 10. (?n ? N), 225|42n+2 ? 15n? 16 2. Déterminer le pgcd de 4312 et 1755. 3. Déterminer les entiers plus petits que 250 tels que leur pgcd avec le nombre 360 soit 30. 4. Montrer que (?m,n ? Z), (7|m2 + n2 =? 7|m ou 7|n).

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Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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UniversitÉ Henri PoincarÉ, Nancy 1 lcma2 s3 standard et cpu2 2011–2012
DÉpartement de MathÉmatiques AlgÈbre-ArithmÉtique Feuille 04
ArithmÉtique
1.Montrer 123 121 1.11|32 + n+3 4n+2 2.(nN),11|34 3.(nN),6|n(2n+ 1)(7n+ 1) 2 4 4.(nN),60|n(n1) 2 5.(nN),6|(n+ 1)((n+ 1)+ 5) n n 2 2 6.(nN),7|2 +4 +1 n n1 7.(nN),8|5 +2(3 )+ 1 2n 8.(nN),9|152 +n1 3n+3 9.(nN),169|326n27 2n+2 10.(nN),225|415n16 2.DÉterminer le pgcd de4312et1755. 3.DÉterminer les entiers plus petits que250tels que leur pgcd avec le nombre 360soit30. 2 2 4.Montrer que(m, nZ),(7|m+n=7|mou 7|n). 5.Montrer que, pour toutnN, les entiersn! + 1et(n+ 1)! + 1sont premiers entre eux. 6.Montrer que pour toutnN, le reste de la division euclidienne de 2 22 22 (n+ (n1) )par4nest(2n1). 2 7.Trouver tous les entiersn2tels quen+ 1soit divisible parn+ 1. 2 8.RÉsoudre dansZl’Équation 1.322x+ 266y= 0. 2.212x+ 171y= 1. 9.Trouver les solutions entiÈres de l’Équation102x18018y= 18. Combien y a-t-il de solutions telles quexetysoient compris entre 0 et 4000? 10.Le pgcd de deux nombres est 12; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par l’algorithme d’Euclide sont8,2et7. Trouver ces deux nombres. 7 7 11.Trouver le dernier chiffre de l’Écriture dÉcimale de7.
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12.Soitpetqdeux nombres premiers tels queq= 2p+ 17eta, b, cZtel p p p quea+b+c= 0. Montrer queqdiviseabc. 3 33 13.Soitx, yetztrois entiers naturels tels quex+y=z. Onsuppose que 3ne divise pasxyz. En considÉrant les congruences modulo3et9, montrer successivement quex+ y= 3z+tpour untconvenable puis que3divisexyz. Conclusion?. 14.Montrer que12345678910111213n’est pas un carrÉ. 15.DÉterminer le plus petit entier natureln0tel quen00[10]. En dÉduire les entiersntel queAn= 1! + 2! +. . .+n!soit un carrÉ. 7 16.Montrer que pour toutnZ, 42 divisenn. 17.Monter que 300 1. 32767divise21. 71 70 2. lereste de la division euclidienne de2par 13 est 3. 18.Soitpun entier premier2que. Montrer 1. Si8p1est premier, alors8p+ 1ne l’est pas. 2 2 2. Si8p+ 1est premier, alors8p1est premier. n 2 19.PournN, soitFn+ 1= 2Montrer quele niÈme nombre de Fermat. Fn pour toutn,Fndivise22. n 2 20.Montrer que si un nombre premier diviseFn= 2+ 1, il ne peut diviser m 2 Fm+ 1= 2pourm > n. En dÉduire que l’ensemble des nombres premiers est infini. 7 21.Posonsn= 2etm= 5. 4 4 1. Montrerl’ÉgalitÉ1 +mnm= 2. 4 4 2. EndÉduire que1+mnpeut se mettre en facteur dans l’expression2n+1. 5 2 3. MontrerqueF5+ 1= 2n’est pas premiers. 22.Montrer que pour tout entiern0et tout entiera >1on a n   a1 pgcd, a1 =pgcd(a1, n). a1 23.SoientaZetnN,n2. Posonsd= pgcd(a, n). n Montrer queaddivise(a+ 1)1. k 24.Montrer que pour toutn, kN, sipgcd(n, k) = 1, alorsndiviseC. n n Montrer que pour toutnN, alorsn+ 1diviseC. 2n 2 25.Montrer qu’il existe un nombre infini d’entiersntels que4n+ 1soit divisible À la fois par5et par13. k 26.Montrer qu’un nombre de la formen1(netkentiers,n >0>, k1) ne peut tre premier que sin= 2et sikest premier.
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27.Montrer que pour tout entiern >0, il existe un entierx >0tel que x x x chacun des termes de la suitex+ 1, x+ 1, x+ 1, . . .soit divisible parn. k 28.Montrer qu’un nombre de la forme2 +1(kentier>1) ne peut tre premier que sikest une puissance de 2. p1 29.Montrer que sipest un nombre premier, alorspdivise le nombre1 + p1p1 2 +. . .+ (p11) +. 30.Montrer que l’ensemble des nombres premiers de la forme4n1est infini. 31.Montrer que l’ensemble des nombres premiers de la forme6n1est infini.
Mise a jour : November 2, 2011 http://www.iecn.u-nancy.fr/˜koufany/Alg-Arithm/
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