UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET D'EXAMEN DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 3 heures Analyse 2-Semestres 3 et 3 bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Juin 2009 Calculatrices non autorisees Exercice 1 Pour tout entier n positif, soit fn la fonction definie sur [ 0, +∞ [ par fn(x) = √ n2 + 2nx + 1? n . a) Determiner la limite simple f de la suite (fn). b) Montrer que la suite (fn) converge uniformement sur tout intervalle [ 0, a ] . c) La suite (fn) converge-t-elle uniformement sur [ 0, +∞ [ ? Exercice 2 Montrer que la serie de terme general 2nn! nn est convergente. Exercice 3 a) Montrer que la serie entiere de terme general sin2 nxn converge si |x| < 1. b) Calculer la somme ∞ ∑ n=1 sin2 nxn , lorsque x ? ]?1, 1 [ . Exercice 4 a) Trouver le rayon de convergence R de la serie entiere de terme general (?1)nx2n (2n + 1)(2n + 2) . b) La serie entiere converge-t-elle pour x = R ? c) Calculer ∞ ∑ n=0 (?1)n (2n + 1)(2n + 2) .

• rayon


• duree du sujet


• serie


• sujet des examens


• somme ∞


• e? √


• equivalent de e? √

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• Publié par: vehot
• Publié le: 01 juin 2009
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Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET D’EXAMEN DIPLOME : Licence MI 2`nne´meaee´deDeru:3etujusesurhe Analyse 2Semestres 3 et 3 bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautoris´es Juin2009Calculatricesnonautoris´ees

Exercice 1Pour tout entiernpositif, soitf n fie´dsein0[rulancfoonti,+∞[ par

f n (x) =

2 n+ 2nx+ 1−n .

a)De´terminerlalimitesimplefde la suite (f n ).

b) Montrer que la suite (f n leal[0inutrvtestneotrurofime´m)ocegnuvnre, a] .

c) La suite (f n 0[rustneme´mrofitelleunonvergec),+∞[ ?

n 2n! Exercice 2esvergtcon.neetMoeral´en´rmegdetereeial´sqreutner n n

2 n Exercice 3rqrentMoers´lauee`itneeimretedereg´en´eralsin)anxconverge si|x|<1.

b)Calculerlasomme

lorsquex∈]−1,1 [ .

∞ X 2n sin,n x n=1

Exercice 4a) Trouver le rayon de convergenceRieers´ladeedetmrgeneite`er´en´eral

n2n (−1)x . (2n+ 1)(2n+ 2)

b)Las´erieenti`ereconvergetellepourx=R?

c) Calculer

∞ n X (−1) . (2n+ 1)(2n+ 2) n=0

1

Exercice 5

SoitFiondonctlafreiuse´nfiRpar

2 x+1 Z 2 (t−x) F(x) =.e dt 3x−1

Calculerlad´eriv´eedecettefonction.(Oncommencerapareffectuerunchangementde variableconvenabledansl’int´egrale).

Exercice 6

De´terminerlalimitedelasuite(u n ) n≥1 efiniepar´d

3n Z thx u n =dx . x n

2 −x−3x−5 Exercice 7Crcheruheeqdne´nvtalueiequandxtend vers +∞ire´edu,end quel’inte´grale ∞ Z 2 −x−3x−5 e dx 5 converge,puise´tudierlanaturedel’int´egrale ∞ Z 2 −x−3x−5 esinx dx . 5

Exercice 8entlquemembl’ensestnrpe´paihrergrmte´eDreeterinsedepuoc(selα, β) tels quel’int´egrale ∞ Z dx α β (x−1) (x+ 1) 1 converge.

Calculercetteint´egralepour(α, β) = (1/2,3/2) en faisant le changement de variable

u=

x−1 . x+ 1

2

Corrig´e

Exercice 1

a)One´crit,enmultipliantparlaquantite´conjugu´ee,

1 2x+ 2nx+ 1 n f n (x=) = . 2 n+ 2nx+ 1 +n 2x1 1 + + + 1 2 n n Onende´duitdoncque limf n (x) =x . n→+∞ La suite (f n ) converge simplement sur [ 0,∞[ vers la fonctionffie´darepni

f(x) =x .

b)Denouveauenutilisantlaquantit´econjugue´e,

f n (x)−f(x) =

2 n+ 2nx+ 1−(n+x) =

2 1−x . 2 n+ 2nx+ 1 +n+x

Donc 2 2 1 +x1 +x |f n (x)−f(x)≤| ≤ . 2 n+ 2nx+ 1 +n+ x n Six0[eletnilavrntiel’`aaprtpa, a] , on a alors

2 1 +a |f n (x)−f(x)| ≤. n 2 Comme la suite ((1 +a)/nsuiteelrne´ustlqeeuali,0srevegrevnoc)f n converge uni form´ementversfsur [ 0, a] .

c) Pourne´,xfi

f n (x)−f(x) =

  1 2 x−1 2 2 1−x x =  ! . 2 n+ 2nx+ 1 +n+x 2 n n2+ 1 n x1 + + + 2 x x x

Quandxtend vers +∞, on a donc

f n (x)−f(x)∼ −x ,

et la fonctionf n −ftdeuepln.Ieen´orvnocriovaysapcnormenifonceuergee’tsapbsn sur [ 0,+∞[ .

