Universite Joseph Fourier L2 MAT231 mat231 partiel 23oct2007 corrige tex novembre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Universite Joseph Fourier – L2 MAT231 – 2007-2008 2007-11-05-mat231_partiel_23oct2007_corrige.tex (5 novembre 2007) Partiel du Mardi 23 octobre 2007 10 heures 45 – 12 heures 45 Documents et calculatrices interdits Le bareme est donne a titre indicatif. Question de cours (4 points) Donner la definition d'un polynome irreductible. Indiquez si les assertions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant vos reponses. 1. Le polynome X2 + 1 est irreductible dans C[X]. 2. Le polynome X2 + 1 est irreductible dans R[X]. Reponse Un polynome P ? K[X] est irreductible s'il est de degre superieur ou egal a 1 et s'il ne peut pas s'ecrire comme produit de deux polynomes de degre au moins 1, autrement dit, P de degre superieur ou egal a 1 est irreductible si P = AB avec A,B ? K[X] implique que A ou B est de degre 0. 1. faux. Dans C[X], on a X2 + 1 = (X ? i)(X + i) et le polynome X2 + 1 n'est donc pas irreductible. 2. vrai. Raisonnons par l'absurde et supposons que X2 + 1 est decomposable dans R[X] c'est-a-dire qu'il peut s'ecrire sous la forme X2 + 1 = AB avec A,B ? R[X] de degre au moins 1.

  • reste de la division euclidienne du polynome xm

  • solutions de la congruence

  • ac ?

  • division euclidienne

  • memes solutions dans z

  • xr ?