3

Autreme´thode

Poure´tudierlaquestionb),onpouvaitaussi´etudierlesvariationsdef n −faL´d.e´erevi vaut 2 n−n+ 2nx+ 1 ′ ′ f(x)−f(x) =, n 2 n+ 2nx+ 1 etelleestn´egativesur[0,+∞Donc[ . f n −fsiortnaste,eiraveedestd´ecf n (0)−f(0) a`−∞tequesulenr´.Ile

sup|f n (x)−f(x)|= max(f n (0)−f(0),|f n (a)−f(a)|). x∈[ 0, a]

Onpeutmˆemedireque,pournassez grand

sup|f n (x)−f(x)|=|f n (a)−f(a)|, x∈[ 0, a]

et commef n converge simplement versfulter´esasuiquel(etline,f n (a)−f(a)) converge vers 0, ce qui montre la convergence uniforme sur [ 0, a] .

Exercice 2

Appliquonslare`gleded’Alembert`alas´erieu n mrgeedetsipoftin´´ealer n 2n! u n =. n n On a   n n+1n u n+1 2 (n+ 1)!n n = = 2. n+1n u n (n+ 1) 2n!n+ 1 Ene´crivant     −n−n u n+1 n+ 1 1 = 2 = 2 1 +, u n n n etenutilisantund´eveloppementlimit´e,onobtient u n+1 −nln(1+1/n)−1+◦(1) = 2e= 2e . u n

Onende´duitquela ge´ne´ralu n converge.

Exercice 3

a) On a

suite (u n ) converge vers 2/e. Comme 2/e <1,s´laeireetedemr

2 0≤sinn≤1. n Puisquelase´rieentie`redetermege´ne´ralxeralmrgee´´nreeiedet1,ons´latdesayer 2 n sinnxestdecnisegodvnreeiocers´La1.`aalegu´orueire´pusnoyar|x|<1.

4

b)Ene´crivant 2ni−2ni 1−cos 2n2−e−e 2 sinn= =, 2 4 n2ni n−2ni n Less´eriesenti`eresdetermesge´ne´rauxx,e xete xsont toutes de rayon 1, alors  ! ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X X 1 2n2n n2ni n2ni n sinn x= sinn x= 2x−e x−e x . 4 n=1n=0n=0n=0n=0

Pourxdans ]−1,1 [ on a donc,

Exercice 4

∞ X 2n sinn x n=1

=

=

=

  1 2 1 1 − − 2i−2i 4 1−x1−xe1−xe   2i−2i 1 2 2−xe−xe − 2 2i−2i 4 1−x x+ 1−x(e+e)   1 1 1−xcos 2 −. 2 2 1−x x−2xcos 2 + 1

n2n (−1)x a) Si l’on noteRern´´eegrmtedereladeeluil,rceyanodelas´erieenti`e (2n+ 1)(2n+ 2) n n (−1)x 2 las´erieentie`redetermeg´ene´ralvautR. (2n+ 1)(2n+ 2) Si l’on pose n (−1) a n = (2n+ 1)(2n+ 2) on a a n+1 (2n+ 1)(2n+ 2) =.   a n (2n+ 3)(2n+ 4) La suite (|a n+1 /a n |rsvencdoe,´rgedtuahsulpedsermedestporteraprelsgrvenoevc) 2 1/R=1ceenerch´echutvaelaroydncenoevgr.Ilenr´esultequeR= 1.

n (−1) b) Pourxnemulosbeuqsiuptceargveonla´nreiedes´ereg´eterm=al,1 (2n+ 1)(2n+ 2)

1 1 |a n |=∼, 2 (2n+ 1)(2n4+ 2) n

2 etquelase´riedetermeg´en´eral1/nestunesocnnameiRedeire´e.ntgeernv 1 Onpouvaitaussiutiliserlecrit`eredeLeibnizcarlasuite()estunesuite (2n+ 1)(2n+ 2) d´ecroissantequiconvergevers0.

c)Onpeutalorsappliquerlethe´ore`med’Abel.Ona

∞ ∞ n n2n X X (−1) (−1)x = lim. (2n+ 1)(2n+ 2) x→1 (2n+ 1)(2n+ 2) − n=0n=0

5