  • polynome x2

  • degre


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Universit´eJosephFourierL2MAT2312007-2008 2007-11-05-mat231_partiel_23oct2007_corrige.tex (5 novembre 2007)
Partiel du Mardi 23 octobre 2007 10 heures 45 – 12 heures 45 Documentsetcalculatricesinterdits Lebareˆmeestdonne´`atitreindicatif.
Question de cours (4 points) Donnerlade´nitiondunpolynoˆmeirre´ductible. Indiquezsilesassertionssuivantessontvraiesoufaussesenjustiantvosr´eponses. 2 1.LepolynˆomeXs+aen1itcudelbritsde´rC[X]. 2 2.LepolynˆomeXedanseductible1tsri´r+R[X].
Re´ponse UnpolynoˆmePK[Xou´eieura1etgal`enepslituirst]ep´er´esudegrstdeiellbsecuit´rde passe´crirecommeproduitdedeuxpolynoˆmesdedegr´eaumoins1,autrementdit,Pde degr´esup´erieuroue´gala`1estirre´ductiblesiP=ABavecA, BK[X] implique queAou Bse.e0r´egedtd 2 2 1.faux.DansC[X], on aX+ 1 = (Xi)(X+iem)etllopeoˆnyX+ 1n’est donc pasirre´ductible. 2 2.vrai.Raisonnons par l’absurde et supposons queX+e1cemots´dsapoedblsan 2 R[Xsualofmrelpeuts´ecriresotse-a`-eridiuq]cX=+ 1ABavecA, BR[X] dedegr´eaumoins1.Commeondoitavoirdeg(A) + deg(B,ile)=2euqee´rntlus deg(A) = deg(Becrire,onpeut´mrlasiretieta`on1e)=qut,A=XaetB=Xb 2 aveca, bRagil´te.Le´X+ 1 = (Xa)(Xb) implique quea+b= 0 etab= 1. Il 2 enr´esultequeb=a, puis quea=1 ce qui est impossible dansR.
Exercices (16 points)
• • Exercice 1 (6 points)On se donnemN,aZetbZ. Le but de l’exercice est d´etudier,dansZtauqe´l,noi (1)axb(modm). 1. Danscette question, on suppose quepgcd(a, m) = 1.
MAT 2312007-2008 Partieldu 23 oct. 2007
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(a) Montrerqu’il existeuZtel queau1 (modm). (b)Montrerquele´quation(1)est´equivalentea`le´quation (2)xub(modm). (c)Donnertouteslessolutionsdele´quation(1)dansZ. 2. Danscette question, on suppose quepgcd(a, m) =d >1. On posea=etm=. (a) Montrerque0 (modm). (b)Montrerquuneconditionne´cessairepourquele´quation(1)aitaumoinsune solution dansZest queddiviseb. (c) Danscette question, on suppose queddivisebet on poseb=. i.Montrerquele´quation(1)e´quivauta`le´quation (3)αxβ(modµ). ii.D´ecrire,sielleena,lessolutionsdel´equation(1)dansZ. iii.Application:d´eterminerlensembledessolutionsdele´quation 6x10)4 (mod dansZ.
Solution
Question 1. a) Les nombresaetmcesteneoh´eT,leBedemr`odtuoze´ixelenntrenuxeeemprrsiee´tnat de deux entiersu, vtels queau+mvue=1le.I´enrltsummieide´metaqtneau1 (modm). Note.Onpeutseramenera`u >0 en prenant au besoin le reste de la division euclidienne deuparm. b) Multipliant la congruenceaxb(modm) paru, on obtientxub(modm) carau1 (modmtlpiilnamene,tumeciproqu).R´rapergnocneui`uxecemettcdetea, on retrouve la premie`recongruencecarau1 (modm). c)Dapre`sle(b),lesdeuxcongruencessont´equivalentesetontdonclesmˆemessolutions dansZ; ce sont les nombresub+km, kZ, avecudo´eeBedem.utzolrape´nn`roe´hTe Note.Onve´riefacilementquecetensembledesolutionsned´ependpasduchoixdeu´enndo parlethe´ore`medeBe´zout. Question 2. a)Aveclesnotationsdele´nonce´,onpeut´ecrire=dαµ=αmdou`li´rseluteque0 (modm). b)Sile´quation(1)admetunesolutionalorsilexistex0etk0tels queax0=b+mk0`udo ilr´esultequeb=d(αx0µk0) et que le nombrebest divisible pard. c)(i) Siyest solution de (1) alors il existekytel queay=b+mkyet doncαy=β+µky, cesta`direynimameˆe.re`eorpice´Rmaledeuqlutiso(3).onde c)(ii)Dapre`sle(i),lessolutionsde(1)sontexactementlessolutionsde(3)quelonpeut re´soudreparlame´thodedelaquestion1carαetµmeeitnrpos(cuxacarenrseetrnoire´ttasi
MAT 2312007-2008 Partieldu 23 oct. 2007
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dupgcd) : il existeυZtel queαυ1 (modµ) et les solutions de (3) sont lesυβ+kµ, kZbmonelu`o,reυu´iqae`utzoplapBee´medeoe`rTe´hparlnn´estdoeαetµ. c)(iii) Siyest solution de 6x4 (mod10), alors il existekytel que 6y= 4 + 10kyce qui ´equivaut`a3y= 2 + 5kyod,iout,dnslentolsstsoiqaeue`lsarp5es4+ontln1,sk, kZcar 2×31 (mod5).
Exercice 2 (4 points)OnsedonnedeupxlonyoˆemsAetBdansR[X], avecAnon nul 2 et non multiple de(X+ 2). 2 1.MontrerquilexisteunpolynˆomeUtel queAU1 (mod(X+ 2)). 2.MontrerquilexisteununiquepolynoˆmeCedrge´uaplus,ed1, tel que 2 ACB(mod (X+ 2)). 3. Application: TrouverlespolynˆomesSsolutions de la congruence 2 (X+ 1)P(X)1 (mod(X+ 2)) etlespolynˆomesTsolutions de la congruence 2 (X+ 1)P(X)X(mod (X+ 2)).
Solution
Question 1. 2 LepolynoˆmeXadsnbielsuedtictrr2e+´R[Xenreet,.Ene]emugraseltnanerpesn´onsdnt pourlaquestiondecours,sil´etaitd´ecomposable,ondevraitavoirdeuxnombresr´eelsa, b 2 ve´rianta+b= 0 etab`uo2=d,a=2 ce qui est impossible. 2 LepolynˆomeX+2´etanitrre´udtcbieltedinesavipantsApyhr`htoseseparuA, ces deux polynoˆmessontpremiersentreeux.LeThe´ore`medeB´ezoutdonnelexistencededeux 2 polynˆomesU, VR[X] tel queAU+ (X+ 2)Venr´esul=1.IlsqoralteueAU1 2 mod (X+ 2). Question 2. 2 CommedanslExercice1,le´quationAPB(mod (Xe´))viuq`tua´laequation+2PU B 2 (mod (X+)2,)`ouUutolnsioeuQ.oits.)1nsseL`emedeB´ezouts(ecdftno´nperaelhTe´ro 2 sontdonclespolynoˆmesdelaformeU B+ (X+ 2)QavecQR[XmeˆoynlopeL.]C, 2 restedeladivisioneuclidiennedupolynˆomeU BparXnoitiS.ala`seuq´e,rndpo+2C1 2 estunautrepolynoˆmer´epondanta`laquestion,ondoitavoirACAC1(mod (X+ 2)). 2 LepolynˆomeX+ 2divise le produitA(CC1) et doncCC1car il est premier avecA. LespolynˆomesCetC1ededattnualprge´ondous1,oiritav´eC1=C. Question 3. 2 On remarque queX+ 2(X+ 1)(X1)=3.Iletuq(ene´rseluX1)(X+ 1)≡ −3 2 1 (mod (Xentqatem´editimmemsnyoˆpsloeueliude´dnenO.))2+Ssont de la forme(X3 2 12 1)+(X+2)Q(X) pourQR[Xmeˆoynolspselte]Tde la formeX(X1)+(X+2)R(X) 3 1 2 pourRR[X], ou encore de la forme(X+ 2) + (X+ 2)W(X) pourWR[X]. On 3 retrouvebienainsilexistenceetlunicite´dunpolynˆomededegr´einfe´rieurou´egal`a1 v´eriantchacunedescongruences.
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